Zmn-1103 薛问天: 正确认识皮亚诺自然数公理，评一阳生先生的《1100》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1100》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识皮亚诺自然数公理

评一阳生先生的《1100》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，关于自然数的皮亚诺公理。

自然数的皮亚诺公理，大多数的专业书中都是这样陈述的。它的五个公理，用非形式语言陈述如下。

公理1，0是自然数；

公理2，每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；

公理3，对于每个自然数b、c，b=c当且仅当后继数相等: b´=c´；

公理4，0不是任何自然数的后继数；

公理5，任意关于自然数的命题P，如果证明：它对自然数0是真的，即P(0)为真，且假定它对自然数a为真，即P(a)为真时，可以证明对a' 也真，即P(a´)也真。那么，命题对所有自然数n都真，P(n)为真。

公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。其中的命题有时也称为性质，或谓词，公式等，意思都是一样的。有时也用子集的方式来表示。如:

公理5，对于自然数集S的任意子集A，如果证明：自然数0属于A，而且假定自然数a属于A时，可以推出a' 也属于A。那么，子集A就等于S。

这些公理5的陈述都是等价的，是一个意思。

当然还可以有更加形式的，严格的表述。

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)，其中S是集合(自然数集合)，f是函数(后继)，e是一个对象(0元素)。

1，e∈S，

2，(∀a∈S)(f(a)∈S)，

3，(∀b∈S)(∀c∈S)( (f(b)=f(c))→(b=c) )，

4，(∀a∈S)(f(a)≠e)，

5，(∀A⊆S)( ( (e∈A)∧(∀a∈A)(f(a)∈A) )→(A=S) ) )，

另外还有的书指出，公理5可以换为如下形式:

【公理五】，任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。

可以证明这个【公理五】同前面的肯定数学归纳法的定理5是等价的，可以互相证明。我上次，在《1099》中已经由这个【公理五】证明了数学归纳法对自然数成立。现在我们再来用数学归纳法来证明【公理五。任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】的成立。

证明(用数学归纳法证)。显然，当我们用P(n)来定义【自然数n都可由0经有穷次的后继运算而得到】这个性质时，P(0)肯定为真，因为0这个自然数可由0经0次的后继运算而得到。进一步，如果假定P(n)为真。则自然数n都可由0经有穷次的后继运算而得到，那么根据公理2，n′=n+1显然也可由0经有穷次的后继运算而得到，这就推出了P(n+1)为真。既然推出P(0)为真，又由P(n)真，推出P(n+1)为真，显然由数学归纳法即推出P(n)对任何自然数n为真。这就是我们要证明的任何自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到的【公理五】。证毕。

我平常有个习惯，学习只关心道理，只要想通了就接受了，不太关注这是哪本书讲的道理。不太记这些书名。所以当一阳生先生问我【我想知道把该命题作为公理出自哪本教科书和哪位权威人士？又或者是薛老师本人的作为？请薛老师给出答案！】确实把我问住了。我能证明这是等价的公理，而且肯定不是我的作为。书太多了，我还真记不得是从哪本书中学到的。只能请其他网友帮忙了，哪位网友知道了请回答给一阳生先生。不过因为证明很简单，绝对不要对此等价性发生质疑。

一阳生先生问【无穷个结果在此指无穷个自然数。如此反直觉反逻辑的命题薛老师为何深信不疑？请认真回答！】

我可以告诉一阳生先生。我之所以【深信不疑】是因为它并没有【反直觉】和【反逻辑】。

要知道有些人认为无穷是【反直覚】，是由于人的感覌是受到限制的。我曾说过人们的感观是受到限制的，无穷个对象不可能一个个地全部呈现在你面前。人类不可能親自进行无穷个操咋如无穷次演算，无穷次推理，这些都有无穷的禁忌，只能进行有穷次演算，有穷步推理，只能同时看見一个个的有穷个分开的对象。有些人就据此得出结论，认为无穷是【反自觉】的，是不存在的。要知道这是错误的。这是对人类思维能力过分低估。因为无穷的事物是客观上大量存在的。人们应该从感性认识提高到理性认识，要承认这种无穷的存在，以一种区别于有穷形式的，无穷特有的形式来认识无穷。【自覚地】认识无穷。关于自然数就应承认这一事实。所有的自然都是可以由0经有穷次加1运算而得到，这个结论适用于所有这无穷个自然数。并没有【反自觉】和【反逻辑】，所有的自然数有无穷多个。这就是所有的自然数所具有的特点。这是它客观固有的特点，你必须承认。

我不知道一阳生先生质疑的是什么？任何自然数都是由0经有穷次加1而得到的，这样的自然数有无穷多个。这是自然数的特点，并不是所有无穷集合都有这个特性。如2ω这个序数，这个归纳集合就没有这个特点，2w={0,1,2,...,ω.ω+1,...}中的超穷序数如ω，ω+1,...等。它们就不能由0经有穷次的加1而得到，甚至由0经无穷次的加1也得不到。真不知一阳生先生在质疑什么。不会连数学归纳法是皮亚诺的公理5也质疑吧。如果你承认适用数学归纳法是公理5，又承认它同【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】可以互推，相互等价，为什么不承认【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】可以做为自然数的【公理五】呢？

要知道你实际上，应该质疑你的做法，你口口声声地在那里去【证明】数学归纳法，这本身就是严重的错误！公理根本就不需要证明，不能证明。我们在这里所谈的【证明】是在证明它是等价的公理，即把【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】作为公理时，可证数学归纳法是定理，而把数学归纳法作为公理时可证【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】是定理。你不用公理，怎么【证明】。

我们确实说过自然数理论的公理在集合论中不作为公理，但它们是由集合论公理直接证明不了的。皮亚诺公理是必须作为定义的形式存在的。即在集合论中把自然数定义为：满足皮亚诺公理的集合称为自然数集合。在集合论中证明数学归纳法适用于自然数，可以简单直接用自然数的定义来证明。并不需要也不可能由集合论的公理直接证明数学归纳法，一阳生在那里证明数学归纳法，完全是错误的无此必要，多此一举，实际上也证明不了。

关于这点我倒是可以介绍一阳生先生参考张锦文的《公理集合论导引》和陸钟万的《面向计算机科学的数理逻辑》这些教科书。在集合论中如何证明自然数的归纳原理。他们都讲得非常清楚，在那里自然数的定义用的是三条:

(1)空集是自然数。

(2)若n是自然数，则nU{n}是自然数。

(3)所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。

要知道这就等价于自然数的皮亚诺公理。因为公理3和公理4可由空集和后继的定义nU{n}的性质推出。而(3)就是【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。

二，关于一阳生先生的证明。

我们仔细看一阳生先生的证明，会发现他缺少的正是忽視了【公理五】在证明中的作用。

他的论据缺少的正是

【由蕴含关系之间的合取关系（ P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3) ) ∧ …为真。】

怎么得到

【全部合取关系（P(0) ∧ P(1)）∧（P(1) ∧ P(2））∧（ P(2) ∧ P(3））∧（ P(3) ∧ P(4）) …为真，即P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…为真。】

他没写全，写全应是对任何自然数n，可由P(0)为真和【由蕴含关系之间的合取关系（ P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3) ) ∧ …∧ （P(n-1)⇒ P(n))为真。】推出【全部合取关系P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…∧ P(n)为真。】

要完成这个推论必须要根据【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。如果自然数n不可由0经有穷次的后继运算而得到，你这个推论是完成不了的。例如超穷序数ω不可由0经有穷次的后继运算而得到，你用你的逻辑推不出P(ω)为真的。仅仅根据蕴含关系的等价形式，是证明不了全部合取关系为真的。

而这点正是一阳生所述证明的细节不完善的毛病所在。

三，没有什么【不可被具体认知的】自然数的问题。

关于数学归纳法中假定P(0)而且(∀n∈N)(P(n)→P(n+1))。其中的这个假定∀n∈N，当然是指任何自然数，是一阳生先生所谓的【普适的】意思，不能有什么自然数【不可被具体认知的】问题。

自然数就是自然数，没有什么【不可被具体认知的】自然数和【可被具体认知的】自然数之分。对自然数的这种区分无法严格明确定义，因而毫无意义。在数学中没有这个概念。这是一阳生先生的主观虚构。

如果一阳生先生真的如他所说，【我认为把可由0开始经后继运算得到的自然数，称呼为可被具体认知的自然数，是合适恰当的。】那么按照自然数的定义，所有的自然数都是【可被具体认知的自然数】。

我没有看懂一阳生先生想说的【希望薛老师能够意识到】的是什么。怎么【其前提客观上为真，结论客观上为假。】怎么会很容易犯【把客观上不成立的∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）误认为是成立的】错误。

当然潜无穷观同集合论是水火不相容的。他不承认无穷集的存在，当然不可能承认(∀n∈N)P(n)为真。潜无穷观的意見，我们不会考虑。

四，关于一阴生先对我用数学归纳法证明【向后归纳原理】的评论。

我发現一阳生先生没有仔细阅读我的证明最后的原文。请一阳生先生现在再去读读证明。原文写得很清楚【......显然如果此时假设对于n+1，有P(n+1)成立，就可推出P(n)成立。这就有对于一切自然数m ≤ n+1，P(m)都成立。这就是......】怎么能说【关于蕴含关系(P(m+1)⇒ P(m))，您在归纳证明过程中完全没有使用到。】呢？如果不用此蕴含关系(P(m+1)⇒ P(m))，怎么能由P(n+1)为真推出P(n)为真。正是由于推出了P(n)为真，才根据假定定理对于n成立，推出了对于所有m≤n有P(m)为真，而得出对于所有m≤n+1有P(m)为真。证明了所需的定理对于n+1成立的结论，这里根本不需要对m施行归纳。

一阳生先生后面还说【不过即使知道(P(m)成立，您也无法根据蕴含关系得出P(m+1)成立。】这更是对向后归纳原理理解的错误。要知道向后归纳原理要断定的并不是【∀n∈N P(n)】，而是要证明由P(n)为真的假定，推出对所有的m≤n，P(m)为真的结论。

一阳生先生竟说【如果向后归纳以证明此结论为目的，则是毫无意义与毫无必要的。】说明一阳生先生对向后归纳原理尚未真正理解。

最后一阳生说他认为【实无穷观与潜无穷观，两者之间是和谐相容的。】这点我不同意。集合论是建立在现代实无穷观的基础之上的。持潜无穷观对集合论是格格不入的。不可能【和谐相容】。

另外一阳生先生说【我不认可您的所谓第五公理，对于任意两个自然数m和n，且m较小，m通过后继运算【未必】能够达到或得出n。】这是不对的。这是自然数的属性，是自然数的定义，自然数公理。任何自然数n和m，只要n>m，n一定可以由m经有穷次的加1而得到。你必须认识到这点，你必须认可。

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