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年仅17岁的Hannah Cairo解开重要数学谜团
为了突破居家学习的局限性，这位青年人参加了伯克利的一门研究生课程，最终在那里证否了一个40年之久的猜想。
Kevin Hartnett 著
左 芬 译
【译注：原文2025年8月1日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
从来没人说过没读完高中的青少年就不可能解决复杂的数学问题。不过出现这种情况的几率一定会很小。
然而2月10日公布的一篇文章让数学界先是震惊，接着欣喜，最后准备欢迎一个超常的天才加入其中。文章的作者叫Hannah Cairo，那时刚满17岁。她解开了一个40年之久的谜团，所谓溝畑-竹内（Mizohata-Takeuchi）猜想。
“毫无疑问地，我们全都震惊了。我从没见过这类事情发生，”伯明翰大学的Itamar Oliveira 说，他在过去两年里一直试图证明该猜想为真。而在Cairo的文章里，她证明其是错的。这一结果违背了数学家对于函数可能行为的常规直觉。
其实Cairo本人也是如此，她经历了多年独立的居家教育，并通过一条非正统的路径进入数学界，最终找到了她的证明方法。
没有边界的世界
Cairo在巴哈马群岛的拿索长大，她父亲在那里从事软件开发者的工作，所以父母才搬到了那里。她和她的两个兄弟——一个长她三岁，一个小她八岁——全都是居家教育的。Cairo通过可汗学院的在线课程开始学习数学，并迅速通过了标准课程。到11岁的时候，她已经学完了微积分。
很快她就把在线能获取的所有内容吞噬殆尽。父母找了两个数学教授来远程辅导她——先是威尔斯利学院的Martin Magid，接着是克拉克大学的Amir Aazami。不过她的大部分教育都是自我指导的，通过独自阅读和吸收导师们推荐的研究生水平数学教科书。“最终，”Cairo回忆道，Aazami“说了句拿报酬心里有些不安，因为他感觉他并没真正教我。因为基本上我会自己读课本，然后试着证明定理。”
Hannah Cairo在14岁时就自学了等同于本科高年级的数学课程。
不过Cairo觉得居家教育太束缚了。
“在某种意义上，不可避免会有一种千篇一律性。不管我做了什么，我都是在同一个地方做着大致相同的事情，”她说，“我非常孤立，并且找不到办法来真正改变这一点。有时候醒来时我会觉得，我只是变老了。”
数学成为了一种逃避方式，一个让她在受限的日常生活里可以不断扩张的新天地。
“数学是我能探索的另一个世界，这个世界没有界限，我在任何时刻只要思考就可进入它。”她说，“我就是这样思考数学长大的，因为这个世界的想法我可以独自探索。这样一种过程使得我看待数学的方式跟许多人都不一样。”
2021年，在新冠流行期间，Cairo的世界开始变宽，尽管对许多其他人而言圈子在变小。旅行限制将她的家庭困在她祖父母在芝加哥的房子里。在那里，她加入了芝加哥数学圈，其中一些老师和学生聚集起来共同解决困难的问题。
这一经历让她在第二年申请了一个为期两周的线上暑期课程。该课程由伯克利数学圈运作，而这个圈子已经培养了世界上最超常的一些数学天才。在她的申请里，她列出了一系列自学课程，这些合在一起等同于本科高年级数学学位。她当时14岁。
尽管才十几岁，Cairo构造出了一个行为古怪且料想不到的函数，进而证否了Fourier限制理论领域中的一个主要猜想。
“Hannah是超凡脱俗的，”伯克利数学家以及伯克利数学圈创始人Zvezdelina Stankov说道，“每次她申请学校或者课程时，都遥遥领先。”
不过这些零星的经历并没能让Cairo确信自己拥有超常的数学才能。她轻言细语，开朗且谦虚，并且看起来真心不确定自己的才能跟任何其他人比起来怎么样——部分原因是多年里她唯一的参照点就是自己。
“从小到大，我真的不清楚我是不是有天赋，”她说，“我喜欢弹钢琴，并且周围的人们会说我在数学和钢琴上确实有天赋。回过头来，现在再来看的话，我确实能看出来，我的钢琴超出平均水平。但这绝不意味着超常。而在另一方面，看起来我在数学上确实有点不寻常，可以这么说。”
找到定位
2023年，在伯克利数学圈度过第二个夏天后，Cairo琢磨下一步应该怎么办。她已经申请了好几所高校，并且尽管大多数都拒绝了她——她都还没完成高中学业呢——加州大学戴维斯分校接受了她。她是该提前三年开始本科学习呢？还是该寻求其它地方的教育机会？
Stankova鼓励她另外参与伯克利的并行入学项目，在那里她可以上到领域内顶尖研究者教的研究生水平数学课程。
当Cairo公布她找到的溝畑-竹内猜想的反例时，整个数学界都震惊了——既因为这解决了一个重大的未解问题，同时也因为Cairo当时仍在读高中。
Cairo听从了这一建议。2023年秋天，她家搬到了戴维斯，在伯克利西北60英里。在那里，她的兄长成了加州大学戴维斯分校的大学新生，而她的父母允许她周二和周四通勤到伯克利去。到了春天，她每周要去五天，并且又多上了几门课。回想起来，那段日子里她才开始感到前途无量。
“我开始交了新朋友，感觉很好，”她说。春季学期结束后，她家从戴维斯搬到了伯克利——她的兄长决定转学过去——而Cairo也终于觉得能够安定下来了。
尽管如此，还是有一个适应期。“我没有太多社交经验，所以我还得学习如何跟其他人互动。”她说。
随着2024-2025学年度的临近，Cairo考虑起要修哪些课程。有一门课程尤其吸引她的眼球——调和分析的一个分支Fourier限制理论的一门研究生课。“它是那个学期给出的最高级分析课程之一，所以我想，我就选它吧，”她说。
数学家张瑞祥给了Cairo一道家庭作业题目，让她沉迷其中。他后来成了她的导师。
这门课程的老师是张瑞祥，一位富有成就的数学家，而他进入数学领域则遵循了一条更加传统的路径：高中最负盛名的比赛，国际奥林匹克数学竞赛2008年金牌得主；普林斯顿大学博士；普林斯顿高等研究院博士后；世界上最顶尖的数学系之一伯克利的终身教授职位。
Cairo给张发了邮件，想要选课。“Hannah非常专注，并且看起来对这个主题很热衷，”他说，“对于我来说光是这种态度就够了，所以我直接同意了。”
仅仅过了几周，在做一套习题时，她就遇到了一个问题，让她欲罢不能。
附加作业
这一问题是溝畑-竹内猜想的简化版。张把它放到家庭作业里作为一种热身，意图鼓励学生在一个深奥的数学方向上锻炼出高级技术来。作业里还有一个备选的推广，鼓励他们去考虑在简化情形下找出的证明是否可以推广到问题更复杂的提法中去。
Cairo完成了问题集，并接受了张的挑战继续思考。对于她而言，遵循一个思路到尽可能远的地方似乎是很自然的。“我为什么要停下来呢？”她说。
溝畑-竹内猜想这一问题归属于调和分析，研究函数如何从类波成分组装起来的一个领域。
任何给定函数都可以写成更简单的类波片段，所谓正弦波，的求和。这些正弦波中的每一个都相应地有一个频率。数学家往往想要理解只从某些频率的正弦波构建出来的函数的本质。在这些情形下，被允许的频率会满足一些方程，而它们会刻出特殊的形状，比如一个球面。这么做的原因是，许多物理波——比如光，声和量子粒子——的定义函数都受限于这些类型的频率。
在Cairo看来，“数学是我能探索的另一个世界。这个世界没有界限，我在任何时刻只要思考就可进入它。”她说。
溝畑-竹内猜想考虑的就是频率落在这样一种表面上的波构建出来的函数。它声称函数的能量——函数变得多大的一种测度——只能以特定的模式分散和聚集。
这就好比你在一个奇形怪状的屋子里弹音乐。有时候，音乐会回响并增强，变得非常响亮。但出现这种情况时，它只会在某些位置上发生。
数十年来，数学家们只在溝畑-竹内猜想的少量特殊情形上得到了有限的进展。但一般性问题依旧全然未解。看起来没有哪种标准方法可以撼动它。这种密不透风性使得一些数学家怀疑这一猜想是错的；其他人则觉得它很优雅，所以更可能是对的。
“有些早晨，我醒过来会这么想，它如此简单，表述得又如此优雅，并且还如此广泛，最终它一定会是对的，”爱丁堡大学数学家Tony Carbery说道，他已经研究这一问题几十年了。“其它的早晨，我会醒过来说……它不可能以任何一种直截了当的方式成立。”
数学家陷入了僵局。
超越极限
在任何困难问题的证明之路上，都会有大量疑惑。数学家们会疑惑自己的方法，疑惑自己的直觉，疑惑所遵循的想法——当下很有希望——事实上会受阻。
在Cairo这里，这些疑惑加深了。她是这个领域的新人，而她证明完整猜想的早期努力是试探性的，不完备的。她质疑自己是否走在正确的方向上。张也是如此。
在决定跳过本科后，Cairo很快会开始她在马里兰大学的博士学习。
“我在接访时间里去问他，‘这些想法可行吗？’可结果它们都不行，因为太天真了，”她说，“就这样来来回回。我会带着新想法在接访时间里去，问他是否可行。而他会说不。”
Cairo继续阅读和思考。最终，她设法构造出了一个古怪的复杂函数，所采用的波的频率全都落在一个曲面上——并且是猜想所规定的那种表面。通常，当你把这些波加和起来时，它们会干涉，在某些地方彼此相消，而在其它地方彼此增强。
可是Cairo证实，在她的函数里，它们并不会像预想的那样抵消。取而代之，它们的干涉会生成不规则的模式，使得函数的能量会在某些区域分散，而在其它区域以溝畑-竹内猜想禁止的一种类分形方式聚集。她盯着自己的这个数学构造，从大多人的观点来看它就不应该存在。
一开始她对此有些谨慎。“这种事情经常在我身上发生，”她说，“我会得到某种很像是证明的东西，然后我觉得证明出来了，但【后来】我其实错了。”
接下来发生了两件事情。第一件是，她意识到可以把她的复杂构造用一个大幅简化的构造替代，并得到同样的结论。
另一件是，她让她自己和张确信了结果是对的。
“Cairo的文章很好地展示了，自然而优雅的猜想会以我们始料未及的方式失败，”Oliveira说道，“但要看出这一点，我们得通过恰当的镜头。”
全新景观
自从Cairo 2月份把这一证明公布后，它以及它那不大真实的作者已经让数学界沸腾了。“我简直惊呆了。这是我在近乎40年里最中意的问题，而我被彻底打败了，”Carbery说道，“当我发觉【Cairo】比我预想的年轻很多时，我被深深折服了。那篇文章在行文上的优雅上也相当不凡。”
数学家们正醉心于Cairo的工作会如何激发新的研究。“我很确定，从今往后，每当我们遇到类似风格的问题，我们会试着用Cairo式构造去检测一下。”Oliveira说道。
他和调和分析界的其他人还将重新审视领域景观的变化。在调和分析里，有一群关于波的能量如何聚集的问题。如果一个所谓Stein猜想是对的，它会强化这一大群中最重要的一些问题之间的联系。可是Cairo的工作表明Stein猜想是错的。它排除了数学家们指望在调和分析不同部分之间建立的最有前途的关联之一。
数学界也在适应关于Cairo本人的这一事实。在完成证明后，她决定直接申请高校研究生，完全跳过本科（以及高中文凭）。在她看来，她已经在过着研究生的生活了。Cairo申请了10所高校的研究生。6所拒绝了她，因为她没有本科学位。2所接受了，但接着这些大学的行政高层又否决了这些决定。
只有马里兰和约翰·霍普金斯大学乐意接纳她直接开始博士学业。她将在秋天加入马里兰。当她博士毕业时，这将会是她人生中第一个学位。
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/at-17-hannah-cairo-solved-a-major-math-mystery-20250801/?mc_cid=3109bd8ff0&mc_eid=a1a6341422
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