Zmn-1117 薛问天: 试答新华《1114》所提有关微分的问题。

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试答新华《1114》所提有关微分的问题

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1,问: 【如果函数𝒚=𝒇(𝒙)的导函数存在，即𝒚′=𝒇′(𝒙)，则∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)，是否可以有𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙呢？ 】

答:  当然。如果函数𝒚=𝒇(𝒙)的导函数存在，即函数𝒚=𝒇(𝒙)在x的各点均可导。可导同可微的条件是一样的，只要函数可导，就可微(详見后面3中的证明)。函数𝒚=𝒇(𝒙)在x的各点的因变量微分都是𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙。这没问题是正确的。

2，从导数的定义知：𝒇′(𝒙)=𝐥𝐢𝐦[∆𝒙→𝟎](∆𝒚/∆𝒙)，在这里求极限时要求∆𝒙≠0。所以在这个求导数的极限运算时是要求∆𝒙≠0的。

在微分定义中的根据∆𝒚=A∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。注意这里对每个具体的点x的，A都是一个常数。因而，在可微时，当∆𝒙→𝟎时，∆𝒚/∆𝒙→A。即可导且𝒇′(𝒙)=A。∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙。

也就是说，微分是这样定义的。如果有∆𝒚=A∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。则令微分𝒅𝒚=A∆𝒙，𝒅𝒙=∆𝒙。即在定义的微分𝒅𝒚和𝒅𝒙中，是允许∆𝒙=0的。

但是，在证明𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙时，要使微商𝒅𝒚/𝒅𝒙=(𝒇′(𝒙)∆𝒙)/∆𝒙=𝒇′(𝒙)，必须要求∆𝒙≠0，同时这里也要求𝒅𝒙≠0。

所以在这里新华先生说【表明𝒅𝒚/𝒅𝒙、𝒅𝒚、𝒅𝒙和𝒇′(𝒙)都是在极限运算过程中把∆𝒙当成 0 处理的条件下得到的，】是不对的，应该说在求导数𝒇′(𝒙)时，以及在证明和表示𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙时，要求∆𝒙≠0，𝒅𝒙≠0。但对于定义的微分𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙和𝒅𝒙=∆𝒙中，却是允许∆𝒙=0的。在什么情况下允许∆𝒙=0，在什么情况下允许∆𝒙≠0，都有严格的规定和区分，所以并不存在∆𝒙=0 和∆𝒙≠0 的矛盾，即贝克莱悖论。

3，新华先生认为∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)这个表达式只对部分函数有效，说【其它函数都不具备这样的条件】。这个看法不对。实际上可证，只要函数可导，就可微，这个表达式是普遍有效的。

【证明】。我们知道当∆𝒙→0时∆𝒚/∆𝒙→𝒇′(𝒙)，如果令∆𝒚/∆𝒙-𝒇′(𝒙)=φ(∆𝒙)，意味着当∆𝒙→0时，φ(∆𝒙)→0。

由∆𝒚/∆𝒙-𝒇′(𝒙)=φ(∆𝒙)，可知∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)∆𝒙，因为当∆𝒙→0时，(φ(∆𝒙)∆𝒙)/∆𝒙=φ(∆𝒙)→0。即可知其中φ(∆𝒙)∆𝒙是高级无穷小。从而得到∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+o(∆𝒙)。【证毕】

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