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杂说“除”与“商”
算术的四则运算,加减乘除,乘法的计算结果称积,除法的计算结果称商。对于古人来说,乘法是同一数字的连加,积累起来,所以其结果称为积。那么除法呢?那里的除和商是什么意思?
先看看商字的意义。虽然对于甲骨文商字的本义一些专家尚有争议,但是两千年来,商字的实际用法基本上都是出自《说文解字》的解释。《说文解字》说:“商,从外知内也。”也就是说,商的本义是测度,估量。
商功,就是测度工程量。汉代的《九章算术》的第五章名商功,其内容是测量体积、计算工程用工的方法。
商羊是传说中一种能预知雨的神鸟。王充《论衡·变动》:“商羊者,知雨之物也;天且雨,屈其一足起舞矣。”
商是测度,量也是测度。测度总有误差,众人在一起测度,就需要听取各人意见,求得一致,这就引申到如今意义上的“商量”。
于是就有了商讨、商议、商榷、商酌,也就有了磋商、协商、相商、洽商,以至于最后的商定。
人类有分工,就需要贸易,交换,也就是做买卖。做买卖就需要估量,需要测度,估量货物在各处的价值,估量运输费用,在成交时还需要商议,讨价还价。于是,从事贸易就称为商,做买卖的人就称为商人。从古到今,商业都是社会最重要的行业之一。
此外,古代有商代,天上有商星(二十八宿中的心宿)以及五音中有商音(相当于简谱的2),这三个都属于专门名词。
所以,商字的实际用法相对简单,没有很多歧义,除了上面所说三个专有名词之外,基本上都与测度、商量有关。
除,本义是宫殿的台阶。除,从阜(“左耳朵”阝)余声。左耳朵阝总是与高出地面有关。古代造宫室为了防止潮湿,把房子建造在较高的地基上,特别是统治者的宫殿,更是高出平地许多,以显出其地位的崇高。这样,登堂入室就必须经由台阶,除就是宫殿的台阶,也引申为其他房子的台阶。
如《汉书·苏建传》说苏武的大哥苏嘉“扶辇下除(扶着皇帝的车驾下台阶),触柱折辕。劾大不敬,伏剑自刎。”
又如刘禹锡《陋室铭》“苔痕上除绿,草色入帘青”。
又如《朱柏庐治家格言》:“黎明即起,洒扫庭除”。
这些句子里的除,都是台阶的意思。
通过台阶可以往上走,所以新任官职,称除。《汉书·田蚡传》中说田蚡专权,搞得汉武帝责问他:“君除吏尽未?吾亦欲除吏。”(你任命官员有完没有?我也要任命几个呢。)
除,也是去旧职任新官,一般都不是降职,或平调或略升。如文天祥《指南录后序》:“予除右丞相兼柩密使,都督诸路军马。”
如果是降职则可以称左除。如《新唐书·裴延龄传》:“帝怒,乃罢贽宰相,左除滂等官。”(罢免陆贽的宰相职务,将盐铁使张滂等降职)。
正如段玉裁在《说文解字注》所说:“凡去旧更新皆曰除。取拾級更易之义也。”
正如段玉裁所言,除是去旧更新。所以,一年的最后一天称除日,最后一个晚上称除夕,以后除夕引申至最后一天即除日。王安石有诗句:“爆竹声中一岁除,春风送暖入屠苏”。
也正因为如此,所以除往往引申为去掉。现在常常说去除或除去,这实际上是除字最多的用法。
从两千多年前《尚书·泰誓》的“除恶务本”,到京剧《除三害》,直到20世纪50年代的“除四害”运动。人们一直想除恶、除害。
我们现在常常用的词语,根除、铲除、开除、拆除、除暴安良、斩草除根、排除万难以及除此之外等等,这里的除都是去除的意思。
著名的珠算口诀,三下五除二,在教科书上又说成三下五去二。不过现在三下五除二往往被用作形容动作麻利、做事干脆利索,成了一个成语。
在这些意义上,除就是去,去就是除,放在一起称去除或除去。
算术的四则运算,加减乘除。加法与减法是一对逆运算,乘法和除法又是一对逆运算。
对于古人来说,乘法是把一个数一次次地加上去,到了一定的次数,去求其积;乘字的意思是“加其上”,积字的意思是积累。
除法则与之相反。它要做的是求一个数甲的值,把这个数甲从另一个数乙中一次次地去除,在一定的次数后,正好把乙数去除干净。这里除字的意思是去除,也与乘字“加其上”的意思相反。
对古人来说,乘法是比较容易的,只需要一次次地加其上就可以了。而除法则比较难一点了,他要把一个未知的数甲从一个数乙中去除,在一定的次数内去除干净。怎么办?只能靠先试试看。
举一个例子,有一堆谷子,经量度,有二十七斗,要平分给六个人。所谓平分给六个人,就是六个人依次从中取出若干,到第六人正好取完,不多不少。
如果每人取五斗,六个人需要三十斗,二十七斗是不够分的。如果每人分四斗,则只需要二十四斗。在二十七斗中,每人分去了四斗,应当还余三斗。把三斗分给六个人,每人分六分之三斗,也就是两个人分一斗,即二分之一斗。经过这样的商度,人们知道了,二十七斗谷子,每次去除四又二分之一斗,六次正好去除尽。
在这个例子中,二十七是被去除的数目,称被除数;六是去除的次数,称除数;商定每次去除四又二分之一就能够除尽,称商数,简称商。如果商数取四,则“除不尽”,有余数三。
这就是除法及其术语被除数、除数、商数、余数、除尽、除不尽等的来历。
在这些术语中,除字的意思就是去除,商字的意思就是商定。当然,当词语被广泛使用后,人们往往不会再注意其每一个字的本义。
在现代数学中,除法也不再仅仅是其原始意义上数的均分了。一般地说,人们只是把它作为各种乘法的逆运算。
求商的运算也扩展到各个学科之中,例如在心理学中,人们把儿童的心理年龄与实际年龄的比称为智商。在物理学中,把在可逆条件下热量的增量与热力学温度的比,作为一个热力学函数的增量,而且新造一个汉字熵,来表示这个重要的热力学函数。
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