Zmn-1008 李鸿仪 : 承认事实和逻辑，大幅度提高严格思维的能力，才有讨论的共同基础，略评薛问天的Zmn_1006

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承认事实和逻辑，大幅度提高严格思维的能力，才有讨论的共同基础，略评薛问天的Zmn_1006

 李鸿仪 Leehyb@139.com

虽然很高兴薛先生仍然能仔细看我的文章，但我感觉一些先入为主的东西在薛先生大脑中已经根深蒂固，不可改变。比如无限集合可以与其真子集一一对应，就被薛先生当做信条。

虽然全世界的教科书都这么写，但是书上的一定是正确的吗？还是要看看事实和逻辑吧。

薛先生说“一一对应被认为是元素数目相等”，结合“无限集合可以与其真子集一一对应”可得；

无限集合的元素数目与其真子集一样多，部分等于全体，

自然数集合的元素数目与其所包含的有理数一样多。

自然数集合的元素数目与其只占一半的偶数真子集的元素一样多（伽利略悖论）。

无限旅馆即使客满了，还可以住无限多人，

5，一维空间上的点的数目与n维空间上的点一样多。

6，  1纳米线段上的点的数目与可以穿过n个宇宙（如果有的话）的线段上的点一样多。

.......

从反证法即归谬法的角度来说，任何荒谬的结论都证明了前提的错误。

以上6个荒谬的结论，其前提只有两个

1)一一对应被认为是元素数目相等

2)无限集合可以与其真子集一一对应

1)已经用了元素数目这一概念，说明这个概念是存在的，但是薛先生又经常否认这个概念的存在，习惯性地陷入了自相矛盾之中而不自觉。

其实1)是可以严格证明的：

证明：设集合A和B的元素数目∞不同，不妨设∞A﹥∞B，则A中总有∞A-∞B个元素，在B中没有原像，即A和B之间的单射不是满射。

这里，∞表示无限集合的元素数目，其定义为对元素进行计数得到的结果。所谓计数过程，无非就是每数到一个元素，就在计数结果中加1(计算机中可用i++表示)，因此计数就是做加法的一个过程，所以计数结果必然像自然数的加法那样，具有可加性，也可以对其做四则运算，有限无限都一样，唯一的区别，是有限的计数可以停止于某一个固定值，无限不能停止而已。

既然1)正确，那么6个荒谬的结论中的任何一个都严格证明了2)错误！即无限集合不可以与其真子集一一对应。

对于任何一个思维尚未被错误的东西毒害的人来说，上述六个结论的任何一个都是自相矛盾的，比如说一半怎么可能等于全体？

硬说0.5=1不是矛盾，而是无限的特点，又给不出任何严格的，没有逻辑循环的证明，那就没有讨论的基础了：连明显的自相矛盾也可以随意否认，还讨论什么反证法？

关于元素数目，还可以做进一步的说明。

由于无限集合对元素的计数过程不能停止，无限集合的元素数目只能是一个不断增加、没有上界的变量，而不是一个固定不变的值。所以，如果一定要想通过这个计数过程得到一个确定的无限值，那是不切实际的幻想。但并不能因此否认无限集合元素数目的存在性及其可加性:变量也是一种存在且也具有可加性。

事实上，根本就不存在可以固定的无限数！关于这一点，有一位网友也和我争论了很长时间，最后还自己编了一个程序，试图证明固定无限数的存在，结果发现编不下去了:如果是固定数，就意味着必须停止计数，而一旦停止计数，任何计数器只能停止于某一个有限的自然数，哪里来固定的无限数啊。所以，所谓∞，其本质不过是其取值大于任何一个固定的有限值的变量而已，非常简单，不但存在，且当然可以对变量作四则运算。

所以我们永远不可能给出无限集合元素数目的固定数值，当然也不可能形成一个数域，在这个数域里每一个无限集合都有一个固定值。那只是一种永远实现不了的幻想。把幻想当事实，并用幻想来否认别人的理论，显然都是错误的。

比如薛先生说“必须明确，要给出集合的【元素数目】的数学定义。必须严格地定义一个数域，使每个集合都要有此数域中的唯一一个元素来表示它的【元素数目】。”

这段话本质上就是把无限集合的元素数目看作是可以用一个固定的无限值而不是变量来表示的，本质上是混淆了无限集合和有限集合、 

虽然无限集合元素数目这一概念事实上被广泛应用，但应该是我首次严格定义了无限集合元素数目，并给出了其可加性性质的。定义其实非常简单和直观，并不需要过多的解释，也没有任何矛盾，反而还解决了几乎所有现存的矛盾和悖论。我都已经说的很清楚了，不再重复。只是对于大脑里充满了先入为主错误的信条的人来说，未必能理解而已。

事实上，前述六个荒谬结论的荒谬性是可以直接证明的。例如，不难直接证明，任何无限集合的元素数目必定是比其真子集多的。

证明： 对任何无限集合A, 若其包含真子集B，则A=BU(A-B)，根据无限集含元素数目的可加性，因为B与(A-B)的交集为φ，且A-B≠φ，即其元素数目∞A-B>0，所以∞A=∞B+∞A-B﹥∞B

另外， 无穷公理本质上只不过说明了后续数的存在，和皮亚诺公理并没有本质的区别，用无穷公理加分离公理只能证明可以用+1的方法从0开始形成任何一个自然数，但并不能证明+1过程可以结束从而形成全体自然数，并没有这样的证明。这里要注意单数性质的“任何”和复数性质的“所有”并不一定相同，这里就是一个很好的例子：能够不断地形成任何一个自然数，不等于这个形成过程可以结束从而形成全部自然数:只要过程还在进行当中，就不断有新的自然数产生，永远不可能形成全体自然数。

既然+1过程永远不能停止，不同的+1过程形成的集合自然就不一定一样。比如一个集合每做一次加1，另一个集合要做两次加1，且过程永不停止，由此形成的两个无限的自然数集合不可能一样。

对于加1过程，薛先生说

“但是要认清，这只对有穷自然数集合有效。对于己形成的全体自然数的无穷集合，己经没有最大数了”

事实上，由于加1过程无法停止，所以只存在正在形成过程中的无限集合。注意正在形成过程中的无限集合并不是有限集合：后者并不会一直加1，而且在这个过程中，所谓最大数一旦加1后，就不是最大数了，所以并不存在有限集合中那种固定不变的最大数。总之，不要把有限集合和正在形成过程中无限集合相混淆。由于加1过程永远无法停止，所以正在形成过程中的无限集合永远不会变成“己形成的全体自然数的无穷集合”，这一点我以后还有专门文章论述。

我多次强调，严格的数学推导不能跳过任何一个关键性环节，但薛先生在这里还是跳掉了如何形成“全体自然数的无穷集合”这一关键性环节，就直接讨论形成后的事情。本质上也是随意引入了未经证明的假设。

希望薛先生以后能不断加强严格思维能力的训练，不要一边随意混淆有限集合和无限集合的区别，一边又指责别人混淆了有限集合和无限集合的区别，也不要随意引入未经证明的假设，更不要老是随意地跳来跳去。

编过程序的人都知道，程序的执行很死板，只能一步一步执行，哪里能随便跳？

逻辑思维能力相差太多的人互相交流，交流效率太低。

以为+1过程可以结束，形成唯一的、外延不变的已经包含全体自然数集合，其实也是在潜意识中把无限集合看成是一个有固定元素数目的有限集合，这也从根本上混淆了有限集合和无限集合的区别。

“无穷就是不终止的有穷才能形成”，这句话倒是没错，也是林益等和我的一贯看法。如果我没记错的话，薛先生以前一直是批判这句话的，比如说过有穷的延申还是有穷，不是无穷等。当然，现在接受也不晚，只是接受得有点慢，而且很明显与薛先生其他观点冲突。

这句话正好说明了+1的过程是不能停止的：一旦停止，就变成有限了。这句话也说明了无限可以从有限的角度进行研究:把无限看成永远在增加的有限就可以了。很明显，这些都与他一贯的观点冲突。

关于康托定理，如所周知。N的幂集P(N)可以与二进制小数一一对应，因此P(N)与N’这一自然数集合一一对应，所以康托定理和对角线法并没有本质区别，至于认为N’不是自然数集合，明显与事实违背:存在不是自然数的下标吗？

没有讨论的必要！

还有，为了推翻可数假设，我们可以将它作为反证法的错误假设，但在证明之前，如果我们根本不知道存在可数和不可数集合，我们怎么会把可数作为一个错误的假设？这样做难道不是一种“事后诸葛亮式的”逻辑循环吗？而且，事实上，一一列出实数后，我们并没有遇到任何真正的矛盾，这就证明了这样一一列出是完全合理的。

连不可数集合都不存在，还讨论什么大基数啊。

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