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数学家发现新的方式让球‘吻接’
一个新的证明标志着所谓吻接问题数十年来在重要实例上的首次进展。需要抛弃传统的做法才能得到她。
Gregory Barber 著
左 芬 译
【原文2025年1月15日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
在一个中心球周围，你能塞下多少个球？
1694年五月，在剑桥大学的一个大讲堂里，Isaac Newton和天文学家David Gregory开始思索星星的本质，但最终却得到了一个会延续数个世纪的数学谜题。
他们对话的细节记录不详，甚至可能是伪造的——与不同大小的行星会如何围绕中心的太阳运转有关。流传至今的是其引发的更一般的问题：给定中心的球，可以排布多少个相同的球，使得它们全都跟中心球接触但不相互重叠？
在三维中，很容易在中心球周围放置12个球，使得每个球都跟中心球在一个点上接触。不过这一排布在球之前留下了空隙。你是否能把第13个球塞进多出来的空间中？Gregory认为可以。Newton不这么想。
这一“吻接”问题，人们逐渐这样称她——参照台球的相贴，或者吻接——结果跟原子结构的分析，纠错码的构建，以及种种其它问题都有关联。
她也形成了一个相当难的数学挑战。数学家们直到1952年才证明Newton是对的：在我们熟悉的三维里，最大“吻数”是12。
但吻接问题也适用于任意维度的球。在两维中，答案显然是6：在桌上放一便士，你会发现可以在它的周围排布另外六便士，它们紧密地排成雏菊形状。
在高维中，这一问题会变得困难很多。
她在四维中已被解决，此外还有8维和24维，这两个维度里数学家们可以把球以最优的方式堆积成极其对称的晶格结构。但在其它维度里，球之间会有更多空隙，这一问题仍然未解。数学家们转而给出了对吻数的估计，但算出的上界和下界往往相距甚远。在这些情形下，问题不再是能否添加一个额外的球，而是能否添加数百，数千，甚至数百万个球。
为了改进这些估计，数学家通常遵循与8维和24维求解时相同的直觉：他们试图将球排布得尽可能地对称。但还存在一种可能性，最佳的排布可能会很怪异。“可能存在完全没有对称性的结构，”德国亚琛工业大学的Gabriele Nebe说道，“也就没有好的办法找到它们。”
可是，2022年春天，在麻省理工学院主修数学的本科生李安琪【译注：音译】却决定去搜寻这些怪异的结构。在开展一个课堂项目时她想到了一个看似简单的想法，但它如今却让她和她的导师Henry Cohn在17-21这一极具挑战性的维度区间中改善了对吻数的估计。这一工作标志着自1960年代以来该问题在这些维度下的首次进展——并且展示了在潜在解中注入更多无序性带来的好处。
“通常，你从一个高度对称的晶格着手，”德克萨斯大学大河谷分校的Oleg Musin说道，他在2003年证实了四维中的最佳吻数，“可他们提出的是完全不一样的东西。”
事实上，他们的证明延续了近期的一连串球堆积结果，而这些结果全都是数学家偏离了常规方法才得到的。“吻接问题一直停滞不前，可并不是因为我们已经接近真相了，”Cohn说道，“我们就是困住了。”结果表明，他们得打破一些潜在规则才能脱离困境。
从码到吻
从20世纪中期开始，数学家们一直依靠信息论和纠错的数学来取得球排布相关问题的进展。
纠错码使你在发送消息时，哪怕传输过程中部分失真或是损坏，接收者仍然可以理解。编码本质上由一组“码字”——可传消息的字典——构成，而接收者就拿码字作为钥匙来恢复原始消息。这些码字需要选得很小心：它们必须显著不同，好让接收者知道在纠错时采用哪个码字。
李安琪在MIT读本科时开始着手吻接问题。她的研究在多种情形下带来了激动人心的进展。
数学家通常用球来将这一问题视觉化。你可以把每个码字想象成高维中的一个点，它处在一个球的球心处。当一条充满错误的消息（在表示为高维中的点时）处在给定球的内部，你就知道球心处的那个码字就是既定消息。你不想让这些球重叠——那样的话，一条收到的消息可能会有多于一种解释方式。但球也不能离得太远。将球紧密地堆积起来意味着你可以很高效地通信。
好的编码会给出好的球堆积，反之亦然。例如，1967年，数学家John Leech使用一种出奇高效的编码——后被美国宇航局用于与其旅行者探测器通信而闻名【译注：即Golay码】——构造出一个晶格，也就是如今以其名字命名的Leech晶格。五十年后，Cohn与多位数学家证明你可以用这个晶格在24维空间里将球堆积到最紧密。这一晶格也给出最佳吻接排布：每个球接触着196560个相邻球。“Leech晶格是数学中的奇迹，是多种事物完美契合的典范，”Cohn说道。
这一晶格还为数学家们带来了17到23维中吻数的最佳估计。他们只需要把这一晶格切片来得到低维的，就跟你切片一个三维中的球面来得到一个二维中的圆差不多。
但这也意味着Leech晶格给这些维度中的吻接问题“投下了巨大的阴影”，Cohn称。不管数学家们怎么努力，他们怎么也找不到一个结构可以给出更好的估计——尽管他们怀疑对Leech晶格切片并不是求解的正确途径。
离经叛道
MIT数学家Henry Cohn痴迷于与对称性在数学中扮演的角色相关联的问题。
当她2022年开始着手她的项目时，李最初并没打算寻求一条全新的途径。一开始，Cohn建议她专注于高于24的维度中的吻接问题。在这些维度中，对吻数目前最好的估计要粗糙得多。改进它们往往归结为做出计算上的改进，而不是发现一种独创的新方法。Cohn知道其他学生已经在这类高维情形下用基于计算机的方法得到了进展。他觉得李应该也能。
可李觉得这种工作很让人沮丧。“我有种糟糕的感觉，好像我的双手被绑住了，”她说，“没办法把东西描绘出来。”于是她开始离经叛道起来。
她把注意力放到了17到23维上。“我告诉她，如果她探索了可能的改进方法但一无所获，还是可以得到A等，”Cohn回忆道。如果李是他的研究生，他可能会更努力地说服她去研究别的内容。“如果他们研究一些毫无指望的方向，对他们的学术生涯是不利的，”他说。
然而她努力得到的结果，他补充道，“最终让人叹为观止。”
她从16维开始着手。这时，最佳吻接排布来自“Barnes-Wall晶格”，在1950年代就已通过一种优美的纠错码【译注：一阶Reed-Muller码】发现的一个晶格。（它其实也是Leech晶格的切片，不过直到60年代才被认识到。）
这一编码仅由两种不同的点组成，每种具有特定模式的坐标。
这些点的定义方式有一个怪癖：在Barnes-Wall晶格（以及Leech晶格的所有更高维的切片）中，最普遍类型的点或者说球心始终有偶数个坐标带有负号。这有助于确保点之间有足够的距离，并且给出的结构很对称，特别容易处理。
可是，李想道，如果她取而代之，在这些点中采用奇数个负号呢？如果她很小心，这不一定会导致球的重叠。据她所知，此前从未有人费心去尝试这个。“我不认为我俩真的觉得这会有用，”Cohn说。不过李猜测存在这种可能性，以这种方式改变晶格中的某些点，她可以将它扭曲到足够容纳更多的球。
当她在16维中构建出她的“奇”版本Barnes-Wall晶格时，它并没能为额外的球给出空间，但也没让任何事情变糟糕。不过当她把多个副本逐层粘成一个17维结构时，立刻出现了可以放入新点的空腔——她计算了这些洞与结构中的现存球之间的距离，发现显然可以放进去新的球。一开始，她简直不敢相信。她感到不安，而不是兴奋。“我记得跟朋友说，肯定有些基本的运算弄错了。”她说。
Cohn一开始迁就了她的疑惑——在这种计算中很容易犯点小错，尤其是在带有个人倾向的时候。于是他们一同在一台电脑上检验了她新排布的点。没问题：所有的球都放对了。
那个夏天，李继续在微软研究院做Cohn的实习生，在那里他们细致地优化了所用的纠错码，以便在李的“奇”17维结构中继续添加相容的球。最终，他们得以在1967年基于Leech的估计上加入384个新球，将吻数的下界提升到5730。
他们接着将类似的技术应用到18到21维中吻数的改进中。不过在22和23维，他们的策略失效了。看起来他们已经把这种符号翻转方法用到极致了。
他们俩的新构型很可能不是最优的。例如，在17维，估计出的上界是10978；尽管人们认为这对真实解的估计严重过高，但它表明还有很大的空间可以改进下界。
不过数学家们对Cohn和李获得收益的方法更感兴趣。他俩的新结构看起来跟Leech晶格诱导的高度对称结构完全不同。他们用来添加球的这种基于编码的方法给出了更加不规则的构型——令人耳目一新。
前行的新方向
“也许我们离真相还很远，因为它并没有一种直观易懂的描述。” —— Henry Cohn
为何改变符号就可以为更多的球创造足够空间，这一点仍不明朗。“我现在依然为此焦虑不安，”Cohn说道。不过这一工作展示了“一个看似不起眼的改动如何带来或是失去机遇，”他补充道。在这个意义上，这也表明数学家在吻接问题上实际上所知甚少。
在构建新的纠错码和球堆积时，数学家通常依赖于对称性。这正是Leech所做的。这会使得构建过程更简单，更直观。但它也排除了一些可能性，使得人们难以越过一个美妙的解去看到其它结构——可能纳入了更多无序性或者包含更少直观对称性的结构。“也许我们离真相还很远，因为它并没有一种直观易懂的描述。”Cohn说。
多个近期结果都支持这些不太容易获得的结构的前景。在过去两年里，数学家们通过扭曲或者打破常规的对称性规则，得出了5,10和11维中巧妙的新构造。
Cohn尤其惊讶于Ferenc Szöllősi的工作。这位匈牙利数学家有意地从四维中次优的球排布出发，在此基础上实现了五维现存最佳估计。数十年来，只有两种结构给出了这一估计；大多数数学家认为不可能再有其它的。现在Szöllősi突如其来地给出了第三种。（他后来发现另两位研究者也发现了这一构型，但他们没有认识到它的重要性。）“这说明你是有可能撞大运的，”Cohn说，而他自己受此启发，与他的另一个学生发现了第四种。
不过他们发现的每一种非常规结构都没法给出“足够迹象和线索来揭示背后的真相，”他补充道，“吻接问题仍然充满奥秘。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-way-for-spheres-to-kiss-20250115/
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