精选
全新“超扩散”证明触及湍流的神秘数学
湍流是一种极难研究的现象。如今数学家开始从细微处对其解密。
Joseph Howlett 著
左 芬 译
【译注：原文2025年5月16日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
在肥皂泡表面，湍流的旋涡四处漂移。
1906年9月30日下午，20万巴黎人簇拥在城市中心附近，观看后来全世界最负盛名的热气球比赛的首演。来自7个国家的16位当时最伟大的气球驾驶员力图飞行尽可能远的距离再降落，并且仅有一个氢气开关阀门控制他们的气球。
当高达50英尺以上的黄色和琥珀色气球升入空中时，天气好得不能再好了。但在太阳落山观众散去后，突然起风了，把气球猛烈地吹散到诺曼底附近，并越过英格兰海峡吹向英国。
驾驶员们毫不知情地参与到了这样一个实验，而这个实验将改变数学物理的进程。近20年后，一位名叫Lewis Fry Richardson的贵格会科学家在研究湍流气候的影响时，偶然在《航空杂志》上发现了他们着陆地点的表格。他把气球数据做成了图，连同他自己收集到的火山喷发时灰烬的移动数据以及蒲公英种子被风吹散的轨迹数据一起。
在每种情形下，他都观察到了同一种模式：地球大气的湍流涡旋会在不同大小尺度上将物体以惊人的效率散布开来。Richardson接着写下了这一过程如何运作的一个普遍定律，而正是这一定律，数学家们在100多年后的今天仍在绞尽脑汁想要证明出来。
湍流是现代科学中最大的谜团之一。建模流体——从河流到气流——流动的方程在两个世纪前就出现了，并且它们在流体平稳运动时运作得很好。但一旦流变得湍急，流体会分裂出种种旋涡，而它们又会进而长出更小的旋涡。这一模式会一直往越来越小的尺度上持续，直到分子撞击最终阻止旋涡的形成。这些不同尺寸的涡旋全都相互影响，使得用这些方程来建模流体的行为变得完全不切实际。我们根本就没法知晓一个给定的微粒——或者说，掉进汹涌的河流里的一只橡皮鸭——接下去会怎样。
通过在计算机上收集数据和模拟流体，物理学家们已经能够推断湍流的某些特征。可是数学家们往往无法证明这些论断。湍流这一谜团还是数学中的最大挑战之一，百万大奖问题，之一的关键所在。
Gordon Bennett杯赛的目标是将一个热气球从起飞点飞到尽可能远的地方。这里所示的1908年赛事出发于柏林。
Richardson还给出了关于湍流的另一个论断。他猜想，如果你将两只橡皮鸭放到河里，它们会越来越远离，并且远离的速度远远快过你所能预想到的。所有这些涡旋之间的某种互动会给予鸭子一种特殊的加速。
如今，这一加速的散布，所谓超扩散，被视为湍流的印记。可是，直到最近，它一直没能被严格证明——哪怕是在高度简化的流体模型中。
去年这一状况终于得以改变。史无前例地，三位数学家证明扔到简化的湍流流体中的微粒确实会呈现超扩散：它们会以一种可预言但出奇快的方式散开。
“我认为这将成为湍流数学中最具影响力的结果之一，” 未参与这一工作的纽约大学Courant研究所数学家 Vlad Vicol称。
不过在Courant研究所数学家、新文章作者之一的Scott Armstrong看来，这一结果的意义将远远超出湍流本身。在过去十年里，他一直在宣扬一种神秘数学技术的潜力。他确信这一技术远远比数学家认识到的更为强大——而这一论断在他的许多同行那里遭遇到了质疑。如今，在使用这一技术挑战了湍流之后，他希望会逐渐改变人们的观念。
花招
Armstrong起初并没预料到他的研究会涉及到湍流。“十年前，我根本不知道湍流是什么，”他说，“我是在研究了一个非常晦涩的问题后，误闯入湍流的。”
他那时在使用一种叫“均化”的数学过程分析金属材料的一种简化模型。在适当的方案里，均化能让你证明在微小尺度下看起来繁复且嘈杂的一个体系在大一点的尺度下事实上会呈现出简单的行为。它本质上就是一系列论证过程，来说明小尺度噪声是如何在长距离下平衡掉的。
十年时间里，Scott Armstrong一直在推动一种数学技术，希望可以用到更广泛的问题种类中。
可是均化通常只在非常严苛的假定下才能运作。小尺度噪声必须处在某种界限以内——它不能过于极端。这限制了均化的用途：数学家们只能把它用于分析最简单的物理体系。
不过，Armstrong与他人不同，他在均化中看到了美和潜力。他认为如果对这一技术加以打磨，它可以用到嘈杂得多的情形下，进而更加贴合实际。“我始终认为，最终这一方法一定会适用于大量问题，”他说，“如果我能让它真正运作起来，这将成为一种重要的想法。”
但首先他需要一个测试案例。他想用均化证明别人认为它无法胜任的某件事情——并且是数学物理学家关心的一个问题。
这就是湍流起作用的地方了。
Richardson曾猜想，在湍流中大旋涡携带的能量会为稍小一点的旋涡充能，以此类推直到最小尺度。那时能量会通过流体分子之间的摩擦而转化为热量。他用一句打油诗来概括这一想法：“大旋涡用速度供养小旋涡，小旋涡供养更小的旋涡，直到粘滞。”
Richardson猜想这一过程必然使得掉进河里的两只鸭子的距离增长遵循经典物理学中无处不在的一个简单方程，也就是扩散方程。但只有在这一特殊情形下，从大旋涡到小旋涡的能量倾泻会强化距离增长的速率——因此在湍流中，鸭子会呈现后来所谓的超扩散。
可是就跟许多湍流现象一样，数学家们没法证明它。
视频：物理学家使用囊括了粘滞性、速度、压强和密度的Navier-Stokes方程来描述流体流动。但由于流体出现湍流，证明这些方程始终合理是物理学与数学中最难的问题之一。【译注：视频略。】
正因如此，在1980年代晚期，一群物理学家简化了这一方案。他们构造了理想化湍流的一种简化模型。这一流体仍然呈现湍流的特征旋涡，但它由相对简单的方程所主导。团队接着提出Richardson曾经问过的同一问题：如果他们把固体微粒（或者鸭子）扔进这一想象的流体，它们会散开得多快？
正如Richardson一样，这些研究者猜想微粒会呈现超扩散，尽管扩散速率会跟实际流体中不同。他们使用物理学中被称为“重整化”的一种技术确定了这一速率。可是重整化在严谨性的缺失上臭名昭著——知名物理学家Richard Feynman称其为“花招”——尽管它往往给出正确答案。数学家们仅在少量情形下得以将重整化严格化，多伦多大学的Jeremy Quastel称。“问题在于，它是一种非常含糊的想法。”他说。
因此，尽管数学家能够证明微粒在物理学家的理想化流体中如何散开的其它论断，他们没法证明关于超扩散的这一猜想。数十年来，似乎每个研究湍流的人都必须做出抉择——要么就跟那个物理学家团队一样使用含糊的、蒙混过关的论据来做出很强的猜想，要么坚持严格的数学，证明分量很弱的结果。
Armstrong认为，一旦他能用均化把物理学家的重整化解释置于更坚实的数学基础之上，这一状况就将改变。
步步为营
为了证明湍流中的微粒会以足够快的速率散开——从流体旋涡的相互作用中获得额外动力——Armstrong首先得对这一散布行为有更好的了解。
这正是他希望均化能介入的地方：证明在更大的尺度下，流体行为的各个方面可以用简单的方程刻画，而这进而会告诉他微粒的扩散速率。其他数学家对此存疑。研究人员此前尝试过用均化解决湍流相关的问题，但他们从未走得太远。因此当Armstrong提及他的目标时，“他们说我无法证明它，”他回忆道。
但他并未放弃。他和自己的长期合作者，赫尔辛基大学数学家Tuomo Kuusi搭起了伴——“我差不多嫁给了他。我的意思是，你最好的朋友不就是这样吗？”Armstrong说道——还带上了他在Courant研究所的博士后Ahmed Bou-Rabee。三位数学家打算加强均化，使得它能成为最初的重整化论据的严格版。
Tuomo Kuusi最近协助证明了掉落在简化湍流中的微粒呈现出所谓超扩散性质。
他们首先设想有一个非常精细的网格重叠在他们的流体上。接着他们计算在网格的每个方块里微粒平均而言会停留多久。在某些方块里，流体表现得像飞奔的河流：微粒倾向于在方块上一扫而过，只在其中停留非常短的时间间隔。在其它方块里，小的旋涡可能会将微粒四处推动，让它们慢下来。
问题在于，数学家算出来的数字随着方块的不同可能差别巨大——恰恰反映了通常阻止数学家使用均化的那种小尺度无序性。
Armstrong，Bou-Rabee和Kuusi得想办法绕开这一点。
整理无序
三位数学家希望证明在比他们的网格稍大的尺度上，流体行为会没那么嘈杂和无序。如果他们可以做到这一点，他们就能使用典型的均化技术来理解在最大尺度上发生了什么。
可是其他数学家认为哪怕他们成功分析出这些中间小尺度的结果，流体也只会显得更加混乱。在一切变得平滑之前，旋涡会先合并，并以更加复杂的方式相互作用。试图证明相反的结论有点异想天开。
Ahmed Bou-Rabee使用概率性方法来研究偏微分方程组，包括主导流体行为的那些。
团队依然决定一试。他们先画出一个稍微粗化的网格，其中每个方块由原始网格中的数个方块组成。生活在原始网格的单个方块里的小旋涡现在可能会合并，进而改变微粒在新方块里停留的平均时间量。或者更复杂的行为可能出现。
团队再一次计算出微粒在每个方块中会停留多久，以及相邻方块的数值会差别多大。这需要艰辛的工作：他们必须追踪每个方块中流体行为的变化，以及这如何改变微粒的可能运动。他们接着证明在这一粗化的网格里，相邻数值之间的差异倾向于变小。
他们对越来越粗的网格做了计算，直到他们证明在一个更大——尽管仍然相对较小——的尺度下，流体已经足够良好到可以使用典型的均化。“你必须对这一全新过程重复无穷多次，”Vicol说，“从一个数学家的视角来看，他们竟然把这个计算完成了，简直不可思议。”这用到了超过300页的计算和证明，花费了这些数学家近两年的时间。
“这是一个非常高强度的过程，”Bou-Rabee说道，“许多个周六的早上，我们6点起来就去办公室工作，接着第二天也是。”
可一旦他们能应用常规的均化技术库，他们就有了流体在大尺度下的足够信息来明确掉进去的两个固态微粒会按照扩散方程散开。三人组接着计算了这一扩散的速率，发现它跟物理学家们数十年前猜想出来的完全一样。
他们也就证明了超扩散猜想。
远景
三位数学家把这一结果写成了两篇独立的文章。它为湍流的一种特性，也就是它们会以惊人的效率将微粒散布开来，首次提供了严格的数学解释。这是一个世纪前Richardson在气球迷们跨越欧洲的分布中观察到的这类现象的首次证明。“得到这类确定性的结果可不容易，”Quastel说道，“我被震惊了——许多人都被震惊了。”
对Armstrong来说，他把这项工作看作对自己在均化上的抱负的一种认可。“没人预料到我们这么快就能超出自己的跑道，”他说，“所以没人想到我们会介入并开始使用这些方法来解决其它领域的问题。这一切毫无征兆。”
赫尔辛基大学数学家Antti Kupiainen表示认同。“我认为更重要的是，他们有了一种新的方法，一种处理这些问题的新途径。”他说。在真实湍流中——猜想中的简化流体对其仅做了最粗糙层面上的建模——不同尺度以更强且更加复杂的方式相互作用，导致更加极端的超扩散行为。或许Armstrong，Bou-Rabee和Kuusi的技术可以帮助研究者撬开更实际的湍流模型中的相关问题，甚至更多。
毕竟，重整化在整个物理学中都被用来理解在不同尺度上呈现不同行为的体系。Armstrong希望他的技术经过调整也能在部分这类场景中用于证明其中的论断——这其中就包括粒子物理，最初提出重整化的研究领域。
“我感到当下突然有大量的机会摆在了面前，”Kuusi说道，“我觉得我的生涯里这样的事情都不会再发生第二次。现在我得去好好享受未来的征程了。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自左芬科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-863936-1491524.html?mobile=1
收藏
