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“十瓶马提尼”问题的证明：用数论解释量子分形
有位数学家曾为该问题悬赏10瓶马提尼。最终的证明将量子力学与极其复杂的数学结构关联起来。
Lyndie Chiou, Joseph Howlett 著
左 芬 译
【译注：原文2025年8月25日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
1974年，在写出那本获普利策奖的书《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》之前五年，侯世达【译注：即Douglas Hofstadter。他本人学过中文，并取了中文名。】还是俄勒冈大学的物理研究生。当他的博士生导师前往德国雷根斯堡休假时，侯世达也跟了去，指望能练习下德语。两人加入了一群优秀的理论物理学家，而那些人正为量子理论中的一个特定难题而苦恼。他们想要确定，当一个晶格靠近磁体时，其中电子的能级会是什么样的。
侯世达有些格格不入，因为没法跟上其他人的思路。回想起来，他有些庆幸。“我的运气部分源自于没法跟上他们，”他说，“他们在证明定理，可这些定理跟问题的本质没啥关系。”
侯世达转而决定去测试一种更加接地气的方法。与证明定理不同，他想要算出一些数字来，使用一台HP 9820A台式计算器——一种接近40磅重的计算式机器，可以编程执行复杂计算。
侯世达需要它求解一种特定形式的薛定谔方程，而这一方程在量子力学中处于核心地位。当输入电子和周围环境的某些信息时，薛定谔方程就会给出电子的行为。特别地，它的解会告诉你电子拥有多少能量。
在侯世达感兴趣的情形里，薛定谔方程带有一个叫做阿尔法的变量，也就是磁场强度与一个网格面积的乘积。阿尔法体现着作用在电子上的力的信息。
侯世达是普利策奖获奖书籍《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》的作者。该书审视了数学、音乐以及更多领域的自指特征。
德国的数学家小组知道当阿尔法是有理数时——也就是说，要么是整数要么是分数——求解这一薛定谔方程虽然艰辛，但总是可行的（只要你拥有一台足够大的计算器）。可是当阿尔法是无理数时，也就是当它无法写成一个分数时，他们完全不知道怎么求解。
侯世达不想像他的同事们那样为无理数情况而纠结，而是从已知的开始。他将计算器编程好，输入阿尔法的一个有理数值，然后在纸卷上打印出输出。结果代表着电子允许的和禁止的能级。
每天晚上侯世达都会让他的计算器保持运转。第二天早上，他会在机器上收到一条纸卷，上面列出了允许能量的位置，对于每个他设定为输入的有理阿尔法值。他把几张图纸粘起来，然后开始用毡尖笔把这些能量值细心地画出来。这幅图后来被称为侯世达蝴蝶，因为图中的负空间跟蝴蝶规则的翅膀很相似。
当晶体靠近磁体时，它的电子只能拥有某些确定的能量。这些能量值依赖于晶体中的磁通量，而它衡量了电子所受的力的大小。1974年，侯世达对这一现象进行了图示（上图）。纵轴表示磁通量，横轴表示电子可能的能量值。侯世达注意到能量构成分形模式。完整的图（下图）此后被命名为侯世达蝴蝶。
侯世达的同事不理解他这种费劲的方法的要点是什么。他们嘲笑他是想要把稻草纺成黄金，并把他的计算器叫做“侏儒妖”【译注：侏儒妖把稻草纺成黄金的故事，见《格林童话》。】。
甚至他的导师也把这种尝试贬作“数字命理学”，并扬言要中止他的资助。“他暗指我在搞迷信，胡说八道，”侯世达说，“说我想要从数字中无中生有地找出含义和模式来。”
可是在他的图纸上浮现的蝴蝶激起了他的兴趣。侯世达注意到当他输入分数时，允许的能量会被长条的禁阻值分隔开。当分数越来越复杂，分母有更多数位时，可能的能量之间的间隔也变得更多。能量值开始构成一种视觉上震撼的模式——分形，而这意味着小的片段看上去跟整体是一样的。
直觉告诉他这反映了一个深刻的数学事实。“很明显我抓到了老虎的尾巴，”他说。他认出了这只老虎。它就是Cantor集。
这一集合是以数学家Georg Cantor命名的，因为他在1883年利用一条简单的规则把它通俗化了：给定一条线段，将其三等分，然后去掉中间那一等分。这留给你两个片段，中间被空白隔开。接着去掉它们各自中间的那一等分，以此类推。如果你执行这一过程无穷多次，你会得到无穷多个点的集合，像尘埃一样分散在数轴上。
侯世达从不插入阿尔法的无理数值。无理数无法表示为分数——它需要分子或分母有无穷多数位，而这无法在计算器上编程处理。不过他注意到当阿尔法的有理数值越来越接近一个无理数时，允许能量值的集合——蝴蝶图案每一行的墨带——看起来越来越像一个Cantor集。因此，他猜想，当阿尔法是无理数时，可能出现的能量会形成一个真正的Cantor集。
多年以后，两位杰出的数学家从一个截然不同的方向出发得出了相同的结论。Barry Simon 和Mark Kac一直以来研究的是殆周期函数。周期函数比如正弦波的输出会不断地重复。但殆周期函数会描绘出一条非常接近重复的路径，但永不重复。
1981年，Kac和Simon在午餐会面时开始讨论侯世达和他的同事们试图求解的那类薛定谔方程。当阿尔法是无理值时，方程会变成一种殆周期函数。这恰好是他们一直在研究的一种现象。基于他们对殆周期函数的认知，侯世达是对的：允许的能级会在阿尔法是无理数时构成Cantor集。
可是Simon和Kac也没法证明它。Kac宣称他会为任何证明出来的人献上10瓶马提尼。Simon开始传扬Kac的悬赏，于是这一问题逐渐被称为10瓶马提尼猜想。
数学家Kac曾承诺为解决量子理论中一个重要问题的任何人献上10瓶马提尼。在证明2004年最终完成时他已经去世了。上图中，研究该问题的一个数学家小组在当年举办的一个会议上庆祝该证明来纪念他。
多年里，数学家一点点地凿着这个问题，并在阿尔法的某些（并非全部）无理值时证明了猜想。Simon在1982年公布了这些中间结果之一。Kac向他献上了三瓶马提尼。在Kac 1984年去世时，这一问题依然未解。荣获全部十瓶马提尼的证明还需要再等待20年才会出现。
有点丑陋
2003年，曾花费多年时间研究嵌入薛定谔方程中的殆周期函数的Svetlana Jitomirskaya打算放弃贯穿她职业生涯的目标：证明十瓶马提尼猜想。一年前，一个名叫Joaquim Puig的竞争者对除少量类别之外的所有阿尔法无理值给出了证明。雪上加霜的是，他使用的是她自己之前公布的技术。“我很自责，”她说，“所有的困难工作都在我的证明里了，可是接着他想出了这个美妙的论证。”
因此当一个24岁数学家Artur Avila前来拜访她，并提议一同研究剩下的阿尔法值时，她很震惊。“我告诉他这会非常困难，相当耗时，并且没人会在意，”她说。
人们会在意的。他们2005年线上公布的证明最终发表在学科最负盛名的期刊《数学年鉴》上。Avila 之后荣获Fields奖，部分因为他在这一问题上的成果。
他们决定自己履行十瓶马提尼的承诺。“我们为了庆祝喝过好多回了，当然也有马提尼，”Jitomirskaya说。
Svetlana Jitomirskaya多年来一直研究从电子的量子行为中涌现出来的微妙模式。
可是在某些方面，证明有点不太令人满意。Jitomirskaya和Avila使用的方法只适用于阿尔法的某些无理值。将它与此前出现的一个中间证明结合起来，他们可以说解决了这个问题。可是这个拼凑起来的证明并不优雅。它是一种百纳被，每一块是用不同的论据缝出来的。
此外，这些证明只解决了猜想的原始形式，而这需要对电子的环境做出简化的假定。更实际的情况要棘手得多：固体中的原子被排布成更复杂的模式，且磁场也不完全是常数。“你对这一个模型证明了它，可这跟现实有什么关系呢？”苏黎世联邦理工学院数学家Simon Becker说道。
在这些更现实的情况下你需要微调薛定谔方程中阿尔法出现的部分。而当你这么做的时候，十瓶马提尼猜想的证明就不再适用了。“这一点一直困扰着我，”Jitomirskaya说道。
在这些更广泛情形下证明的失效也意味着涌现出来的那些美妙的分形模式——Cantor集，侯世达蝴蝶——不过是一种数学珍品，一旦方程变得更现实时就会烟消云散。
Avila和Jitomirskaya转向了其它问题。甚至侯世达自己也存有疑虑。如果在实验中能看到他的蝴蝶，“我将会是世界上最惊讶的人。”他在《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》中写道。
可是在2013年，哥伦比亚大学的一组物理学家在实验室中抓到了他的蝴蝶。他们在磁场中放置了两层石墨烯薄片，接着测量石墨烯电子的能级。量子分形毫无保留地呈现了出来。“突然之间它从数学家的想象变成了一种实物，”Jitomirskaya说道，“这让人非常不安。”
她想用数学去解释它。而一个新的合作伙伴带来了实现这一点的想法。
峰回路转
2019年，葛灵睿加入了Jitomirskaya的小组。Jitomirskaya和Avila在十瓶马提尼问题上的工作以及Avila后续试图探讨的研究方向都让他大受鼓舞。
Avila对数学家们用来理解殆周期函数的零碎方法逐渐厌倦了。他转而开始发展他所谓的“全局理论”——一种用来揭晓各种殆周期函数中高层次结构的方法，进而用来一次性地求解全部函数类别。
葛灵睿协助发展了一种方法来理解量子物理中出现的重要方程，也就是殆周期函数的解。
为了做到这一点，他将一种几何对象与给定的殆周期函数联系起来，并研究其性质。他意识到这些几何性质中的一些可以帮助他求解原始函数。
可是它只对某些类型的函数生效。它无法处理十瓶马提尼问题所需要的那类计算。也不清楚它将来到底行不行。
这是因为，要证明十瓶马提尼猜想，数学家先得将薛定谔方程转变成一个关联的方程，也叫对偶方程，然后求解这一新方程。Avila的理论在对偶方程的高层次结构上得不出什么来。
或者说他是这么认为的。可是葛被Avila刻画的这些几何对象迷住了。他猜测这些对象的其它性质隐含着更多信息——而这些信息或许能说明对偶方程的各个方面。“我看得出这是一个非常优美且重要的理论。”葛说。
他和Jitomirskaya——以及中国南开大学的尤建功和周琦——找到了一种新方法来解释Avila的几何对象，并将其应用于对偶侧。这使得该理论变得极其强有力。这也使得葛、Jitomirskaya及尤对多种不同情形下十瓶马提尼问题的求解给出了单一的证明。拼补的做法不再必要。
这一结果将侯世达蝴蝶加固为一种真实现象。抽象的数论世界掌控了物理世界。
自那以后数学家又使用这一版本的Avila全局理论解决了该领域内另外两个关键问题。他们预测这仅仅是发掘出来的这一方法展示威力的开始。“我们发现了全局理论背后隐藏的这一奥秘，”葛说道，“它就像黑暗大海上的灯塔，为我们指引正确的方向。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/
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