Zmn-1164 一阳生 : 要严谨严肃的讨论问题，评《Zmn-1160》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1160》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 要严谨严肃的讨论问题，评《Zmn-1160》。

一阳生

一、要严谨严肃的讨论问题。

1、薛老师说：“这是由你的一次演算的定义决定的。你的定义【 ......得到新的一个或多个自然数的过程称为一次演算。】说的是【一个或多个】，说的不是【全部自然数】，如果你把演算就定义为【得到全部自然数】的生成过程，那当然不成问题。所以按照你这个定义得不出 【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可得到全部的自然数】。问题是你的论证应要由你来提出证明的理由，不是要求我来【 给出详细的论证过程进行反驳，】”

薛老师的辩论术相当了得，自己的观点自己不给出证明，说是我的原因造成的，说我【说的是【一个或多个】自然数，说的不是【全部自然数】，】，反而要我证明。

好吧！在我对[薛老师用数学归纳法证明该命题的证明过程]进行分析论证之后，我得出了【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可得到全部的自然数】。我得出了【多个】之中可包含全部的自然数。但在分析论证之前，我是不知道【多个】之中是否能够包含全部自然数的。

所以我再次请薛老师回答，在该命题成立的假设下，观点【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可得到全部的自然数】是否正确？我对您的[用数学归纳法证明该命题的证明过程]进行的分析论证是否正确？

2、薛老师说：要看清我说的是：“只有在生成过程中使用无穷次一次演算，即无穷次后继演算，才能得全部自然数。”要注意这里的【 无穷次后继演算，才能得到全部自然数】，並不是【由0经无穷次后继演算】得到了什么数，这样的数是不存在的。要非常清楚，生成每个自然数都是由0经有穷次后继演算而得到的。由于生成的自然数有无穷多个，所以在生成过程中使用了无穷次后继演算。并没有由0经无穷次后继演算生成什么数！一阳生你搞清楚了吗？”

我一点都搞不清楚！我说过为了能够无歧义的顺利的讨论问题，我们约定了【一次演算】的含义，并特别告诫薛老师不要故意的混淆演算与运算。看来这只是我的一厢情愿，薛老师耍起了小心思！

根据我们关于【一次演算】的约定，我清楚【无穷次一次演算】：比如得到1之后，把后继运算次数清零，再次后继运算2次得到2；然后再次把后继运算次数清零，再次后继运算3次得到3；…。如此进行下去，一次演算得到一个自然数，无穷次的演算可得到全部无穷个自然数。

我清楚【后继运算】的含义，比如在薛老师心目中具有崇高地位的命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】中说的就是【后继运算】。后继的后面跟着的是运算，这是施加于自然数的一种运算。

我不清楚【后继演算】到底是什么？是我们所约定的【一次演算】还是【后继运算】？此处须要薛老师重点解释清楚。

如果薛老师的【无穷次后继演算】是指【无穷次的演算，一次演算得到一个自然数】，则【无穷次后继演算】指的就是【第】无穷次的演算。在第无穷次演算中的后继运算运算了无穷次，得到无穷序数ω。

如果薛老师的【无穷次后继演算】是指【在一次演算中的无穷次后继运算】，则第无穷次后继运算得到无穷序数ω。

无穷次演算和无穷次后继运算得到的结果都不是全部有穷个自然数，全部有穷个自然数是由全部有穷次的演算得到的或者是由全部有穷次的后继运算得到的。此处薛老师如不同意请重点反驳。

3、薛老师说：“但是由此定义来推论皮亚诺的第五公理【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】时，要隐含着用到逻辑的推理只能有穷次，所以在论证n是自然数时，要由定义进行有穷次推理。第一步由①论述空集0是自然数，第2步由②论述0的后继1是自然数，第3步再由②论述1的后继2是自然数，余此类推，在第n+1步由②推出n-1的后继n是自然数。于是推出【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】。明显看出这个【有穷】就是逻辑推理的【有穷次】。”

薛老师的论证中有【第一步】、【第2步】、【第3步】、【余此类推】，和【n+1步推出n是自然数】。总而言之这些都是【有穷步】，这些有穷步只能推出区间[0,n]中的自然数，没有推出全部无穷个自然数。请问薛老师怎么办？要不要我替薛老师出出主意。要不要在逻辑推理上，把数学归纳法原理放置在自然数的存在之前？否则难道薛老师想余此类推到潜无穷次？显然薛老师已经对【有穷步】用上了数学归纳法，直白的承认了【有穷步】中的1步、2步、3步等，有无穷个。

薛老师说：另外一阳生先生说 【【有穷次】(和有穷步)必然是极其少的极其有限的次数。】这个认识是不对的。【有穷次】并不是【极其少】，也不是【有上限】的，而是可以【任意大】，要知道任何的自然数都是有穷数，但是【无上限】，可以任意大。这是一阳生先生对有穷的认识错误。另外请一阳生先不要胡编乱造地乱说别人【 胡编乱造】。”

薛老师说【有穷次】是逻辑推理和证明中的步骤次数，这样的有穷次定义了自然数。但是薛老师首先要搞清楚这样的【有穷次】中到底有1次、2次、3次等多少个次数！回顾数学和逻辑学中的[关于定理和推论的]证明步骤数，超过1百次的我相信不多，超过1万次的，据我所知没有，这样会累死数学家的。现代的超级计算机为了证明复杂的问题可以给出相当大的证明步骤数，但步骤数依然穷尽不了全部无穷个自然数。

薛老师还没有论证完毕【为数不多的1次、2次、3次等这些【有穷次】，如何能够得到全部无穷个自然数】，信口就说【要知道任何的自然数都是有穷数，但是【无上限】，可以任意大。】。确实在先有全部自然数存在的条件下，由自然数定义的次数可以是无上限的，可以任意大，可以无穷多。但薛老师在全部自然数还没有定义完毕的条件下，就要迫不及待的让全部自然数反定义出全部【有穷次】了？说您胡编乱造一点都不冤枉！

二、要搞清楚【所有】所指的范围是什么。

薛老师说：“那么小球在开区间经过的点就是所有[0, ε]的并集，”

在这里薛老师把ε 错误的理解成了：假设小球不存在(或薛老师眼中没有小球)，只看一个处于静态不变状态的区间[0, 1)，让ε可指代区间中的任何一点。在这种错误的理解下当然会有所有的ε的并集或所有的[0, ε]的并集是[0, 1)。但事实上ε是小球所在的点或所处的位置，薛老师要把关注点聚焦于小球和小球的运动。所有的[0, ε]中的[所有ε]，都是小球之前已经经过的点的轨迹。[所有ε]并不包括小球之后的区间(ε,1)中的点，这是小球永远无法经过的，只要小球处于[0,1)之中。

薛老师说：“设n是任一自然数，尽菅每个[0,n]之内并未包括 (n,+∞)中全体自然数。但所有[0,n]的并集，就是[0,∞)，它包括了所有的自然数。”

薛老师这句话作为对全体自然数做静态的表述是对的，所有n的并集或所有[0,n]的并集就是全体自然数的集合。但这与小球的运动并不类似，与小球运动类似的表述是，假设口头数数可以数到任一n(也就是主观思维投射到n上)，这时所有[0,n]是已经数过的数的并集，所有[0,n]不包含未被数到的自然数。所有的已经数过的数和所有的没有数到的数的并集才是[0,∞)。类似的，区间[0,1)中小球已经经过的所有点和没有经过的所有点的并集才是区间[0,1)。

薛老师说：“每个[0,ε]之内并未包括 [0,1)中全部的数，在它后面还有(ε,1)中无穷个数未含在其中。”

薛老师说的很清楚，对于每个ε，ε之前的点都是已经经过的，ε之后的(ε,1)中的点都是没有经过的。量词【每个】当然代表【所有】，但【每个】ε或【所有】ε的取值范围是小球已经经过的[0,ε]，不是[0,1)。这就是我上面说的，薛老师对ε的理解有误。

薛老师的【所有】用的相当微妙，直接无视了碍眼的小球在区间中的运动。薛老师干脆直接的讨论区间[0,1)中的点，让区间中没有小球的存在和运动不是更好吗！

2、薛老师问：“还要把1这个端点包含进去，这究竟有何意义？”

我们讨论的是小球的运动过程和小球的运动轨迹。小球为了经过半开区间[0,1)中的全部点，须要额外的多经过一个点【1点】。小球的运动轨迹是[0,1]，当然要把1点包含进去。

三、关于极限定义。

1、薛老师说：“不是我的曲解，你就是用A∧B即极限的ε-δ定义来定义潜无穷过程和 【x趋向于x0】的。”

A∧B不是极限定义，（A ∧ B）→（C → D）才是极限定义。我是用A∧B定义 【x趋向于x0是潜无穷过程】，不是分别定义了【潜无穷过程】和 【x趋向于x0】。

2、对于【x趋向于x0】的分析论证。【x趋向于x0】是一个完整的句子。其有主词【x】，有谓词【趋向于】，有宾词【x0】。而且我们可询问其是真是假，其可作为命题。谓词【趋向于】作为原始概念，不能被其他概念所定义，只能根据极限定义判断出【趋向于】具有行为永不停歇的特性。同理【f(x)的极限是A】也是一个完整的句子，也可判断真假，也可作为命题。薛老师如有不同的意见，请给出。

薛老师说：“不能把 【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】作为两个单独的命题分开来定义。”

根据极限定义的命题结构（A ∧ B）→（C → D），C和D是不能脱离（A ∧ B）的。如果脱离了，独立的看，我们将无从判断他们的真假。而且D也不能脱离C，因为C是D的前提。由于【趋向于】是原始概念，所以【x趋向于x0】不可能被定义。反而是【x趋向于x0】(联合A ∧ B)定义了【f(x)的极限是A】，且定义了【x趋向于x0是潜无穷过程】，且定义了【f(x)是动态数】。

3、薛老师说：“0<|x-x0|<δ，只是说x不等于x0，它指所有除x0以外在区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值。也就是x必须遍历x0的邻域内除x0以外的所有值。实无穷观在这里起到重要作用。不允许潜无穷观所说的还有除x0以外未达到的值。0<|x-x0|<δ表示x可以取邻域内除x0以外的所有值。”

薛老师的第一句话【0<|x-x0|<δ，只是说x不等于x0，它指所有除x0以外在区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值。】完全是静态的表述，根本不涉及x(可把x看成小球)在区间中的运动。但第二句话【也就是x必须遍历x0的邻域内除x0以外的所有值】中涉及了x的运动。第三句话【实无穷观在这里起到重要作用】。

薛老师对于极限定义的错误认知，在这里彻头彻尾的暴露出来了，这个错误认知就是：【x趋向于x0】，当且仅当，【函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。】。也就是说薛老师用（A ∧ B）定义了【x趋向于x0】。并在错误的认知下，得出错误的结论：【在趋向于这个动作下，x能够遍历区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值，且x趋向于x0是实无穷过程。】

首先含有原始概念的【x趋向于x0】不可能被定义。其次x永远遍历不到区间(x0-x,x0+x)中的值。再次薛老师的第一句话中不含有x的运动，第二句话含有x的运动。第一句话成立，推不出第二句话成立。

我之前说过，实无穷表达存在性，是静态的状态。潜无穷过程表达永不停歇的行为动作。他们各自反映了一静一动两种看待数学的思维方式方法，相互之间不冲突。

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