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流体力学动力学规律都具有伽利略变换的不变性

流体，是与固体相对应的一种物体形态，是液体和气体的总称.由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的，它的基本特征是没有一定的形状并且具有流动性.流体都有一定的可压缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力(即粘滞性).当流体的粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究流体的运动和状态而引入的一个理想模型.是液压传动和气压传动的介质.大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是水面.大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃至地球深处熔浆的流动都是流体的研究内容.

流体力学是在人类与自然界相处和生产实践中逐步发展起来的.对流体力学学科的形成做出卓越贡献的是古希腊哲学家阿基米德（《论浮体》，公元前250年）建立了包括浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理论，奠定了流体静力学的基础.

流体力学原理主要指计算流体动力学中的数值方法的现状；运用基本的数学分析，详尽阐述数值计算的基本原理；讨论流域和非一致结构化边界适应网格的几何复杂性带来的困难等.

对流体力学学科的形成作出第一个贡献的是古希腊的阿基米德，他建立了包括物理浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理论，奠定了流体静力学的基础.

20世纪40年代，为研究原子弹、炸药等起爆后，激波在空气或水中的传播，发展了爆炸波理论.此后，流体力学又发展了许多分支，如高超声速空气动力学、超音速空气动力学、稀薄空气动力学、电磁流体力学、计算流体力学、两相(气液或气固)流等等.从20世纪50年代起，电子计算机不断完善，出现了计算流体力学这一新的分支学科.20世纪60年代，根据结构力学和固体力学的需要，出现了计算弹性力学问题的有限元法.经过十多年的发展，有限元分析这项新的计算方法又开始在流体力学中应用，尤其是在低速流和流体边界形状甚为复杂问题中，优越性更加显著.从20世纪60年代起，流体力学开始了流体力学和其他学科的互相交叉渗透，形成新的交叉学科或边缘学科，如物理-化学流体动力学、磁流体力学等.

流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体(包含气体，液体以及等离子态)现象以及相关力学行为的科学.可以按照研究对象的运动方式分为流体静力学和流体动力学，还可按流动物质的种类分为水力学，空气动力学等等.对流体力学学科的形成作出第一个贡献的是古希腊的阿基米德，他建立了包括物理浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理论，奠定了流体静力学的基础，特别是从20世纪以来，流体力学已发展成为基础科学体系的一部分，同时又在工业、农业、交通运输、天文学、地学、生物学、医学等方面得到广泛应用.流体力学既包含自然科学的基础理论，又涉及工程技术科学方面的应用.此外，如从流体作用力的角度，则可分为流体静力学、流体运动学和流体动力学;从对不同"力学模型"的研究来分，则有理想流体动力学、粘性流体动力学、不可压缩流体动力学、可压缩流体动力学和非牛顿流体力学等.

流体力学有一些基本假设，基本假设以方程的形式表示.例如，在三维的不可压缩流体中，质量守恒的假设的方程如下:在任意封闭曲面(例如球体)中，由曲面进入封闭曲面内的质量速率，需和由曲面离开封闭曲面内的质量速率相等.(换句话说，曲面内的质量为定值，曲面外的质量也是定值)以上方程可以用曲面上的积分式表示.

流体力学假设所有流体满足以下的假设:质量守恒（质量守恒目的是建立描述流体运动的方程组.欧拉法描述为:流进绝对坐标系中任何闭合曲面内的质量等于从这个曲面流出的质量,这是一个积分方程组,化为微分方程组就是:密度和速度的乘积的散度是零(无散场).用欧拉法描述为:流体微团质量的随体导数随时间的变化率为零.）、能量守恒（单位时间内体积力对流体微团做的功加上表面力和流体微团变形速度的乘积等于单位时间内流体微团的内能增量加上流体微团的动能增量.）、动量守恒（流体力学在微观是无限大，并且是低速运动，属于经典力学的范畴.因此动量定理和动量矩定理适用于流体微元.）、应力张量（对流体微元的作用力，主要有表面力和体积力，表面力和体积力分别是力在单位面积和单位体积上的量度，因此它们有界.由于我们在建立流体力学基本方程组的时候考虑的是尺寸很小的流体微元，因此流体微团表面所受的力是尺寸的二阶小量，体积力是尺寸的三阶小量，故当体积很小时，可以忽略体积力的作用.认为流体微团只是受到表面力(表面应力)的作用.非各向同性的流体中，流体微团位置不同，表面法向不同，所受的应力是不同的，应力是由一个二阶张量和曲面法向的内积来描述的，二阶应力张量只有三个量是独立的，因此，只要知道某点三个不同面上的应力，就可确定这个点的应力分布情况.）、连续体假设（物质都由分子构成,尽管分子都是离散分布的,做无规则的热运动.但理论和实验都表明,在很小的范围内,做热运动的流体分子微团的统计平均值是稳定的.因此可以近似的认为流体是由连续物质构成,其中的温度,密度,压力等物理量都是连续分布的标量场.），在流体力学中常会假设流体是不可压缩流体，也就是流体的密度为一定值.液体可以算是不可压缩流体，气体则不是.

粘性假设：流体具有粘性，利用粘性定理可以导出应力张量.有时也会假设流体的黏度为零，此时流体即为非粘性流体.气体常常可视为非粘性流体.若流体黏度不为零，而且流体被容器包围(如管子)，则在边界处流体的速度为零.

一.连续性方程（质量守恒）的推导

连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律.

1.1   L法有限体积分析

取体积为，质量为的一定流体质点团，则有：

（1）

因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：   （2）

                              （3）

代入式（1）得

（4）

运用奥高定理

（5）

得                               （6）

上式即是连续性方程的积分形式.

假定被积函数连续，而且体积是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：

（7）

或                                    （8）

在直角坐标系中连续性方程为：             （9）

或                                             （10）

连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积.

1.2   L法体积元分析

考虑质量为的体积元，对其用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：

                                            （11）

                                      （12）

两边同除以，得                              （13）

或写成                                                 （14）

上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率.

1.3E法有限体积分析

着眼坐标空间，取空间中以面为界的有限体积，则称面为控制面，为控制体.取外法线方向为法线的正方向，为外法线方向的单位矢量.考虑该体积内流体质量的变化，该变化主要以下两方面原因引起.第一，通过表面有流体流出或流入，单位时间内流出流入变化的总和为：                  （15）

第二，由于密度场的不定常性（注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画），单位时间内体积的质量将变化，变化量为：            （16）

上述两者应相等，即                                 （17）

由于体积是任意的，且被积函数连续，则                     （18）

1.4E法直角坐标系分析

特殊情况下的连续性方程：

（1）       定常态：

（2）       不可压缩流体：

下面将写出它在曲线坐标下的形式.

因为               (20)

所以       （21）

将（21）式代入得到曲线坐标下连续性方程的形式为：

           （22）

二.欧拉方程的推导

1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程.

形如：(1)

的方程称为欧拉方程，其中为常数.

欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同.

瑞士的欧拉采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程，正确地用微分方程组描述了无粘流体的运动.流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用.以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时或当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零.所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的.

流体静压强的特性

1静压强的方向—沿作用面的内法线方向

2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关

由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程

当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡.这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力.在这里如果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别为:-du/dt，-dv/dt和-dw/dt.于是，上式便可写成

上式整理后可得：

将加速度展开成欧拉表达式

用矢量表示为，对于恒定流动，称为流动欧拉运动微分方程式.

三.欧拉方程具有伽利略变换的不变性

“对称是美的化身”.李政道教授认为：“物理定律一定是对称的，失去的对称性应该到物理真空中去找”.这足以说明，对称性是物理学中广泛存在的一种美的属性.对称性既是爱因斯坦科学研究的一种方法论原则，又是他科学创造的一个美学思想.

在理想流体力学中动力学基本方程是欧拉方程：

或

下面证明欧拉方程在惯性坐标系变换下的协变性：

在方程（1）中G、ρ、P、t是不变量，可直接变换为G^/、ρ^/、P^/、t^/；v变换为v^/+u.其中u是常矢，故

再考虑算符▽的坐标变换，单位矢i、j、k都是不变量，可用i^/、j^/、k^/代入，y、z用y^/、z^/代入.但，

当算符▽所作用场量为压强P时，t与x可认为是独立坐标，从而

当算符▽作用于场量v时，t与x是相关的，，从而

-----（2）

将（2）式代入

欧拉方程最终变换为：.可见欧拉方程在x^/系中的形式与在x系中形式完全相同.

欧拉方程在惯性坐标系变换下协变是意料中的，因为欧拉方程是牛顿运动定律在流体力学中的表达，而牛顿运动定律对伽利略变换是协变的，故对欧拉方程自然也协变.

四.纳斯—斯托克斯方程（N—S方程）在所有的惯性系都成立

19世纪工程师们为了解决许多工程问题，尤其是要解决带有粘性影响的问题.于是他们部分地运用流体力学，部分地采用归纳实验结果的半经验公式进行研究，这就形成了水力学，至今它仍与流体力学并行地发展.1822年，纳维建立了粘性流体的基本运动方程;1845年，斯托克斯又以更合理的基础导出了这个方程，并将其所涉及的宏观力学基本概念论证得令人信服.这组方程就是沿用至今的纳维-斯托克斯方程(简称N-S方程)，它是流体动力学的理论基础.上面说到的欧拉方程正是N-S方程在粘度为零时的特例.

普朗特学派从1904年到1921年逐步将N-S方程作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，建立了边界层理论，能实际计算简单情形下，边界层内流动状态和流体同固体间的粘性力.同时普朗克又提出了许多新概念，并广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去.这一理论既明确了理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力.使上述两种情况得到了统一.

首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的方程：任取一体积为的流体如图1所示，设其边界面为，根据动量定理，体积中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和.以表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而表示作用于单位面积上的面力分布函数.

则作用在上和上的总质量力和面力为

及

其次，体积内的动量是

于是，动量定理可写成下列表达式：

                                                （1）

利用公式，得：            (2)

再利用的是高斯公式得：                           （3）

其中是应力张量.

将（2）和（3）式代入（1）式，整理得：

因任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即 （4）

（4）式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲线坐标下的形式.

因为，故

                                                       （5）

上式中利用到等式：，，

现在进一步处理（5）式右端的第二项

                            ，根据定义有

故                                                          （6）

又

       （7）

考虑到：

                                      （8）

                                 （9）

                                 （10）

将上面的（8）式代入（7）中，整理得，

   同理

  将，，表达式代入（6）式，得

             （11）

因为，所以

速度的随体导数

同理可得

所以（11）式可简化为

至此，我们将表示成曲线坐标系下的形式了.

在曲线坐标系下表示成:

最后，我们将表示成曲线坐标系下的形式.

应力张量：

，共九个量

可以证明应力张量是对称张量，所以也可以将写成

其在曲线坐标面上表示为

由式得：                   （12）

其中

同样把、、用（8）式代替得

       （13）

考虑到

因此可将（13）式化为：

同理：

将以上三式代入（12）式，得

             （14）

至此，已将、、全部表示成曲线坐标系下的形式，将其都代入（4）式，并考虑对应项相等原则，有

                                （15b）

                                （15c）

（15）式就是曲线坐标系下的方程的具体形式.

类似地，读者可以证明流体力学中的兰姆型的理想流体运动方程、柯西-拉格朗日定理、兰姆霍兹方程等流体动力学都满足伽利略变换，在此从略.

所有自然规律都只是近似的……是表现我们现有知识状态的近似.数学感兴趣的规则也正是自然界所选择的规则.基本的物理规律是以美和有力的方式来描述的，这是自然界的基本特征.我想我正是和这一概念（优美的数学）一起来到这个世界的.这种对数学美的欣赏曾支配着我们的全部工作.这是我们的一种信条……这对我们像是一种宗教，奉行这种宗教是很有益的，可以把它看成是我们许多成功的基础.凡是在数学上是美的在描述在基本物理学方面就很可能是有价值的.这实在是比以前任何思想都需要更加基本的思想，描述基本物理理论的数学方程中必须有美.今天我觉得在物理学中，人们最好的出发点是假定物理学务必要建立在优美的方程式上.应当学会在自己的思想中能不参照数学形式而掌握物理概念，并尽可能地了解数学形式的物理意义.研究者在他把基本的自然规律以数学形式表达出来的努力中应当力争数学美.很有可能物理学的下一个进展是沿着这样的路线：人们首先方程，并且需要若干年的发展以找出这个方程背后的物理思想.抓住不变量与变换式之间的矛盾，并通过不断扩大变换的不变性，来解决二者的矛盾，从而达到改革旧理论，发展新理论的目的.进一步前进的方向是使我们的方程在越来越广泛的变换中具有不变性.

五.流体力学中能量守恒定律在所有的惯性系都成立

首先根据能量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的能量方程：

任取一包含点的体积为的流体，设其界面为，为的外法线单位矢量，如图2.则能量守恒定律可以表述为：体积内流体的动能和内能的改变率等于单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体积的热量，容易看到，体积内动能和内能总和是：，其中是单位质量的内能，而质量力和面力所作的功则是及.单位时间内由于热传导通过表面传给内的热量是，其中为热传导系数，故单位时间内由于热传导通过传入的热量为.单位时间内由于辐射或其它原因传入的总热量为，其中为由于辐射或其它原因在单位时间内传入单位质量的热量分布函数.

能量守恒定律可以写为：

          （1）

根据公式（2），将上式中的随体导数改写为：

此外根据奥高公式将（1）中的面积分化为体积分：

于是（1）式可以写为：

因任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即：

         （2）

虽然（2）式是微分形式的方程，但是不够简洁.下面我们推到更简洁的能量方程.

    因为是对称张量，所以有：

……             （3）

由张量分解定理得：可以写成：          （4）

其中为对称张量，为反对称张量.从而（3）可以改写为：

                                       （5）

又因为，则（5）可以改写为：                 （6），

将（6）代入（2）得：（7）

在式左右两边点乘速度矢量，得：

即：                 （8）

将上式代入得：               （9）

虽然（9）式也是微分形式的方程，但是为了更好地写出曲线坐标下的形式，继续利用本构方程(在下一小节进行推导)写出另一种微分形式的方程.

将本构方程代入中有：

定义（10）为耗损函数并将其代入上式得：

当斯托克顿假设成立时有，将其代入（9）得：

利用连续性方程得：，于是有：

                          （11）

由热力学知识有：，为熵.将其代入上式得：

                                       （12）

到处我们已经推到出了我们所需要的能量方程了，下面将写出它在曲线坐标下的具体形式：先写出的具体形式，再写出的具体形式就可以写出（12）的具体形式.

因为，再根据有：     （13）

要写出的具体形式必须先写出对称张量在曲线坐标系下的形式.

我们首先推导的表达式，过点做正交曲线坐标系，在坐标轴上取流体质点组成的线段元，如右图.于是：

将代入代入上式得：

由此推出

于是

其次我们有

下标1和2轮换得：

两式相加得：

由此得：

采取下标轮换得方法可得及，综合起来得到在曲线曲线坐标下的形式：

                       （14）

另外              （15）

分别将（14）和（15）式代入（10），即可得出在曲线坐标系下的具体形式.

将在曲线坐标系下的具体形式和（13）代入（12）即可得出能量方程在曲线坐标系下的形式为：（16）

其中由（14）和（15）决定.

根据上面的推导可以看出，流体中能量守恒定律在所有的惯性系都成立，伯努利方程是能量守恒定律在流体中体现形式，所以伯努利方程在所有的惯性系都成立.经典力学中的相对性原理实际上就是指协变性问题，力学相对性原理类似于“脚”，伯努利方程等具体的物理方程类似于“鞋”，这样就容易理解它们之间的关系了.爱因斯坦认为，评价一个理论美不美，标准是原理上的简单性.这里的简单性是指逻辑简单性，即在科学理论中，作为逻辑出发点的彼此独立的初始命题（假设或公理）的数量要尽可能的少，通过逻辑演绎概括尽可能多的经验事实.因为“理论的前提简单性越大，它所涉及的事物种类就越多，它的应用范围就越广，给人们的美感就越深”.爱因斯坦把逻辑简单性作为建构科学理论的方法论原则，也作为科学创造的一个美学思想.因为简单性是秩序感的表现，它使人易于把握事物的特征，具有重大的审美价值.

雷诺数（雷诺准数）是表征流体流动情况的无量纲数.根据雷诺数可区分流体的流动状态（层流或湍流），此外，也可用来确定物体在流体中流动所受到的阻力.雷诺数体现了惯性力与粘性力量级的比.当雷诺数较小时，粘滞力对流场的影响大于惯性，流场中流速的扰动会因粘滞力而衰减，流体流动稳定（层流）；而当雷诺数较大时，惯性对流场的影响大于粘滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化很容易发展（增强）形成紊乱及不规则的紊流流场.

雷诺数是判别流动特性的依据；雷诺数越小则粘性力影响越显著；雷诺数越大则惯性力影响越显著.从广义的角度来看，当流体相对于背景空间（外界环境，参考系）的速度大于流体内禀的信号速度（流体内禀的声速）时；则体现为雷诺数较大（惯性对流场的影响大于粘滞力），则流体流动变得不稳定.