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浮力和约束力是保守力及应用举例

摘要：利用浮力和支持力是保守力的观点，处理了几道中学生常见的力学习题，包括了2018年济南市中考物理的一道试题，纠正了错误答案.

关键词：浮力；支持力；保守力；势能；机械能守恒

中图分类号：O 313.1                      文献标识码：A

牛顿力学（也叫经典力学）研究的是物体的运动，运动就是物体的位置随时间变化，为了定量研究这种变化，必须选定适当的参考系.处理实际问题时，可以选用不同的参考系，相对于任一参考系分析研究物体运动时，都要应用基本力学定律.这就出现了一个问题，对不同的参考系，基本力学定律的形式完全相同吗？牛顿力学回答是：对任何惯性参考系，牛顿定律都成立.即在任何惯性系中观察，同一力学现象将按同样的形式发生和演变，对不同的惯性系，力学定律的形式都是一样的.这个结论叫力学的相对性原理，也叫伽利略不变性.相对性原理不是一个物理理论，而是对于物理理论的一个要求，满足相对性原理是一个理论成立的必要条件.对于正确的物理定律来说，从数学角度来看，满足协变性是必要的但不是充分的，这是合乎逻辑的.任何一个正确的命题，它的逆命题不一定成立，而逆否命题一定成立.相对性原理在物理学中的权威性就由它的逆否命题表述来体现，它有否决权，不满足一定不正确.力学相对性原理是指任何惯性系在牛顿动力学规律面前都是平等的，能量守恒定律是自然界中普遍存在的规律，从宏观低速物体到微观高速的微粒，都符合能量守恒定律，能量的形式多种多样，有动能、势能、核能、热能等等，能量守恒定律可以具体到某种形式的能量的守恒律，比如在机械运动中的机械能守恒定律，因此机械能守恒定律是动力学的普遍规律，是牛顿运动定律的直接推论，理应满足力学相对性原理.^[1～17]

一、支持力是保守力

例1在一个相对于地面匀速上升的电梯底部静止放置一个物体（视为质点），在地面的观察者和电梯里的观察者看来机械能是否守恒？

分析：对于电梯里的观察者而言，质点的动能和势能都没有改变，机械能守恒；在地面的观察者看来，电梯底部对于质点的支持力做功，动能不变，势能不断增加（取地面为势能零点），机械能不守恒.

其实这种分析是错误的，根据保守力的定义很容易得出电梯的支持力是一个保守力，重力势能增加量等于支持力势能减少量，质点受到的合力为0，总势能不变，动能也不变，因而机械能守恒.重力机械能不守恒，不代表机械能（力学能）不守恒.支持力是一种弹力，文献[5]给出了弹性势能的概念，文献[4]和[18]指出支持力也是保守力，本题中忽略空气的粘滞力和浮力等因素.在本题中对于电梯而言电能转化为机械能，机械能不守恒；对于质点而言只有动能和势能的转化，机械能守恒.在这个问题中如果以电梯为参照系，机械能显然守恒，在地面系机械能也守恒才满足力学相对性原理.

例2（济南市2018年中考物理试题中的第10小题）如图所示，小强乘坐自动扶梯匀速上升的过程中，他的（   ）

A． 动能不变，重力势能增加，机械能增大；B.动能减小，重力势能增加，机械能不变；

C.动能增大，重力势能减小，机械能不变；D.动能不变，重力势能减小，机械能减小.

原题的答案是A，速度不变，动能不变，重力势能增大，机械能增加.

本题的答案显然错误，正确答案为：小强（视为质点）动能不变，重力势能增加，支持力势能减小，总势能不变，机械能不变.在这个问题中如果以电梯为参照系，小强的机械能显然守恒，在地面系小强的机械能也守恒才满足力学相对性原理.

根据牛顿第三定律力的作用是相互的，电梯受到小强的压力（支持力），对于电梯而言支持力、重力都做负功，支持力势能增加，重力势能也增加，电梯的动能不变，因此电梯的机械能增加，电梯的电能转化为电梯的机械能（和部分的内能），电梯的机械能不守恒.如果把电梯和人看做一个系统，那么这个系统的机械能增加，电能转化为系统的重力势能（和部分内能）.

在上面的两个问题中研究对象是质点，可以不用考虑电梯，电梯空载匀速上升时，电能转变为电梯的机械能.

例3一个质点静止在水平地面上，在地面上的观察者看来，质点的动能和势能都不变，机械能守恒；在相对于地面匀速运动电梯里的观察者看来，质点的动能不变，支持力和重力同时做功，两个力做功之和为0，重力势能的减少量等于支持力势能的增加量，因此势能也不会发生变化，机械能也守恒，满足力学相对性原理.

如果按照上面的中考题的解法，地面的支持力做负功，就会得出在电梯系看来物体（质点）的机械能在减少的结论，可是减少的机械能转化为什么能量呢？在地面系机械能守恒，在电梯系机械能不守恒，显然不满足力学相对性原理.上面的三个题目中，研究对象都只有一个质点，不存在内力的问题.

二、流体的浮力是保守力

例4关于正在匀速上升的气球，下列说法正确的是（）

A．动能增加，势能减少，机械能的总量保持不变 

 B．动能不变，势能减少，机械能的总量保持不变

C．动能不变，势能增加，机械能的总量增加    

 D．动能、势能、机械能都不变

大部分资料给出的答案为：取地面为势能零点.正在空中匀速上升的气球，质量不变，速度不变，动能不变.高度不断增大，重力势能增大．由于机械能等于动能与势能之和，故此时气球的机械能增加.故选C

下面重新分析一下这个习题，首先忽略空气的粘滞力和温度变化，此时气球仅仅受到重力和空气的浮力，两个力是平衡力，众所周知重力是保守力.其实空气的浮力也是一个保守力，关于浮力是保守力的问题，有很多文献探讨这个问题，参见文献[19～30]，本文不再详细探讨，因此可以定义浮力势能.所以在气球匀速上升的过程中，气球的动能不变，重力势能增加，浮力势能减少，浮力势能（浮力势能可以认为是弹性势能的一种表现形式）的减少量等于重力势能的增加量，总势能不变，机械能也不变.由于气球仅仅受到保守力的作用，气球上下做变速运动，机械能也不变.

根据伯努里定律，流体中动能密度+势能密度+压强p，是一个守恒量.如果压强p，本身能当作机械能量密度一部分，那么伯努里定律正是机械能守恒定律.

如果考虑空气的粘滞力，由于空气的粘滞力做功环路积分为不等于0，是耗散力，浮力等于重力和空气的粘滞力的合力，因此气球的动能不变，重力势能增加，浮力势能减少，耗散力（粘滞力）做功，总势能减少，机械能减少，机械能的减少量（即总势能的减少量）等于空气粘滞力的功，此时减少的势能转变为内能.在本题中空气的粘滞力对于气球运动的影响不能忽略，因为气球在上升的过程中，由于大气压不断减少，气球的体积不断增大，气球对外做功，浮力逐渐增大，空气粘滞力也不断增加.所以本题的正确答案为——动能不变，势能减少，机械能的总量减少.虽然浮力是体积力，但是这里我们把体积忽略，物体视为质点，但是把力保留下来.

说明：以上各问题中由于相互作用的两物体质量差距甚远，只能按照外势能计算，此时势能属于质点，质点的动能+质点的势能=质点的机械能.

在上面的文章中支持力和浮力是恒力，恒力的环路积分一定为0，所以恒力都是保守力^[31].文献[1]和文献[4]说明了约束力是一个保守力的问题，文献[6]证明了在光滑约束中约束力是一个保守力的问题，文献[2]证明了所有的惯性力都是保守力，文献[5]和[32]证明了所有的稳定场都是保守力场，力学中的力可以分为保守力、耗散力和显含时间的力.

显含时间力场的定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场.

定理1  稳定场都是保守力场

证明：对于稳定场F=F(r)而言，F=F(r)都是连续函数，黎曼可积，假设U(r)=F(r)，质点从A点沿任意路径从A点到B点，再从B点到A点环绕一周，力F对该质点所做的功为

∮F(r).dr=+=U(B)－U(A)+ U(A)－U(B)=0，因此稳定场都是保守力场.

对于非稳定场环路积分一定不等于0，可以把保守力定义简化为：只与空间位置有关的力.静电场和静摩擦力是保守力场，动电场、磁场是非保守力场.

爱因斯坦说：“科学没有永远的理论!但是,从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本观念和关系.这就是整个自然哲学的基本原理!它象在爬山一样，越是往上爬，越是得到宽广的视野，并且越能显示出我们的出发点与其周围广大地域之间的出乎意外联系.”   

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