Zmn-1293 薛问天: 每个满足β =o(α)的β都是确定的对象，但所有滿足β=o(α)的β构成集合。评师教民《1290》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1290》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

每个满足β =o(α)的β都是确定的对象，但所有滿足

β=o(α)的β构成集合。评师教民《1290》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

关于高阶无穷小的定义，对任何一个确定的无穷小α，每个满足β =o(α)的β都是一个确定的无穷小对象，但所有滿足β=o(α)的β构成一个无穷小集合。这是大家都应承认的不容争辩的事实。

1 ，师先生说【薛问天先生为什么要把【函数 o】改成「並不存在的所谓【函数 o】」？这是因为薛问天先生承认了【函数 o】错误，承认了「並不存在的所谓【函数 o】」正确，所以才在实际行动上改正了错误，】

全在胡说，我的原话是〖关键的错误在于右边的 o(Δx) 中的 o 不是函数符号，这个Δx 也不是【函数 o】的自变量．〗这里所说的【函数o】当然指的是並不存在的【函数o】，师先生不动脑子，o 不是函数符号，当然就不存在有【函数 o】。这个Δx 自然也不是並不存在的所谓【函数 o】的自变量。说Δx不是并不存在的【函数 o】的自变量，有什么错误，哪里有什么【承认了【函数 o】错误，......在实际行动上改正了错误，】这纯粹是师先生的胡言乱语。

2 对于Zmn-1285的2，师提的2条意见的回复。

1)师提出了有7个向题。

①，师说【薛问天先生说：【β(Δx)=o(Δx)】，【β(Δx)是函数，o(Δx) 並不是函数】，因此 β(Δx) 和 o(Δx) 不是同一概念．我曾多次请薛问天先生说出不是同一概念的 β(Δx) 和 o(Δx) 相等的理由，他至今都说不出来。】

我己说过多次，这里的相等=严格地用集合论的语言来讲，应是属于∈。但是基于对数学历史的尊重，也不能说这是错误，只要把相等作一些限制性的解释，说这里的相等不满足传递律，也是可以的。即注意β1=o(α)同β2=o(α)成立推不出β1=β2。

②，师说【极限理论的微分定义的前提为Δy=AΔx+o(Δx)，薛问天先生却编造出一个他认为概念不同的Δy=AΔx+β(Δx)．薛问天先生为何不敢讨论极限理论的微分定义的前提 Δy=AΔx+o(Δx) 而非要去讨论他编造出来的他认为概念不同的 Δy=AΔx+β(Δx) 不可呢？】

说明师先生没有学懂高阶无穷小β=o(α)的真正含义。当他学懂了，就知道了这个β並是我编造的。Δy=AΔx+o(Δx)的含义就是存在β，使Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)。

③，师说【我曾多次说过，任给自变量Δx 一个确定的值，o(点Δx) 就有一个确定的值与之对应，因此o(Δx) 符合函数定义，所以o(Δx) 就名正言顺地成了 Δx 的函数．】

只要师先生看看高阶无穷小o(α)的定义，多看几遍，就会发现他说的是错的。o(Δx)的含义不是说它是Δx的函数。o(Δx)的含义是说它是比无穷小α=Δx高阶的无穷小。教材中所举的例子是Δy=2xΔx+(Δx)^2，刚好说明Δy=AΔx+o(Δx)是Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)。其中的(Δx)^2=β(Δx)，说明(Δx)^2是β(Δx)是Δx的函数。而(Δx)^2=o(Δx)说明(Δx)^2它是无穷小α=Δx的高阶无穷小。

④ ，师先生说：【薛问天先生令含义不同的概念 o(Δx) 和 β(Δx) 相等，而令 在含义不同的 o(Δx) 和 β(Δx) 中扮演不同角色的具有唯一含义的 Δx 含义不同，就真是颠倒黑白了．对此我举出 1 例如下：你薛问天本人的含义就是薛问天，不可能再有别的含义了．当你在 β(Δx) 剧中扮演大帝国的名总统时，也不能说你的含义是名 总统；当你在 o(Δx) 剧中扮演贵妇人的宠物狗时，也不能说你的含义是宠物狗.在 β(Δx)，o(Δx) 的剧情中，名总统和宠物狗只是你薛问天扮演的不同角色，你薛问天本人的含义还是薛问天…〗 薛问天先生所犯的最根本的错误是：把本身的含义和扮演的角色混为一谈了．......】

师先生的错误在于这种比喻是不恰当的，数学概念在数学中的应用不是什么扮演角色在演戏。而是用它的含义在推论。因而是不能装扮的，必须要用真正的含义。因而不存在什么【本身的含义和扮演的角色混为一谈】的问题。同一个数学概念【函数自变量的增量Δx】，它在数学上不同的地方当然可以有不同的含义，起到不同的作用。Δx是函数f(x)自变量的增量，没错。但是Δx，在函数β(Δx)中它的含义，除了【Δx是函数f(x)自变量的增量】的含义以外，它还有【Δx是函数β(Δx)的自变量】这个含义和作用。至于在o(Δx)中这个Δx它的含义是什么呢？它除了是【Δx是函数f(x)自变量的增量】的含义以外，它还有【Δx表示的是无穷小α(Δx)=Δx】的含义。说得更清楚点，【这个Δx表示的是函数是a=1，b=0的α(Δx)=aΔx+b=Δx这个线性函数的无穷小】。

师先生对此数学的特点一定要有足夠的认识，不能认为同一个数学概念在不同的地方不能有不同的含义和作用。实际上是可以有不作的含义和作用的，必须认识数学的这一特点。

⑤，师说【薛问天先生只是空喊了几句口号，没有说明【微分定义中不允许 Δx=0】【是错误的】理由；没有说明【〖不允许 Δx=0〗这样的规定】的理由；没有说明【由此推出的结论当然就毫无道理】的理由．空喊口号，不说理由是薛问天先生的一贯作风。】

这样的要求当然不合理。我说〖在微分定义中并没有【不允许Δx=0这样的规定．】所以由此推出的结论当然就毫无道理．〗这还要说什么【理由】。在微分定义中没有这样的规定，这是事实。你不承认这个事实，你就应指出在哪里有这个规定。指不出来就应承认【没有这个规定】的事实。不是追问【理由】，而是查查有无此【事实】。

至于为什么有此事实，为什么没有这个规定，那就要靠你去动脑子来理解。

师先生问【同济名著还在第 140 页 中说：“(Δx)^2是比 Δx 高阶的无穷小”，(Δx)^2=o(Δx)．请问薛问天先生，假如允许 Δx=0，则有(0)^2=o(0)，那么，在 Δx=0 的情况下，“(Δx)^2还能够是比 Δx 高阶的无穷小”吗？同济名著还敢说“(Δx)^2是比 Δx 高阶的无穷小”吗？】

当β(Δx)=(Δx)^2=o(Δx)时，当然允许Δx=0，我己说过多次，此時应写为β(0)=0^2=0。不应写为β(0)=o(0)。写为o(0)这是师先生的错不是允许Δx=0的错！因而在说“(Δx)^2是比 Δx 高阶的无穷小”时当然允许Δx=0。此时的无穷小(Δx)^2和无穷小Δx 中自变量Δx都允许取0为值。在求极限(Δx)^2 /Δx时不涉及自变量Δx取0为值，并没有说此时的无穷小(Δx)^2和无穷小Δx 中自变量Δx都不允许取0为值。

师先生说【同济名著敢说“(Δx)^2是比 Δx 高阶的无穷小”的条件就是 “不允许 Δx=0”．】这是师先生的错误认识，不是原著的本意。因此师先生的结论说【薛问天先生说【允许 Δx=0】就违反同济名著的上述条件了，因此就错了．】是完全错误的。

另外，师先生说【还有一条理由也可说明薛问天先生的上述错误，那就是在极限理论中，导数等于微分商，假如允许 Δx=0，那么导数的分母就可为 dx=Δx=0，因此导数等于微分商的结论就错了．】

这也是师先生的认识错误。规定在Δx≠0时微分商等于导数，只是说谈到微分商时，不允许Δx=0，並不等于规定微分dx不允许Δx=0。在微分中明确规定，当Δx=0时dx=0。在微分不做分母时，就是允许dx=0的。就如同乘公交车时规定不买票的小孩必须身高小于1米。並不等于小孩身高不允许超过1米。超过1米的小孩买票就是了。

⑥，师先生说【由于薛问天先生允许 Δx=0，所以把自变量 Δx=0 代入微分定义的前提函数式 Δy=AΔx+o(Δx) 后才得到Δy(0)=A*0+o(0)，从而才出现了 o(0)．】这种说法是错误的．因为Δy=AΔx+o(Δx) 不是函数式，因其中的o(Δx) 不是函数式．函数式是Δy=AΔx+β(Δx)．所以允许Δx=0，把自变量Δx=0 代入函数式Δy=AΔx+β(Δx) 中后，得到的是Δy(0)=A*0+β(0)．这是正确的，没有任何问题．我早已指出错出在把 β(0) 写为 o(0)，错在写为 β(0)=o(0)．这是把 o(Δx) 错误地认为是函数式所犯的错误．

师先生说【同济名著还在第 140 页中举出了 Δy=AΔx+o(Δx) 的具体例子 Δy=2x*Δx+(Δx)^2，(Δx)^2是 Δx 的函数，(Δx)^2=o(Δx)．把自变量Δx=0 分别代入函数 (Δx)^2=o(Δx) 和Δy=2x*Δx+(Δx)^2 中分别得 (0)^2+o(0)，Δy(0)=2x*0+(0)^2，即得 Δy(0)=A*0+o(0)．薛问天先生说 (Δx)^2不是Δx的函数，(Δx)^2=o(Δx) 不是函数就错了．】

师先生的错误是非常明显的，因为(Δx)^2是 Δx 的函数，但是o(Δx)並不是Δx 的函数表示．把自变量Δx=0 代入函数 (Δx)^2和Δy=2x*Δx+(Δx)^2 中可以分别得 (0)^2=0，Δy(0)=2x*0+(0)^2，但不能得到 Δy(0)=A*0+o(0)，因为o(Δx) 不是函数表示，不能写为o(0)。错在写为 o(0)．这是把 o(Δx) 错误地认为是函数式所犯的错误．

师先生说【薛问天先生说：【我早已指出…，错在写β(0)=o(0)．】这是薛问天先生的错．因为极限理论中没有 β(Δx)，更没有 β(0)．其实也没有 o(0)，】

我早己指出，师先生认为没有β，是师先生没有弄懂β是α的高阶无穷小的定义。高阶无穷小必须有两个无穷小一个是β，一个是α，从而才有β=o(α)。怎么能认为【没有 β(Δx)】呢？简直是奇谈怪论。

师先生说【因为极限理论中不允许 Δx=0（⑤中已经说明理由），故就没有 o(0)．故薛问天先生说的【β(0)=o(0)】的错误就是薛问天先生令 β(Δx) 中的Δx=0，又令 β(Δx)=o(Δx) 造的孽． 】完全是错的。我在⑤中己说明〖师先生说【同济名著敢说“(Δx)^2是比 Δx 高阶的无穷小”的条件就是 “不允许 Δx=0”．】这是师先生的错误认识，不是原著的本意。〗〖此时的无穷小(Δx)^2和无穷小Δx 中自变量Δx都允许取0为值。〗在Δx=0时写β(Δx)=β(0)完全正确，是写为o(0)是错误的，因为o(Δx)不是函数表示，不能写为o(0)。错在写为 o(0)．把 o(Δx) 错误 地认为是函数式所犯的错误．並不是【薛问天先生令 β(Δx) 中的Δx=0】犯了错误。

⑦，师先生说【o(0) 是因为 o(Δx) 中的自变量Δx 取值为 0 时才产生出来的】，这完全是错误的说法。师先生说我【只是空喊口号，不说理由，】其实我己把其中的错误指的一清二楚。对于β(Δx)=o(Δx)，在Δx=0时写β(Δx)=β(0)完全正确，但写为o(0)说是【o(0) 是因为 o(Δx) 中的自变量Δx 取值为 0 时才产生出来的】这完全是错误的说法。因为o(Δx)不是函数表示，不能写为o(0)。错在写为 o(0)．把 o(Δx) 错误地认为是函数式所犯的错误．o(Δx)中的Δx根本不是【函数的自变量】。o(α)中的α是指的某无穷小量。

师先生问【薛问天先生为何要放弃应该讨论的极限理论的问题而去另行讨论他编造的允许Δx=0而引出的o(0) 的问题呢？】这个问题问得莫明其妙。我们讨论的是β=o(α)中的这两个无穷小函数β(Δx)和α(Δx)，自变量Δx是否允许取0为值。哪里是什么【极限理论问题】，要知道对于自变量Δx→0的无穷小，极限等于0同ΔX=0时的函数值毫不相干。而且写出o(0)这是师先生错误地认为是自变量取值为0时产生的，怎么又成了我薛某【编造的允许Δx=0而引出的o(0) 的问题】。

2)，师先生说【极限理论中只有 Δy=AΔx+o(Δx) 而无Δy=AΔx+β(Δx)，薛先生与我讨论的是 Δy=AΔx+o(Δx) 而非 Δy=AΔx+β(Δx)，】【放下我们应该讨论的正题Δy=AΔx+o(Δx) 不敢讨论，而去编造一个不是应该讨论的问题 Δy=AΔx+β(Δx) 来 讨论，】

师先生说出此话，说明师先生就没有弄懂什么是高阶无穷小o(α)这个概念。只要谈到o(α)，就应知道有无穷小β=o(α)，它是比无穷小α高阶的无穷小。因而极限理论中的 Δy=AΔx+o(Δx)的意思，就是有无穷小β(Δx)，使Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)。师先生连这都不懂说什么是【编造一个不应该讨论的问题】，确实需要再去学学高阶无穷小的定义。

3，关于师先生对定义中把 β是比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)．所提的三个问题。

0)，要知道，在高阶无穷小的定义中，把 β是比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)．但是比 α 高阶的无穷小 ，並不是只有一个。可能有β1，β2都是比 α 高阶 的无穷小 。也就是说，等于o(α)的不是一个无穷小，即o(α)并不只是一个无穷小．而是一类无穷小，是对象类。这就是严格的用集合论的记法，应是【β∈o(α)】，而不应记成【β=o(α)】的理由。师先生说这只是喊了几句口号，没有说明理由是不对的。等于o(α)的不是一个无穷小，是一类无穷小，这就是明确的理由。

另外，我们要尊重数学的历史，不要把这认为是什么【错误】。在这里把β是α的高阶无穷小，写成β=o(α)，也不是什么错误，只是对在这里=作出一定的解释，指出它不满足传递律就对了。

1)，师先生说【极限理论的教材的高阶的无穷小的定义式为 β=o(α)．这其中的“=”说明：无穷小 β 和 o(α) 是一一对应的．】 这恰好是对定义中等号含义的错误理解．要知道定义中的 α 和 β 肯定必须是指确定的无穷小．因为涉及到要求 β/α 的 极限，如果不是确定的无穷小，如何求极限。而 o(α) 是由多个无穷小构成的无穷小的类．这个等号的严格含义应是属于∈．这个等号並不满足传递律。 每一个满足 β=o(α)的 β 都是一个确定的无穷小，但所有滿足 β=o(α) 的 β 是一类无穷小，而不是一个无穷小了。对于这个内容，师先生文中提出了4点意見。

①，师说【当你薛问天先生把 β 写成 β1=α^3时，由于 β=o(α)，你薛问天先生就应该把 o(α) 写成 o1(α)=α^3；当你薛问天先生把 β 写 成 β2=α^2 时，由于 β=o(α)，你薛问天先生就应该把 o(α) 写成 o2 (α)=α2．这恰好证明了我说的〖无穷小 β 和无穷小 o(α) 是一一对应的〗是正确的.你薛问天先只是把 β 分别写成 β1，β2而不去把 o(α) 分别写成 o1(α)，o2(α) 就因为 β=o(α)而不公平了．】

说明师先生没有弄懂高阶无穷小的定义。α^3是α的高阶无穷小，只能写成α^3=o(α)，哪能写成α^3=o1(α)。α^2是α的高阶无穷小，只能写成α^2=o(α)，哪能写成α^2=o2(α)。在定义中只有o(α)，哪有什么o1(α)和o2(α)，简直是在不学无术地乱弹琴。要好好学习定义。

②，师先生竟然看不懂，α^3和α^2都是确定的无穷小，它们都是α的高阶无穷小，这个例子已经完全说明了理由，怎么还在说【每个 β 都是一个确定的无穷小，而 o(α) 是由多个无穷小构成的无穷小的类．】【这只是空喊口号，未说理由． 】还说这里的等号不满足传递律，【由A=B，B=C，推不出A=C】是【大笑话！】请问师先生，α^3和α^2它们是否都是α的高阶无穷小，是一个还是多个。你能由α^3=o(α)，和α^2=o(α)，错误地推出α^3=α^2吗？

③，【每个满足β =o(α)的β都是一个确定的无穷小】和【所有滿足β=o(α) 的 β 当然是一类无穷小】，这一点矛盾都没有。

④，师先生说【同济名著在定义高阶无穷小时，只说到了 2 个无穷小，那就是 β 和α，除了这 2 个无穷小外，再也无其他的无穷小了．记 作 β=o(α) 后，由于等号“=”的缘故，β 和 o(α) 就成了同一个无穷小，α 是另一个无穷小，所以还是 2 个无穷小．薛问天先生把β=o(α) 中的β和α看作是2个无穷小、把β=o(α) 中的o(α) 看作是多个一类无穷小，这就多于同济名著中定义的高阶无穷小中仅有的 2 个无穷小了，因此薛问天先生就错误了．】

说明师先生並没有看懂高阶无穷小的定义。定义中虽然只说到两个无穷小β和α。但是说到只要满足β/α→0， 就认为β是α的高阶无穷小。並没有证明，也证明不了满足β/α的β是唯一的，事实上师要认识到所有满足β/α→0的β，即所有满足β=o(α)的β有多个 。所以这个等号有它特殊的含义，等于o(α)的不是一个无穷小。说【由于等号“=”的缘故，β 和 o(α) 就成了同一个 无穷小，】认为等于o(α)的只是一个无穷小。这是对这个等号的错误理解和解释。

2)，这是很明显的事实: 一个无穷小的高阶无穷小是无穷小的集合不是唯一确定的。师先生说【谁是【一个无穷小】？谁是【高阶无穷小】？薛问天先生没有说清楚．如果薛问天先生的意思是：「比【一个无穷小 α】【高阶的无穷小 β】是无穷小的集合不是唯一确定的」，那么就与薛问天先生在前边说的【β 是无穷小，是确定的对象】矛盾了，因此 就错误了】。

我说得很清楚，【每个满足β/α→0，即β =o(α)的β都是一个确定的无穷小】，但【所有滿足β/α→0，即β=o(α) 的 β ，不止一个，当然是一类无穷小】，这一点矛盾都没有，完全是亊实，没有任何错误。

确实严格地讲，在集合论中【属于】不同于【等于】。但是我们要尊重数学的历史。在高阶无穷小的定义中，把β是α的高阶无穷小写成β=o(α)，也不能轻易地认为是错误，只需要对这里的等号=作适当正确的解释就对了。

4 ，师先生说他听不懂人说的话，认为是【不是人说的话】。

1)，师先生说【一会是【函数 o】，一会是「並不存在的所谓【函数 o】」，这不是照样不说人话吗？ 】

我的原话是〖关键的错误在于右边的 o(Δx) 中的 o 不是函数符号，这个Δx 也不是【函数 o】的自变量．〗这里所说的【函数o】当然指的是並不存在的【函数o】，师先生不动脑子，o 不是函数符号，当然就不存在有【函数 o】。这个Δx 自然也不是並不存在的所谓【函数 o】的自变量。师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

2)，师先生说【查查字典，…，只能就是唯一能．【只能用是函数符号的 β(Δx) 来表示】就是唯一 能用函数符号 β(Δx) 来表示而不能用任何其他符号来表示．薛问 天先生把只能说成非唯一能，就是不会说人话了】。

关于这个，我早已说得相当清楚《4，准确点说，应是: 无穷小量是函数变量，它的函数表示，只能用函数符号表示。例如可用α(Δx)，β(Δx)等。但不能用o(Δx)表示。因为o己定义为高阶无穷小关系，不是函数符号了。》

也就是说【只能】后这么说比较准确，【......只能用函数符号表示。例如可用α(Δx)，β(Δx)等。......】。加上【例如】二字，把数学问题搞清楚就行了，不必在此小题大作。师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

3)，师先生说【薛问天先生说到：【o(Δx) 表示的高阶无穷小】「不能用【表示高阶无穷小的符号 o(Δx) 表示】」．这就更不是人话了】。师先生竟然不知道任何一个无穷小都必须用它的函数表示来表示，o(Δx)不是函数表示，o(Δx)表示的高阶无穷小当然不能用表示高阶无穷小的符号o(Δx)来表示。就如同张三是北京人，只能用张三这个姓名来表示这个人，而不能用【是北京人】来表示这个人是一样的。师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

4)，师先生说【薛问天先生说：【β(Δx)=o(Δx)】，【β(Δx)是函数，o(Δx) 並不是函数】，因此 β(Δx) 和 o(Δx) 不是同一概念．薛问天先生始终不敢说不是同一概念的 β(Δx) 和 o(Δx) 相等的理由，说明薛问天先生不说人话，】说明师先生直到现在都没㸔懂高阶无穷小的定义。应用高阶无穷小的定义，β(Δx)和α(Δx)=Δx是两个无穷小。根据定义当满足条件β/α→0时，就称β是比α高阶的无穷小，此时记作β(Δx)=o(Δx)。β(Δx)表示的是它是用函数β(Δx)表示的无穷小。o(Δx)表示的它是比α(Δx)=Δx高阶的无穷小。它们所表示的含义当然不同。但由于满足条件β/α→0，所以跟据定义记作β(Δx)=o(Δx)。就如同【张三】说的是他的名字叫张三。【北京人】说的是出生在北京的人，它们的含义当然不同，但是由于张三出生在北京就可以称为【张三是北京人】。这么简单的话都听不懂，师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

5)，师先生说【薛问天先生在他的文章 Zmn-1285 中 3 里说到：【这个等号的严格含义应是属于】．这不是人话，】师先生没有弄懂对于一个确定的α，所有滿足 β=o(α) 的 β 不止一个，因而从严格的集合论语言来讲，这个等号应是属于。师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

6)，师先生说【薛问天先生在他的文章 Zmn-1285 的 3 里说到：【这个等号並不满足传递律．即由 A=B，B=C，推不出 A=C】．这就更不是人话了，】

师先生没有弄懂对于一个确定的α，所有滿足 β=o(α) 的 β 不止一个。当然，由β1=o(α)和β2=o(α)，不能推导出β1=β2。当然这里的这个等号不满足传递律。连这么简单的话语都听不懂。无怪乎师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

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