精选
为物理奠定数学基础之壮举揭示时间奥秘
通过从数学上证明分子们如何生成流体的复杂运动，三位数学家也阐明了时间为何不能倒流。
Leila Sloman 著
左 芬 译
【原文2025年6月11日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
20世纪之交时，声名卓著的数学家David Hilbert构想出了一个宏大的愿景，想要将更加严格的数学思维方式引入到物理学界中。当时，物理学家仍然纠结于各种基本定义的论争中——什么是热？分子是如何构建的？——而Hilbert希望，数学的形式逻辑可以提供指导。
1900年8月8日早晨，他在国际数学家大会上列举了23个关键数学问题。其中问题六为：为物理学定律提供严密的证明。
Hilbert第六问题的愿景非常辽阔。他希望“以【与几何学】一样的方式通过公理来处理数学举足轻重的那些物理科学”。
他公理化物理学的这一挑战“其实是一种纲领，”马里兰大学数学家Dave Levermore说道，“以第六问题实际表述的方式，它永远不可能被解决。”
不过Hilbert提供了一个出发点。为了研究气体的不同性质——比如说，它的分子速度，它的平均温度——物理学家使用不同的方程。特别地，他们使用一组方程来描述气体中的单个分子如何运动，再用另一组来描述气体的的整体行为。Hibert好奇，是否有可能证明一组方程诱导另一组——是否有可能，如同物理学家假定但未曾严格证明的那样，这些方程不过是建模同一现实的不同方式？
在之后125年里，仅仅是公理化物理学的这个小角落好像也不太可行。数学家们取得了部分进展，得出了分子在极其短暂的时间间隔内的行为或是其它人为条件下的证明。但这些还达不到Hilbert设想的那种结果。
1900年，David Hilbert罗列了23个问题，以引导新世纪数学的研究。他的第六问题让数学家去挑战公理化物理学。
如今，三位数学家终于提供了这样一种结果。他们的工作不仅代表着Hilbert纲领的一次大幅进展，还牵涉到了关于时间不可逆之本质的问题。
“这是一项优美的工作，”魏茨曼科学研究所物理学家Gregory Falkovich说道，“堪称壮举。”
介观之下
考虑粒子全都散布开的一团气体。一个物理学家会有多种方式去建模它。
在微观层面，气体是由单个分子组成的，它们表现得像台球一样，遵循Isaac Newton 350年前提出的运动定律在空间中穿梭。气体行为的这一模型被称为硬球粒子系统。
现在把镜头拉远一点。在这一全新的“介观”尺度，你的视野包含了太多分子，没法一一追踪。取而代之，你可以用物理学家James Clerk Maxwell与Ludwig Boltzman在19世纪晚期提出的一个方程来建模气体。这个所谓的Boltzman方程，描述了气体分子的可能行为，告诉你在不同地点以不同速度运动的粒子预期会有多少。这一气体模型使得物理学家得以研究空气在小尺度下如何运动——例如，它在航天飞机周围会如何流动。
“数学家所做的事情把我们惊醒了。”
—— Gregory Falkovich
再拉远镜头，你就不再能看出气体是由单个粒子组成的了。它表现得像是一种连续的物质。为了建模这一宏观行为——气体有多稠密，它在空间中的任意点运动得多快——你会需要另一组方程，所谓Navier-Stokes方程。
物理学家将气体行为的这三种不同模型视为相容的；它们不过是看待同一事物的不同镜头。可是致力于Hilbert第六问题的数学家们想要严格证明这一点。他们得证明单个粒子的Newton模型会导出Boltzmann的统计描述，而Boltzmann方程进而又会给出Navier-Stokes方程。
数学家们在第二步上取得了一些成果，证明在各种设定下都可以从气体的介观模型推导出宏观模型来。可是他们无法解决第一步，所以整个逻辑链条是不完整的。
现在情况不同了。在一系列文章中，数学家邓煜、Zaher Hani与马骁对这些设定之一下的气体证明了更难的从微观到介观这一步，从而首次完成了整个链条。这一成果及其得以出现所仰仗的技术是“范式转移的”，布朗大学的郭岩称。
邓煜通常研究波动系统的行为。不过在将他的专长应用到粒子王国后，他如今解决了数学物理中一个重要的未解问题。
独立宣言
Boltzmann已经能够证明Newton运动定律会导出他的介观方程，但有一个关键的假定得成立：气体中的粒子大体上是彼此独立地运动着的。也就是说，特定的一对分子相互碰撞多次是极其少见的。
可是Boltzmann没法确定性地证明这一假定成立。“把这个变成定理当然是他力所不能及的。”罗马市萨皮恩扎大学的Sergio Simonella说道，“那时既没有结构，也没有工具。”
物理学家Ludwig Boltzmann研究流体的统计性质。
毕竟，有无穷多种方式让一群粒子碰撞之后再撞上。“它们前往的可能方向会爆炸式地增长，”Levermore说道，去切实证明出现重撞的场景次数像Boltzmann想要的那样稀少不啻一场“噩梦”。
1975年，一位名叫Oscar Lanford的数学家设法证明了这一点，但仅仅在极其短暂的时间间隔内。（确切的时间量依赖于气体的初态，但比眨眼还短，据Simonella说。）再往后证明就失效了；在大多数粒子都还没来得及碰撞第一次之前，Lanford就已经无法保证重撞仍然是一种稀少事件了。
在之后的数十年里，许多数学家试图推广他的结果，但都徒劳无功。
接下来，2023年11月，如今在芝加哥大学的邓和密歇根大学的Hani公布了一份预印本，预告得到了所需的证明。他们写道，即将来临的一篇文章会把他们探索“Lanford定理的长时段推广”的近期结果继续推进。
其他数学家面对这一宣告有些手足无措。“我不认为这有可能，”伦敦帝国理工学院的Pierre Germain称。邓和Hani甚至都不曾研究过粒子系统；在那之前，他们主要研究由波（比如光线）组成的系统。
因此数学家们急切地等待着承诺的那份证明。
当粒子相撞时
邓和Hani2023年的结果涉及在波的情境下分析从微观尺度到介观尺度的跃迁。在他们在线公布文章大约一年前，邓在一个会议上遇见了普林斯顿大学的一名研究生，马骁。他们讨论起了邓和Hani的工作，以及是否可能将这些方法适配到粒子上去。这样就可以让他们推广Lanford的结果——证明粒子重撞哪怕在很长的时间尺度上也是稀少的。
这个想法其实已经在邓和Hani的考虑之中了。但邓被马在这一主题上的见解打动了，于是邀请他帮助他们把直觉变成证明。
三人组希望聚焦于一个频繁研究过的方案，其中数学家已经证明了Hilbert第六问题的第二步，也就是从介观到宏观那一步。在这一方案中，球形粒子形成的稀薄气体被囚禁在一个盒子内。如果粒子撞上盒子的一个表面，它会从相对的表面重现。
可是要在此设定下证明更难的微观到介观步骤——进而解决Hilbert第六问题——邓，Hani和马得把他们基于波的技术移植到粒子上。于是他们先从稍微容易处理一些的一个设定着手。他们设想气体的粒子是在无穷大的空间里随机分布的；不同于盒子里的气体粒子会一直相互反弹，这些粒子最终会散开并停止相撞。“在全空间情形下，有捷径可走。”邓说道。
三位数学家首先需要将气体中可能出现的不同相撞模式以及每种模式的可能性列出来。他们可以轻松排除掉重撞几率特别高的场景。这给他们留下有限但仍然数目庞大的模式要分析——每一种涉及某一小组粒子相撞，以某种顺序。一旦他们确切知道每种模式会带来什么，就可以利用这一信息估计它发生的概率。
可这一任务往往有些难以把握，因为大量模式涉及庞大数目的粒子以及它们之间复杂的间接相互作用。“这些【相撞粒子】集合的结构变得超级复杂，”邓说道。原则上，数学家需要同时追踪这些粒子中的每一个，以计算他们所需的概率估计值。
正是在这一点上邓和Hani之前关于波的工作给了他们一个重要的见解。在那一工作中，他们设法把相互作用波的复杂模式分解成了简单一些的。他们精心地打磨了他们的技术，使得每次只需要处理少量波，就可以对更复杂的完整波模式的概率得到很好的估计。
他们希望同样的想法在粒子情况下也能运作。
可是每次相撞后，粒子的表现跟波完全不一样。例如，跟波不同，粒子会彼此反弹，从而大幅地影响得到的相撞模式及其发生几率。邓，Hani和马需要从头开始，重新敲定他们的策略中的细节。
Zaher Hani研究海洋学、等离子体物理以及量子力学中出现的方程的解。
首先，他们处理最简单的情形，其中每个粒子在非常短的时间间隔里只碰撞几次，并且没有重撞。接着他们逐渐转到越来越难的情况——更长的时间间隔，更多的相撞以及重撞。
这已经近乎艺术，而非科学了。“在起初一些失败的尝试后，直觉逐渐建立起来，”邓说。他们得弄清如何将粒子相撞的大型复杂模式切割开来，从而简化计算并同时保持估计的结果高度精确。
“这个过程耗时数月，”Hani说道，“我们时常停滞住。”差不多每天，他们都会在Zoom会议上讨论进展。“这让我太太老是抱怨，因为有时候是深夜，有时候是凌晨，”Hani说道，“我会先哄我的女儿睡着，然后开两到三小时的Zoom会议。”
最终，到2024年春天，三人组确信他们囊括了所有内容。他们的证明去年夏天在线公布，确认重撞会极其罕见。如同他们预期的那样，他们证明在无穷空间设定下Boltzmann气体描述可以从Newton的推导出来。微观与介观尺度落入了同一个严格的数学框架下。
“我认为这是一项杰出的工作，”普林斯顿大学数学家，同时也是邓和马的博士论文导师的Alexandru Iomescu说道，“并且属于是多年难遇的那种最重要的进展。”
他们于是准备好了返回盒子气体设定，那样他们将最终解决Hilbert第六问题。
完整链条
他们将结果从无穷空间设定推广到盒子里的情形不久就完成了。“八成的证明跟全空间情况是完全一样的，”邓说。
今年3月，他们公布了一篇新文章，将他们的证明与联系Boltzmann方程与Navier-Stokes方程的早期文章结合到了一起。这一逻辑链条完整了：他们得以证明，对于气体的一种现实模型，单个粒子的微观描述最终确实可以给出气体大尺度行为的宏观描述。
这一工作不仅仅标志着Hilbert第六问题的一个重要情形的解决。它还为一个古老的悖论提供了严格的数学解答。
在微观层面，粒子表现得像是台球，时间是可逆的。Newton方程既预言了粒子从哪儿来，也预言了它将往哪儿去。未来跟过去并无根本性的差异。
但是在介观和宏观层面上，时间无法回头。“我们很清楚地知道，随着时间的推移，你会老去而不会变年轻；热量不会自发地从冷的物体流到热的物体上；一滴墨水会在一杯水中散开，让液体颜色加深，但不会自发地回到它最初拥有的小圆形。”Simonella写道。Boltzmann方程与Navier-Stokes方程都不是时间可逆的；如果你试图反转时间，结果会是荒唐的。
对于Boltzmann的同时代人来说，这很让人困惑。一个时间不可逆的方程为何会从一个时间可逆系统中推导出来呢？
不过Boltzmann声称这儿并不存在矛盾：尽管单个粒子能以一种时间可逆的方式建模，几乎每种相撞模式都会导致气体散布开。也就是说，气体突然收缩起来的概率几乎是0 。
Lanford对于非常短的时间窗口从数学上验证了这一直觉。如今邓、Hani和马的结果对于更加现实的情况进一步验证了它。
继续往前，数学家——他们仍在专注于新证明的细节——想要测试类似的技术是否可以用到其它更加现实的场景中。这些可能包括由不同形状粒子组成的气体，或者粒子会以更加复杂的方式相互作用。
与此同时，Falkovich称，这种严格证明可以帮助物理学家弄清为何气体在不同的尺度下有特定的行为，以及为何不同模型会在不同场景下大体上有效。“数学家所做的这些事情，”他说，“把我们给惊醒了。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/
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