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斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解

摘要：重新解答了斜面上下滑滑块机械能守恒问题，得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车

上，下滑滑块机械能都守恒的新结论．

关键词：斜面上下滑滑块；动能；势能；机械能守恒

中图分类号：O 313.1    文献标识码：A

在水平地面上筑一表面光滑的斜坡，坡高为h，坡面与水平地面的夹角为θ．最初，有一质量为m的滑块（视为质点）静止在斜坡的最高处．时间t等于0时，滑块从斜坡的最高处沿斜坡自由滑下，同时有一小车相对于地面以恒速量值u向右运动．试问在地面（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和小车上观察，滑块的机械能是否都守恒，并说明理由．忽略滑动摩擦力和空气阻力等非保守力作用.

解：赵凯华编著的《新概念物理教程:力学》给出了保守力的一些充分条件: (1)对于一维运动，位置x 单值函数的力是保守力，例如服从胡克定律的弹性力; (2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力是保守力，例如重力; (3)凡是有心力都是保守力.在本题中满足“对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力是保守力”，所以重力和斜面的支持力都是保守力.

由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.

因为斜面的支持力是一个恒力，恒力的环路积分为0，所以在地面系和小车系斜面的支持力都是一个保守力，又因为重力也是一个保守力，因此它们的合力也是一个保守力.

在地面上观察时，以坡面顶点o为坐标原点，以过o且垂直于水平地面的向上的直线为y轴，以过o且垂直于y轴的向右的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图1所示．设最高点的势能为0.

设滑块t时刻的高度、速度、加速度、动能、势能、机械能分别为：y，v，a，E_k(t)，E_p(t)，E(t)，假设小滑块从顶端滑道底端所用时间为T，t≤T；在小车上观察时，滑块t时刻的高度、速度、加速度、动能、势能、机械能分别为：

y₁，v₁，a₁，E_1k(t)，E_1p(t)，E₁(t)．

则在地面上观察时有：

mgsinθ=ma，=a=gsinθ，dv=gsinθdt，= gsinθ×，v-0=(t-0)gsinθ，v=tgsinθ．

=v=tgsinθ，ds=tgsinθdt，=gsinθ×，s-0=(t²-0²)gsinθ，s=t²gsinθ．

0-y=ssinθ=t²gsinθsinθ=t²gsin²θ（-h≤y≤0），t²=，t=；s=．

v=gsinθ=，v²=-2gy．=-cosθ．

 E_k(t)= E_k (y)=mv²=m×(-2gy)=-mgy；

E_p(t)= E_p′(y)=mgy或E_p(t)= E_p′(y)=0-ma×s=-(mgsinθ)×=mgy．

E(t)=E_k(t)+E_p(t)= E_k′(y)+E_p′(y)=-mgy+mgy=0=常数．

所以，在地面上观察时，滑块的机械能守恒，守恒值为0．

在小车参照系上观察时：

=-u，= (-u)²=+-2u；=，=．

=+=+-2u×+=+-2u×=-2gy++2u×cosθ．

E_1k(t)= E_1k′(y)=m=-mgy +m+mu×cosθ．

==-0=；===；a₁=a=gsinθ．

m=m；m=m；ma₁=ma=mgsinθ．

0-E_1p (t)= - E_1p′ (y) = (ma₁sinθ)×s+(-ma₁sinθcosθ)×(-u)(t-0)=(mgsinθ)×+(mgsinθcosθ)×u×=

-mgy+mu×cosθ．E_1p(t)= E_1p′(y) = mgy-mu×cosθ．

E₁(t)=E_1k(t)+E_1p(t)= E_1k′(y)+E_1p′(y)=

-mgy +m+mu×cosθ+mgy-mu×cosθ=m=常数．

所以在小车参照系上观察时，滑块的机械能守恒，守恒值为mu²．当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合对应原理的要求.从分析力学角度计算不考虑约束力的功，可以认为是重力机械能问题，势能V=mgy，动能T=-mgy +m，机械能为mu²，与矢量力学计算的结果势能和动能不相同，机械能相同.

对应原理主要是反映新旧理论之间的继承和发展关系.可分为三个方面，在同一领域中存在的宏观与微观理论的对应关系，称为继承性对应原理.在不同领域中存在的类比相似的对应关系，称为相似性对应原理.在自然界中客观存在的客观一微观、宇观一微观的内在对应关系，称为主观与客观的对应原理.对应原理最早是被称为"原子物理之父"的玻尔在建立自己的氢原子结构理论以后提出来的，并在以后海森伯建立矩阵力学和薛定愣建立波动力学，以及狄拉克进一步统一，发展量子力学的过程中起了关键性的作用.1913年玻尔在研究氢原子光谱的巴尔末谱线(当时原子光谱的研究是在原子物理和天体物理中同时进行的，实际上也反映了宇观和微观之间客观存在的内在对应关系)的基础上，引入了定态假设、跃迁假设、轨道量子化条件，从而建立了氢原子结构理论，给出了氢原子光谱线系的统一表述:玻尔进一步发现，当核外电子过渡到大轨道时，量子理论和经典理论应该一致，(因为量子数n→∞时，相邻能级间ΔE→0，即可由量子理论的能级分立性→经典理论的轨道连续性.)称之为对应原理(1920年).由此，玻尔获得了1922年诺贝尔物理学奖.对应原理不仅肯定了旧理论是新理论的极限近似，而且还可借助于对应原理，由旧理论推出新理论，这在以后量子力学的建立发展过程中得到了充分的例证.

1925年海森伯自觉地把极限过渡对应原理并结合爱因斯坦的可观测性思想，作为自己建立量子力学的指导原则，努力寻求与经典力学相对应的量子力学的各种具体对应关系和对应量，把对应性类比和极限过渡结合起来，终于建立了矩阵力学.由此，海森伯获得了1932年诺贝尔物理学奖.同样，1926年，薛定铐在德布罗意的物质的波粒二象性思想的影响下，自觉运用了相似性对应原理，进行逻辑推理，提出了可能存在对应关系，然后运用了另一种形式的极限过渡方法，也终于建立了波动力学，并进一步证明了波动力学与矩阵力学的等价性.由此，薛定愣获得了1933年诺贝尔物理学奖.接着，1926年狄拉克又完成了波动力学与矩阵力学的变换理论，统一了两个形式体系，建立了非相对论量子力学.狄拉克主要是利用经典力学中的泊松括号，解决了量子力学最重要的特征一一力学变量的不可对易性问题，量子力学的不可对易性，就还原为经典力学的可对易性.反映了狄拉克把经典力学看作是量子力学极限的思想(即波尔的对应原理).由此，狄拉克与薛定锷共同获得了1933年诺贝尔物理学奖.总之，对应原理作为方法论，在量子力学的发展过程中，发挥了巨大的探索、创新、变革、更新理论的关键性作用.

说明：E_1p (t)= E_1p′ (y)=  mgy-mu×cosθ和E_p(t)= E_p′(y)= mgy并不始终相等，当u≠0时，当且仅当y=0时相等，也就是说只有初始状态时相等，主要是由于小车系在合力的分力方向上位移不是始终等于0;当u=0时二者始终相等，这也符合对应原理的要求.在滑块滑到底端时，小车系测量的势能为-mgh-mu×cosθ，地面系测量的势能为-mgh.在斜面问题中斜面的支持力和重力垂直于斜面方向的分力的合力是约束力，这样在地面系和小车系测量约束力做功之和为0，约束力不改变滑块的机械能，只需考察重力沿平行于斜面方向的分力即可.如果观察者沿着合力的垂直方向匀速运动，则它们始终相等，等于mgh，请读者自己证明．

解法2：据伽利略变换或图2知：

R=r+ut，V=v+u，A=a+0=a，F=mA=ma=f．V²=V×V=(v+u)×(v+u)=v×v+2v×u+u×u=v²+2u×v+u²，mV²=mv²+mu×v+mu²，E_k=e_k+mu×v+C，

dE_k=de_k+mu×dv+dC=de_k+u×mdt+0=de_k+f×udt．

dE_p=-F×dR=-f×d(r+ut)=-f×dr-f×d(ut)=de_p-f×udt．

dE_k+dE_p=de_k+f×udt+de_p-f×udt=de_k+de_p，d(e_k+e_p)=d(E_k+E_p)，de=dE=0．

所以在小车系观察时，滑块的机械能守恒．由于在小车系看来滑块在最高点的机械能为mu²，因此守恒量为mu².

在上面的斜面问题中势能只能说是重力分力势能或者类重力势能（相当于把重力缩小为mgsinθ，然后旋转一个角度），不是重力势能，因为质点受到的合力不等于重力.如果以沿斜面匀速下滑的小车为参照系，与重力机械能比较，仅仅就是相当于重力减小，机械能守恒定律也满足力学相对性原理.当观察者相对于斜面静止时，利用重力机械能守恒定律得出的结果等效，以至于人们发生误解——斜面问题中的机械能守恒问题就是重力机械能问题；当观察者相对于斜面匀速运动时，直接利用重力机械能守恒定律是错误的，应当利用势能定理（保守力所做的功等于势能的减少）来计算.在地面系和小车系计算的机械能都守恒，进一步验证了斜面的支持力是一个保守力.斜面的支持力也是由于形变产生的，也是弹力，忽略形变的话就是保守力.国家自然科学一等奖获得者、中国科学院力学研究所吴中祥研究员认为：忽略斜面上的摩擦力，它就是只考虑重力沿斜面分量的孤立系统！本题也可以按照两个保守力分别分析.机械能守恒定律中的保守力应该是保守力的合力，考虑了势能就不能再计算保守力的功了，不存在内力和外力之分，对于质点而言都是外力，可以分为保守力和非保守力，本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理.在这个问题中，在小车系看来可以认为是重力机械能不守恒，不能认为是机械能不守恒.

参考文献[1～12]一直认为斜面问题是重力机械能守恒问题，因此得出了小车系机械能不守恒的错误.文献[13～14]看作是重力机械能问题，此时必须在地面系和小车系都减去支持力的功，处理就非常复杂了.文献[15]利用内势能计算斜面问题，此时地面系和小车系都是非惯性系.文献[16～17]认为机械能守恒定律满足力学相对性原理但是不具有单独的协变性，因为系统的外力在一个惯性系可能不做功，在另一个惯性系可能做功，功具有相对性.质点所受到的合外力在两个惯性系中相同，在一个惯性系中机械能守恒，在另一个惯性系中机械能也守恒，研究机械能守恒问题应该研究保守力的合力，因此本文就研究滑块受到的合力（保守力），文献[16～17]的观点是完全错误的.文献[18]也提出了约束力是一个保守力的问题，文献[19]证明了光滑约束中的约束力是保守力.这个问题在国际上也比较纠结^[20].

对称性的研究在物理学中占有十分重要的地位，并已成为认识物质形体构造及其相互作用规律的基础.在物理学的研究中，基本物理规律（方程）所包含的对称性起着非常重要的作用.对称性分两大类：一类是时空对称性，它们是与描述物理事件的时空坐标变换（例如时空坐标的平移和Lorent变换）相联系的；另一类对称性是内部对称性.在场论中，它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的.这种变换称为内部空间的变换，物理学中的变换构成变换群.物理规律的对称性归结为基本方程在这些变换群下的不变性.现代物理的一个基本要求是描述自然规律的数学形式应与坐标系的选择无关，称为广义相对性原理或广义协变原理，协变一词的含义是协调变化，如果一个物理规律的表达式（方程）在某种变化的前后保持其形式不变，则我们称物理规律对于这种变换是协变的，或者说具有某种协变性.我们知道，凡是能用张量形式表述的自然规律的数学表达式必然与坐标系的选择无关，这正是张量的重要作用.而这里的协变性与协变矢量、协变张量没有任何关联.在场论中可以对不同时空点的场作独立的变换，相应的群元素是时空坐标的函数，这种变换称为定域规范变换，常简称为规范变换.物理定律（方程）在定域变换下不变，我们就称为定律具有规范不变性.当物理规律（方程）在定域规范变换下没有不变性或者说在对物理规律（方程）进行定域规范变换时，物理规律（方程）发生变化，不再具有不变性.为了保证描写的物理规律（方程）在某种对称变换下具有不变性，引入一个或一些新场，则可以恢复其规范不变性.这些场被称为规范场.亦即规范变换不是随意的，而是由被变换的物质体系的各种性质决定的，这些变换所遵循的规则使全体变换构成了一个规范场的规范群.为了得到在某种变换下保持不变的物理规律理论要求存在一种规范场，所谓规范场就是传递相互作用的场，不同的规范场传递不同的相互作用.不难看出，一个物理规律（方程）的对称性与其协变性、规范不变的关系是统一的，对称性是最根本的，共同的.规范不变和协变性是对称性的具体体现，协变性是一种对称性，规范不变性也是一种对称性，它们既有相同点又有不同点，一个物理规律同时可以有多种对称性，如规范不变性和协变性.SU(N)变换首先是协变的，然后满足规范不变的，广义相对论既满足协变性又满足某种规范不变性.爱因斯坦认为：当我们的知识之圆扩大之时，我们所面临的未知的圆周也一样.我认为只有大胆的臆测（主观地推测、猜测、凭想象揣测），而不是事实的积累，才能引领我们往前迈进.

科学理论应当完备，即不存在矛盾和不一致的地方，比如牛顿运动定律与事实有矛盾，就应该改革它.认为科学理论应当逻辑简单，概念和假设应当尽量地少，理论应当简洁.认为科学应当对称和谐.爱因斯坦在总结回忆时说：“它象在爬山一样，越是往上爬，越是得到宽广的视野，并且越能显示出我们的出发点与其周围广大地域之间的出乎意外联系.”

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New interpretation of mechanical energy conservation in the process of a block sliding down a incline

Abstract：It refurbished the issue of mechanical energy conservation of a block sliding down on incline， which straightforwardly led to conclusion， no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth， the mechanical energy of a block sliding down on incline is always conservative.

Key words：a block sliding down on incline；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy