作者：柳林涛

摘要

传统微积分建立在平移群之上，其导数定义体现的是线性加法极限。该体系在描述直线传播、平移速度与力学量时完备，但对于旋转、环流、相位卷绕等现象，只能借助二阶或经验项表达。本文提出一种新的导数——旋转导数（Rotational Derivative），以刻画非平移型的局部变化率。它以相位守恒为出发点，将旋转视为一阶几何过程，从而统一了线性传播与旋转运动的波动描述。

一、引言

从牛顿到黎曼，导数的定义始终基于可加空间：

                        df/dt=lim_△ t→0(f(t+△t)-f(t))/△t.

这一定义假设变量在实数线或可加流形上连续变化。然而，自然界中存在广泛的旋转与卷绕过程——行星公转、自旋、涡旋光束、量子轨道——其变化率并非加法而是旋转群 (SO(3)) 的乘法。传统导数难以直接描述这种“绕”的变化。

二、旋转导数的定义

2.1 群极限思想

若某量 (f) 在旋转群中演化，则时间增量应表现为群元作用：

                        R(t+△ t)=e^^△tω×R(t).

因此导数应取群乘极限而非加法极限。

2.2 定义

对任意标量场 Φ(r,t) 和速度场 v(r,t)，定义旋转导数为：

                        DΦ/Dt=-dθ/dt - v×▽φ.

其中Φ=φ(r)-θ(t), 其中φ(r)=ln(r)为径向相位；也就是原本标量Φ，求时间导数后变为矢量。

若 ({DΦ/Dt=0)，则称系统处于旋转相位守恒状态。对应的旋转频率（角速度）为

                        ω=k× v, k=▽Φ

注意：Φ=φ(r)-θ(t), 其中φ(r)=ln(r)为径向相位； dθ/t=ω

三、基本性质

1. 线性性：D(aΦ_1+b\Φ_2)/Dt=aD\Φ_1/Dt+bD\Φ_2/Dt.

2. 链式法则：对复合函数 (F(Φ))，D F/Dt = (dF/dΦ)(DΦ/Dt)。

3. 传播–旋转对偶：

•  DΦ/Dt=⊿Φ/⊿t+ v·▽Φ.

• ⇒  ω=k· v

• 旋转导数：DΦ/Dt=⊿Φ/⊿t+ v×▽Φ.

• ⇒  ω=k× v

4. 几何正交性： 

                   k⊥ v，三矢量 ( k, v,ω}) 构成右手系。

四、物理含义

1. 速度定义                v=ω×r.

   旋转导数使这一定义成为推论而非假设。

2. 角动量守恒                L=mr× v=m r²ω                dL/dt=0  {中心力下}.

3. 相位守恒积分式                ∫| k|ds=∫|ω|dt,         适用于传播与旋转两类波动。

五、潜在应用

• 天体力学：行星轨道与自转可直接由旋转导数描述，角动量守恒与面速度恒定成为相位守恒的自然结果。

• 量子物理：电子轨道、自旋体系的相位演化可视为旋转波，旋转导数为角动量算符的一阶形式。

• 流体与场论：涡旋、旋转波、磁旋流等可用旋转导数建立更直接的守恒方程。

六、讨论

旋转导数把微积分从平移群推广到旋转群，使得“旋转”成为一阶几何过程。它揭示方向、速度、角速度三者之间的自洽闭环：

                        k= r^/r,  ω=k× v, v=ω×r.

这种闭环几何可同时解释宏观轨道与微观量子态的周期性与守恒性。

七、结语

旋转导数的引入，为描述宇宙中的卷绕、轨道、自旋现象提供了一阶数学语言。它既保留了微积分的极限精神，又补充了旋转群的几何本质。从传播导数到旋转导数，微积分的定义终于覆盖了“直线的和谐”与“圆的和谐”，为更广泛的相位物理奠定了基础。