第1章 绪论

本章介绍振动现象的广泛性，振动研究的内涵和外延，以及本书的主要内容。

 

1.1.  概述

振动指系统围绕平衡状态所发生的往复变化。对振动的理解有狭义和广义两种。狭义的理解是机械系统的组成元件在它们平衡位置附近所作的往返运动，比如弹簧质量系统的质量块运动，单摆的摆杆摆动等。广义理解则可包括诸如生物、生态、经济和社会发展等极端复杂系统的演化。

1.1.1.  振动现象的广泛性

宏观上大至宇宙，微观上小至基本粒子，都伴随着时刻不停的振动现象，如声、光、电、磁、热等。弦乐器的弦振动和管乐器的气柱振动是乐器工作的基础。没有空气的振动，声音无法传播，人类根本无法有效地沟通，更遑论欣赏动听的音乐了。

工程领域的振动现象数不胜数。例如，桥梁和建筑物在阵风、冲击波、地震、海浪、潮汐等载荷作用下的振动，飞行器与船舶在航行中的振动，输送管道中的流体流动诱发的振动，机床和刀具的振动。

生命系统中振动现象也比比皆是，比如心脏的跳动、耳膜和声带的振动、大脑思维过程中神经元之间的相互作用[①]，都是人体不可缺少的生理过程。动物和植物生物钟，昼夜节律[②]，年节律等等也可以看作是广义振动。微观振动包括细胞膜振荡[③]，离子振荡，细胞骨架振荡、耳蜗内毛细纤维振荡等等[④]。植物茎叶在风中抖动则是外部环境与生命系统相互作用的结果。

流行病发生率的变化、果实收成的大年和小年、种群涨落、生态系统的波动、股票价格的升降、经济危机的准周期性发生、朝代更替等等也可看作是广义的振动。

为什么振动现象具有这样的普遍性呢？这是因为一个物理过程如果是单调的，则有两种趋势，一种是物理量单调地稳定到一个定值(相当于图 1?1中虚线)，另外一种是单调地无限增加(图 1?1中实线)。前一种的特性比较简单，容易研究清楚。符合后一种特性的物理过程极少，这是因为该过程意味着需要无穷的能量。对自然界中容易观察到的稳定系统，以及很多人工系统，物理量的变化一般都在有限范围内。在有限范围内变化且变化非单调的过程，在某种角度上都可以看作是振动。

1.1.2.  研究振动的目的

振动研究的最直接目的就是“趋利避害”。很多工程振动都表现为“害”，但也有很多工程设备利用振动的“利”。

振动的害处首先表现为破坏物体的结构，不论是人工结构，还是自然结构，地震和海啸在瞬间就能将其摧毁，给人类造成巨大损失。海浪和飓风能够引起桥梁和海洋平台共振，导致破坏。经典的例子是1940年美国Tacoma桥因风载引起振动而坍塌[⑤]。飞机机翼和输送管道的颤振往往酿成恶性事故。工程机械的振动会加剧构件的磨损和疲劳，从而降低机器和结构物的使用寿命。加工机械的振动将严重影响加工精度。过强的振动也会影响精密仪器设备的测量功能和性能。

车、船等交通工具的振动会恶化乘载条件，过强的房屋振动会影响居住的舒适性能，强烈的振动噪声也是严重的环境公害。长期与振动接触的工作人员易患振动病，长期接振的手指会麻木，局部微循环恶化，甚至出现白指病。

但是振动也并非一无是处。比如大量的研究发现振动可促进骨折组织愈合。纽约州立大学Rubin研究小组让绵羊站立于振动平台，每天按照给定参数振动20min，发现一年后绵羊的骨松质密度较对照组增加34.2%[⑥]。也有研究表明适度振动能改善血液循环(如按摩)，有利于镇痛，强化体育训练效果。音乐疗法的基础是声音，当然与振动密不可分。

振动在工程方面的应用非常广泛，闻邦椿院士在国内开拓了振动利用工程这一方兴未艾的领域[⑦]。目前，在许多行业，如采矿、冶金、煤炭、石油化工、机械、电力、水利、土木、建筑、铁路、公路交通、轻工、食品和谷物加工、农田耕作等，都使用了与振动相关的设备来完成形形色色的工艺，如给料、上料、输送、筛分、布料、烘干、冷却、脱水、选分、破碎、粉磨、光饰、落砂、成型、整形、振捣、夯土、压路、摊铺、钻挖、装载、振仓、犁土、沉桩、拔桩、清理、捆绑、采油、时效和切削等。商业化的机器包括振动给料机、振动输送机、振动整形机、振动筛、振动离心脱水机、振动干燥机、振动冷却机、振动冷冻机、振动破碎机、振动球磨机、振动光饰机、振动压路机、振动摊铺机、振动夯土机、振动沉拔机，以及各种形式的振捣器和激振器等等。

上述设备利用了振动的能量属性，我们还经常利用振动的信息属性。比如人类很早就利用声音来判断陶瓷器皿是否存在裂纹：即用轻轻弹叩器皿，如果它发出的声音清脆响亮则无裂纹，而发出沙哑声则表明有裂纹。人们也经常通过扣击西瓜听声音的办法来鉴别成熟度，更为精密和自动化的方法是使用振动仪器检测，然后再使用振动分析方法鉴别[⑧]。利用振动信息来监测机械健康状态，鉴别故障的起因，是机械故障诊断学的重要组成部分[⑨]。振动信息还被用来无损检测桩的质量。人工地震波技术是非常重要的探测石油、勘探地质的手段。医学上则广泛使用超声来诊断和治疗疾病。

正如胡海岩院士所指出的振动美学五大特征之一—统一性[⑩]，振动信号与其他波动信号在数学上没有差异，模型也相似，因此研究振动信号的处理方法也可以用于电子、通讯、图象处理等领域，甚至有人用于商品价格的研究[11]。这些都是振动研究的“副产品”。

前面我们已经提到了振动现象的普遍性，因此振动研究的一个重要目的就是要认识世界，理解振动现象的机制，更好地改造自然界，以便于我们人类的“趋利”。比如研究潮汐的涨落和海洋的波浪规律可以用来发电。研究人体的时间节律则可以提高人类的工作效率，强化药物作用效果等。而阐明生物体在微观领域的振荡机制则是重要的科学研究前沿。

从广义的角度看，人口的增长与衰减、农作物虫灾发生的周期性现象、股市的涨跌和振荡、社会经济发展过程的繁荣和衰退、周期性的经济危机，甚至朝代更替也都是振动现象。人们往往认为，对这些问题进行定量研究太困难了，所使用的数学表达式肯定要异常复杂。但是在振动基础上发展起来的动力学研究则表明，数学表达式很简洁的系统也能发生非常复杂的行为[12]，这启发研究人员思考上述的复杂巨系统(Complex Giant System)是否也能够用具有简洁表达式的模型来近似。目前动力学在研究物种多样性、种群涨落方面已进行了广泛的探索[13]。人文社科研究传统上侧重定性研究，但也有基于动力学的定量研究的报道，如股票波动[14]、经济发展[15]、战争爆发[16]和朝代更替[17]等。

1.1.3.  振动研究的内涵和外延

人类所处的外部环境不断变化甚至恶化，为了能够存在，必然要“趋利避害”，而为能够可持续地延续和发展，整个社会更要关注长期的“利“与“害”。为了达到这个目的，我们自然想知道：“利”在哪里，“害”在何处;能否“趋利避害”;采用什么样的手段能够有效地达到目的; 以及在无法完全避害的情况下，如何平衡“利害”。

应用科学就是人类主动创造，并经世代积累，用来趋利避害的预测工具。预测的基本要素如图 1?2所示，它有四个：原始状态、外部动态影响因素、作用机制和表观特性。科学研究特别强调作用机制的研究[18]，初条件和外部影响因素一般受到人工调控。作用机制的框是灰色的，其中部分作用机制已知，而部分作用机制未知。根据背景知识，研究者对未知部分作出某种假设，然后对给定原始状态和外部动态因素就表观特性作出预测。再通过实验模拟给定的原始状态和外部动态因素，观察表观特性[19]是否与预测的一致。如果不一致，则需要修改假设。如果观察结果和预测的一致，那么假设得到了一次支持。如果这种假设被多种实验条件所支持，而且没有找到反例，那么这个假设就会被科学界接受为暂时的“真理”。

振动研究的基本要素与上述科学研究要素相似。在图 1?2中四个要素下方的楷体字型词汇就是振动研究所使用的术语。从工程角度而言，最关心输出，因为这个物理量决定振动的强弱。有时把“输出”叫做响应(也称反应)，把“输入”叫做激励(或外力)。初条件包括初位移和初速度(有的文献把“初条件”当作“初激励”处理)。

已知输入、初条件和系统特性，来预测系统响应，称为振动分析，它为机械与结构的动强度和动刚度计算及校核提供依据。振动研究的另外一个任务是根据激励和响应求系统的参数，这称为系统识别。振动研究的第三个任务是已知响应和系统特性，反推激励，这称为振动环境预测。

根据侧重点的不同，可以从不同的角度对振动进行分类。

一.按照系统的物理特点分类

(1)线性振动。线性系统发生的振动称为线性振动，它可以用线性微分方程描述。线性系统满足叠加原理，也就是复杂输入的响应可以由简单激励的响应叠加而得。如果线性微分方程的系数不随时间变化，则称为线性时不变系统。

(2)非线性振动。非线性系统产生的振动就是非线性振动，其数学描述为非线性微分方程。非线性系统不满足叠加原理。

(3)随机参数振动。振动微分方程的系数是随机量。工程上即使按相同工艺制作的同一规格构件的物理参数，比如混凝土梁的刚度，也肯定有差异。这种差异可以用随机量或随机场来表示，相应的研究称为随机参数振动。也有用模糊数学来表示上述不确定性的，相应地称为模糊振动。

二. 按照激励的类型分类

(1)自由振动。系统受初始激励作用(以后不再受外界激励) 产生的振动。初激励包括初始位移和初始速度。

(2)强迫振动。系统在外界激励作用下产生的振动。外界激励既可以是外荷载，也可以是系统的支座运动。

(3)自激振动。激励受振动系统自身控制，在适当的反馈作用下，系统将自动地激起定幅的振动。但是，一旦系统的振动被抑止，激励也就随着消失。

(4)参数振动。激励是因系统的物理参数的改变而引起的。

三.按照激励的特点分类

(1)确定性振动。外界的激励可以用时间的确定性函数来刻画。一个确定性系统(指系统的物理特性是确定性的，不论它是常参数系统，还是变参数系统)，在受到确定性激励时，其响应也是确定性的，称为确定性振动。

(2)随机振动。随机激励不能用时间的确定性函数进行刻画，我们不能事先确定某一时刻激励的具体量值，但它们符合统计规律，可以用概率的方式刻画。风、地震引起的地面运动和波浪都是随机激励的典型例子。确定性系统，在受到随机激励时，系统的响应是随机的，称为随机振动。

1.2.  本书的主要内容

皇帝老儿关心朝代的更替，最好消灭朝代更替的“振动”，以便江山永固，但这是“巨复杂系统的非线性随机振动”。本书只介绍机械振动的最基础内容，即仅限于线性系统受确定性激励的问题。工程上最常见的简单振动系统如图 1?3所示，它由质量块 、弹簧 和阻尼器 构成。

对该系统，首先要关心的一个问题是：质量块 偏离平衡位置幅度是否过大。因为若偏离幅度过大，则弹簧就有可能被拉坏。工程上更常见的情形是：振动的幅度没有大到一次就将弹簧拉坏的程度，但系统仍有可能因长期的疲劳损伤累积而损坏。就如同一次次小规模的农民起义，虽然其中一次无法把皇帝拉下马，但多次起义之后最终将推翻旧王朝。

为防止图 1?3系统的失效，最高境界是能达到皇帝的妄想—“消灭振动”，但这往往不可能。为了保证在设计寿命内，系统不被破坏，我们退而求其次，就是让质量块 的偏移 尽可能小。这就要求预测质量块 的运动规律，以及相应的影响因素。因此我们就需要对该系统进行研究。

最简单的研究是直接观察。直接观察可得到这样的定性描述：系统质量块围绕平衡位置作往返运动，就如同振动的定义那样。但是我们还想知道 什么时候经过平衡位置，达到的最大偏移究竟是多少，而不仅仅是“否极泰来”式的“睿智”描述。

振动理论依靠什么工具预测呢？最常使用的工具是下面的二阶微分方程

                                                                                           

它是刻画图 1?3所示系统的运动方程。这里的 分别是系统的质量、阻尼系数和刚度系数，而 是随时间变化的激励或外力。

1.2.1.  预测响应要解决的相关问题

  若利用方程来预测，随之而来就会想到如下的问题：

1.     方程是怎么得来的？

2.     方程在什么条件下可用？

3.     方程中的 如何确定？

4.     方程的激励力 如何确定？

5.     如何解这个方程来实现预测？

6.     方程的解具有什么特点？是否能反映实际现象的特征？

7.     若系统中有更多的质量块和弹簧，比如图 1?4的系统，又将如何处理？

1.2.2.  简明的回答与本书的安排

问题1的答案将构成了本书第2章和第3章的基本内容，我们将会系统介绍建立方程的常用方法，这里暂且跳过。

问题2的回答相当重要。根据本书的第2章和第3章的学习，我们将会知道方程成立的充分条件是单自由度线性系统。这个陈述有两层含义。第一层含义是实际系统并非是理想线性，采用线性模型是对实际问题简化分析不得不采取的手段。方程正确的前提是完美的单自由度线性模型。如果这个模型不能够反映真实的情况，那么就不能保证方程的预测准确性。

第二层含义是拓展方程的适用对象。该方程是图 1?3模型的精确描述，但它同样可刻画简单的谐振电路，只是方程中参数和预测对象的物理意义有差异。除了上述弹簧-质量系统和简单电路，正如前面谈到的振动统一性，很多现象都是广义形式的振动，也都可以用该方程来近似描述。

科学研究中遇到新问题时，总是先自然而然地将简单的、熟悉的模型和机制套用或拓展过来。如果发现已有理论的预测结果不能很好地解释新问题的现象，那么就会对已有理论进行缝缝补补式的修正，如果这种修正仍不可行，则另起炉灶建立新的理论。方程确实能够预测和解释很多领域的现象。即使是非线性振动，只要研究对象的振动幅度足够小，那么方程的精度在理论上也是有保证的。但是如果超出适用前提，即使看起来简单的系统，方程的预测结果都有可能不可信(更不用说人类社会这种巨复杂系统)。

问题3的答案是技术问题，这将在第2章和第3章讨论。正如前文所说的统一性，许多形状各异的机械系统(比如图 1?5杆的摆动)都可以用方程来刻画，但这里并没有图 1?3中的弹簧和集中质量块。因此若用方程来描述，则其中的参数必然是等效的概念。这就要解决如何等效的问题，操作上就是确定方程的等效参数。对其它领域更复杂的系统，确定等效参数需要特殊的技巧。

问题4的回答，就是前面提到的振动环境识别问题，这需要通过实验解决。在本书中，总是假定它是已知的。

问题5的答案是求解方程。 微分方程理论已经系统地建立了该类方程的求解方法。求解的难度依赖于激励的复杂程度。与振动理论密切相关的解法将在第2章和第3章介绍。

问题6要回答 的特性。它显然既与系统的 有关，又受到激励 的影响。最简单的情形是 ，这就是自由振动。为方便描述这种自由振动，要引入相应的参数，如固有频率和阻尼比等。 的最重要情形是简谐激励，它可引起共振现象。方程的齐次解和共振解对应了物理上两个重要的现象:自由振动和共振。

问题7的背景是图 1?4的模型。这个模型无法等效成图 1?3的单个质量-弹簧-阻尼模型。刻画系统状态需要所有质量块的信息，即必须用由 个时间函数构成的函数向量 来刻画， 相当于第 个质量块的位移。相应地，方程要扩展成如下的微分方程组的形式

                                                                   

这里三个 矩阵 分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。 是作用在系统上的 激励力向量。

用方程组来预测，同样需要回答前面提出的6个问题。本书的第4和5章将系统地回答问题1，2，5和6。问题3和4就是前面提到的系统识别和振动环境预测两个问题，它们非常重要，但是超出了本书的范围，这需要在后续课程《模态分析》中深入学习。用方程组来预测，本书第5章将介绍 相对较小情形的模态叠加法。对 很大的情形，需采用数值方法解方程组，应参考相关专著。

寻找多自由度系统的共振频率要比单自由度系统情形复杂得多，且多自由度情形固有特性还包括振型。多自由度系统的固有频率和振型问题相当于数学的特征值。本书的第6章将系统介绍适用于振动分析的特征值方法。

实际上，有些问题用仍无法精确地刻画，比如细弦的振动，描述系统的状态需要弦上连续点的信息。对这种连续体的振动分析将是第7章的中心内容。

 

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[①]参考:T Womelsdorf, JM Schoffelen, R Oostenveld, et al. Modulation of Neuronal Interactions through Neuronal Synchronization. Science, 2007, 316(5831):1609 - 1612

[②]参考:CM McClung. Plant Circadian Rhythms. The Plant Cell. 2006,18(4):792-803

[③]见L Gross. Membrane Oscillations Keep Neurons on the Right Track. PLoS Biol 2006,4(6): e191-e192

[④]见NH Evans, MR McAinsh and AM Hetherington. Calcium oscillations in higher plants. Current Opinion in Plant Biology. 2001, 4(5):415-420; Models for oscillations in plants. Australian Journal of Plant Physiology. 2001, 28 (7):577-590

[⑤] D Green and WG. Unruh. The failure of the Tacoma Bridge: A physical model. American Journal of Physics 2006, 74(8):706-716

[⑥] C Rubin, AS Turner, S Bain, et al. Anabolism: Low mechanical signals strengthen long bones. Nature 2001,(412):603-604

[⑦]闻邦椿，李以农，张义民等. 振动利用工程. 北京:科学出版社. 2005

[⑧]见王书茂, 焦群英, 籍俊杰. 西瓜成熟度无损检验的冲击振动方法. 农业工程学报. 1999,15(3):241-245

[⑨]参考: SW Doebling, CR Farrar, MB Prime. A summary review of vibration-based damage identification methods. The Shock and Vibration Digest. 1998, 30(2):91-105; Y Zou, L Tong L, GP Steven. Vibration-based model-dependent damage (delamination) identification and health monitoring for composite structures - A review. Journal of Sound & Vibration. 2000, 230(2): 357-378

[⑩]胡海岩,对振动学及其发展的美学思考.振动工程学报. 2000, 13(2): 161~169

[11]参考: JD Farmer, S Joshi. The price dynamics of common trading strategies. Journal of Economic Behavior & Organization. 2002, 49(2):149–171

[12]郝伯林. 从抛物线谈起--混沌动力学引论. 上海: 上海科技教育出版社.1995

[13]见 J Vandermeer. Oscillating Populations and Biodiversity Maintenance. BioScience. 2006, 56(12): 967-975; J Huisman, FJ Weissing. Biodiversity of plankton by species oscillations and chaos. Nature.1999, 402(6760):407–410

[14]参考：T Yamashita, Y Itoh. The oscillation of stock price by majority orienting traders with investment position. Physica A . 2007, 374 (2):764–772

[15] ACL Chian, EL Rempel, C Rogers. Complex economic dynamics: Chaotic saddle, crisis and intermittency. Chaos, Solitons and Fractals. 2006, 29 (5) 1194–1218

[16] P Turchin, A Korotayev. Population dynamics and internal warfare: a reconsideration. Social Evolution and History, 2006

[17] T Gross. Generalized models as a universal approach to the analysis of nonlinear dynamical systems. Physical Review E. 2006, 73(1): 1:14

[18] 机制和表观(或行为)是分层的。在某个层次上为机制的东西，可能是更深层次的表观，而本层认为是表观的现象很有可能是更直观层面的机制。

[19]如果无法精细地控制实验条件，比如某些自然现象, 就需要大量和长期的观察和记录，从中挑出尽量符合的原始状态和外部动态因素的事件，就这些符合条件事件的表观特性来做检验。