璇函数及旋转定律

Lintao Liu

摘要

本文提出一种新的微分结构——旋转导数（rotational derivative），并以此定义径向函数的“璇函数”形式。璇函数是描述空间旋转的基本波函数，其满足一阶惯性方程，表明其引出的角速度是合理的。所以， 本文推出旋转定律，该定律定义了角速度的大小与方向，表明：旋转不是力的结果，而是空间曲率与速度的卷积。

1. 引言

在传统力学中，导数描述沿轨迹的线性变化，而角速度与角动量常被视为几何附属量，并无独立的微分地位。然而自然界中普遍存在旋转现象——从电子轨道到行星运动——它们的稳定性表明，旋转应当是惯性自身的表现。

为此我们引入一个新的导数算符——旋转导数，用以刻画径向函数随时间的旋向演化，从而揭示出璇函数的惯性方程与其本征旋转解。

2. 旋转导数的定义

设径向函数

                        f = f(r),  r = |r|依赖于空间半径 (r) 。

定义其旋转导数（rotational derivative）为：

                        D f(r)/D t= -(v×▽)f(r)= f'(r)/r( r× v)

其中 v =dr/dt 为速度矢量。

该导数的方向垂直于 r 与 v, 表示函数 f(r) 绕径向等值面的旋转速率。

若 (f = ln r)，则

                        D (ln r)/Dt = (r× v)/r² =ω,

即角速度矢量。

由此可见，旋转导数自然生成角速度，因此它是描述旋转惯性的基本算符。

3. 璇函数的定义

定义**璇函数（rotational function）**为 

                       ψ(r) = rⁱ = e^{iln r}.

其相位部分 (ln r) 对应径向的“旋向坐标”，表示空间点在对数半径空间中的旋相位。

对ψ(r)  施加旋转导数：

                        Dψ/Dt

                        = iψD(ln r)/Dt

                        = iωψ.

于是得到一阶旋转方程：

                        Dψ/Dt= iωψ.

这便是璇函数的惯性方程。

4. 旋转定律

璇函数的惯性方程表明，其引出的角速度是合理的，于是旋转定律就是:

                         ω=(r× v)/r² = k×v

其中k=▽(lnr)=r^/r

这就是角速度的定义，也是旋转的定义，也是宇宙的定义。从宏观的地球，到微观的量子，皆满足此定律。大家如果感兴趣，可以以此定律推导出角动量守恒定律（前提加速度a||r）。

值得注意的是：   对于量子，v²∝k²; 对于天体，v²∝|k| 。量子与天体自此分野。

5. 惯性方程的本征解

若角速度ω 为常矢量，则

                        ψ(t) = ψ₀e^{iω t}

为惯性方程的一个本征解。这个解揭示了一个有趣的现象：复指数里也可以有矢量。

6. 几何与物理意义

• 当 v || r，旋转导数为零，对应线性惯性态。

• 当 v ⊥ r，旋转导数最大，形成纯旋惯性态。

• 璇函数的相位 (ln r) 是角速度的“共轭坐标”，因此 (r) 与旋转频率之间存在本征关系：

                  ω= D(ln r)/Dt.

从宏观到微观，一切稳定的旋转系统（如行星轨道、原子电子云）都可视为璇函数的不同本征态。一切有轨迹r的物体皆有角速度。

7. 结论

旋转导数为导数体系补充了“旋向维度”，使角速度成为导数定义的直接产物。这直接促成了旋转定律的诞生。以此导数构造的璇函数满足一阶旋转惯性方程，其本征解揭示了自然界旋转稳定性的根源：

旋转即惯性，角速度即相位守恒的体现。