内容丰富的多分散沉降

《创新话旧》第4章（5）

 

 

温景嵩

南开大学 西南村 69楼 1门 401号

（2007年11月3日 于南开园）

 

 

 

 

 

4．3．3 揭开多分散沉降神秘面纱

 

经历了两年时间，在巴切勒领导下，在剑桥由4个人组成的两个小组通力合作终于揭开了多分散沉降神秘面纱，向世人展示出她复杂内容的全貌。如果从1976年巴切勒第一次正式探讨多分散沉降理论的工作算起，则经历了更长，共6年时间。本节将对这个复杂理论的全貌予以介绍。在介绍之前，有必要先把悬浮粒子大小比l与粒子密度和介质密度差比g的更为精确的定义和特征给以解释。

 

4．3．3．1 两个十分重要的参数l和g

 

前面曾提到l是四周粒子和参考粒子的大小比。因为是稀释体系，所以这里的四周粒子仅仅指一个离参考粒子最近的粒子。即j粒子。它的半径是a_j 密度是r_j 。同样，参考粒子即i粒子。它的半径是a_i， 密度是r_i, 此时粒子大小比l就是a_j比上a_i。 很明显参数l始终为正，最小值是0。此时，a_j趋于0。（注意：不包括a_i趋于无穷大，虽然此时l也趋于0，但那将超出低雷诺数流动的范围，所以不能允许a_i趋于无穷大）。参数l最大值为无穷大，此时i粒子半径是a_i 趋于0（注意：同上理由，此处不包括a_j趋于无穷大，虽然此时l也会趋于无穷大，但那同样会超出低雷诺数流的范围）。

前面还曾讲到g是四周粒子密度和介质密度r的差与参考粒子密度和介质密度r之差的比。在稀释体系条件下，g 就等于(r_j－r)比上(r_I－r)。与l不同，此处g的值可正可负。当（i, j）两粒子间仅有一个是轻粒子，（或者r_j<r,或者r_i<r）, 而另一个粒子是重粒子时（或者r_j>r,或者r_i>r）这时g就小于0,为负。在重力的作用下,轻粒子将会上升,而重粒子则相反作下沉运动，所以这是描述浮力状况的参数。另一方面，当（i ,j）两粒子均为轻粒子，它们的密度均比介质的密度小，或者当(i ,j)粒子均为重粒子，它们的密度均比介质密度大，此时，g为正，在重力的作用下，它们都作上升运动，或者相反都作下沉运动。最后，当j粒子是中性粒子，它的密度与介质密度r相同时，此时g为0，在重力的作用下，j粒子和介质之间不产生任何相对运动，既不下沉也不上升。（注意：当i粒子是超重型粒子，(r_i－r)趋于无穷大时，g也为0。但是，由于同样理由，我们也要排除i粒子是超重型的情况）。

讲清楚l，g两参数的严格定义和它们的量值特点后，现在可进一步看清1972年巴切勒单分散沉降理论和1982年通过他领导下的4人集体所完成的多分散沉降理论两者之间的巨大差异和两者的联系。对于1972年单分散体系而言，它仅弄清楚了在（l ，g）平面上一个点（l＝1，g＝1）的沉降系数S_ij。而现在，在多分散条件下，它是弄清楚了（l ，g）平面中的半无界平面（（0£l£¥ ，－¥£g£＋¥），它由无穷多个（l ，g）点组成）上沉降系数S_ij的若干个曲面。巴切勒在这个半无界面上选了90 个点，来分别描述高皮克列特数和低皮克列特数条件下的沉降系数S_ij。显然这时的S_ij就是两个无穷多的S_ij所构成的两个曲面。（这两个S_ij曲面现在由两组90个代表点所确定），显然，多分散沉降比单分散沉降复杂得多。以下我们将分别介绍从这两个曲面看到的多分散沉降的一些特征。

 

 

4．3．3．2 高皮克列特数下的多分散沉降系数S_ij特征

 

用l坐标轴上的l®0，l＝1/4, l＝1/2, l＝1,  l＝2, l＝4 的6个截面和高皮克列特数下的S_ij的曲面相交,就可以得到6条S_ij(g)的曲线。这6条S_ij(g)曲线表示出以下4个特征。

（1）     除去l®0，l＝1所确定下来的两条S_ij(g)的曲线和g成线性关系外，其他的S_ij(g)与g均成非线性关系。这是由于当l®0，和l＝1时，粒子统计对分布函数p_ij 和g无关，而 其他条件下，粒子统计对分布函数p_ij都和g有关。

（2）     虽然一般条件下S_ij(g)与g的关系非常复杂，但当g®0时，大家都趋于同一个极限值S_ij＝－2.5，在这种情况下，当l®0时，S_ij严格地为－2.5，当l不为0时，S_ij与－2.5有区别，但区别不大。这个结论和爱因斯坦在20世纪初得到的悬浮体的有效粘性系数理论一致。 因为，当g＝0时，j 粒子为中性粒子，在重力的作用下，不会和介质产生相对运动，它和i粒子之间就不会有流体动力相互作用。此外，当l®0时， j粒子又不会对i粒子作用力产生反作用力。于是此时j 粒子的影响就仅仅表现为增加了悬浮体的动能耗散率，因而作为一个均质体系，它的有效粘性系数就应增加。爱因斯坦的悬浮体有效粘性系数理论已指明粘性系数的增加量和粒子体积浓度j成正比，比例系数是＋2.5。因此，在这样的均质体系中沉降的i粒子，它的沉降速度应减少，减少的量就应是2.5j，这和我们现在得到的 S_ij＝－2.5一致。另外，当l>0时，j粒子对i粒子的作用力应该会产生反射作用。因此，它和l＝0时的S_ij＝－2.5有区别，但我们的计算表明，反射作用引起的效应不大，因此沉降系数S_ij的值就与－2.5相近。

（3）从6条S_ij曲线中显示出的第三个特征十分有趣。就是在多分散条件下，S_ij有可能为正。这意味着即使是在有界空间中的平均沉降速度，也不总是阻滞沉降，比孤粒子斯托克斯沉降速度为小。恰恰相反，在g<0的条件下,S_ij就有可能大于0,平均沉降速度就有可能比斯托克斯孤粒子的为大。就好像和无界空间中的沉降一样,是增速沉降。但两者原因不同,在无界空间中粒子云沉降增速是由于那里没有反向补偿流,而在这里有界空间,恰恰是因为,有反向补偿流存在。在g<0的条件下，i粒子和j粒子中必有一个是轻粒子，一个是重粒子，在重力的作用下它们运动方向相反，一个向上，一个向下，两者都会引起反向补偿流，所谓反向，就是和本身运动方向相反。它当然就应和另外一个粒子运动方向相同，起增速作用了。这是一个很有意思的结果。目前的实验工作都在g>0条件下进行 ，所以还没有人测到这种增速沉降的现象。但我们相信，一旦实验工作能够克服g<0条件下测量的困难，就一定可测到S_ij>0的情况。这种情况在单分散沉降中则不可能发生，因为在那里g＝1，它是正的 ，不可能有增速沉降发生。

（4）       巴切勒1972年单分散硬球沉降理论，所算得的沉降系数S_ij是－6.55，比一般非硬球单分散沉降实测沉降系数值为小。在1982年多分散硬球沉降理论所算得的沉降系数S_ij出现了更小的情况，例如在l＝2，g＝2.25的情况下，S_ij可以小到接近－14的量值，比1972年的单分散理论值还要小2倍。这是因为l很大，g也很大时，反向补偿流可以远大于单分散的情况。

 

 

4．3．3．3 低皮克列特数下的多分散沉降系数S_ij特征

 

（1）       由于低皮克列特数条件下，弱重力对平衡态的分布仅仅起微扰作用，所以，对分布p_ij和沉降系数S_ij都应该与g成线性分布。情况就比高皮克列特数条件下简单得多，只用g的一个线性关系计算公式就可解决任何l下的问题，只不过这里线性计算公式中的斜率与截距都是l的 函数。我们已通过计算，在l从1/8到8之间选9个点，把斜率和截距与l关系的变化曲线给出，于是利用这两个曲线，可以把l在1/8到8之间中全部g的变化范围内之沉降系数算得。

（2）       由于在l®0，和l®∞时，已经证明此时的对分布p_ij应趋于1的极限，而与g无关，也与皮克列特数大小无关。因此存在着两个l®0，和l®∞时的沉降系数S_ij与g的线性渐近线，这两个渐近线是普适的对任何皮克列特数均适用。因此，可以得到一个线性的经验公式来计算低皮克列特数条件下的全部沉降系数S_ij。这个经验公式，有足够的精度适用于（l，g）半无界平面上所有点。（0≦l≦∞，－∞≦g≦＋∞）。

（3）       从上面的经验公式马上可以看到，在低皮克列特数范围，当g为负值时，也存在一个增速区域，在那里所有的沉降系数S_ij不再为负，而取正值，原来的阻滞沉降转化为增速沉降，而这又是单分散沉降所不可能。在单分散沉降中，多粒子作用下的平均沉降永远比斯托克斯孤粒子沉降速度为小，阻滞沉降是唯一状态。

 

 

 

4．3．3．4 高和低皮克列特数下的沉降系数S_ij之间的比较

 

从前两节的特征可以看出，高低两种皮克列特数下沉降系数S_ij有许多不同。现在要进一步比较这两种条件下S_ij的量值大小。S_ij受l和g两个参数的影响。这里我们取g＝1，只对不同l下的S_ij进行比较。从中发现不管此时l取何值，高皮克列特数下的沉降系数S_ij永远比低皮克列特数下的S_ij为大。把两种情况下的对分布函数p_ij和无量纲的两粒子中心距离s的关系点出图来，则可以看到高皮克列特数条件下的对分布p_ij。在碰撞面上（s=2）是一奇点，也就是说，当重力对流起支配作用时，它有一种堆积效应，可以把j粒子从无穷远处输送到i粒子的邻域，在i粒子的邻域堆积起来。此时j粒子在重力的作用下下沉会拖带其邻域的介质一起下沉，因而对在其邻域的i粒子处产生了一个下沉的背景流场。由此自然会增加i粒子的沉降速度。这种作用就是j粒子对i粒子直接的局地的流体动力相互作用。这种局地的相互作用和上面多次提到的j粒子的总体的流体动力相互作用完全相反，在那里它的具体表现形式是反向补偿流，由此自然会减少i粒子的沉降速度。而对于低皮克列特数下的对分布p_ij，显然就是均匀分布其归一化值恒为1，远远小于高皮克列特数下碰撞面上的奇点值。显然，当布朗扩散起支配作用时，它就可光滑掉曾在高皮克列特数时存在过的那个奇点，把j粒子从i粒子邻域推向无穷远处，因而大大降低了j粒子对i粒子的直接的局地的流体动力相互作用，降低了i粒子的沉降速度，它的沉降系数S_ij自然应该比高皮克列特数下的小。于是从高低两种皮克列特数下沉降系数量值的比较，我们看到了与总体相互作用的反向补偿流完全相反的，局地的直接的流体动力相互作用。这种作用是正的增速作用。

 

 

 

4．3．3．5 对分布p_ij和沉降系数S_ij极限不唯一

 

描述粒子对统计对分布方程的参数一共有三个，即l，g和D_ij ⁽⁰⁾。其中第三个参数是两粒子相距无穷远时相对布朗扩散系数。这三个参数的极限值分别是1，1，0。 在处理完单分散与多分散，高皮克列特数与低皮克列特数沉降以后，我们还发现一个有趣的现象，对这个多极值的问题，对分布函数p_i的解并不唯一。相应的沉降系数S_ij也不唯一，一切取决于这三个参数趋于它们的各自极限值的快慢。如果l→1，g→1，在先，而布朗扩散系数D_ij ⁽⁰⁾趋于0在后，这就是1972年巴切勒自己处理过的单分散悬浮体，对分布为均匀分布归一化后的数值恒为1，此时它的沉降系数S_ij最小，为－6.55。反过来，如果D_ij ⁽⁰⁾ →0在先，就是我们1982年得到的多分散高皮克列特数下的悬浮体，它的对分布p_ij在s=2的碰撞面上有一个奇点，重力对流可把j粒子从无穷远处堆积到i粒子邻域，沉降系数S_ij也就比单分散为大。其中又分两种情况，当g→1在先，l→1在后时，对分布p_ij趋于无穷速度慢一些，沉降系数S_ij较前小些，但仍比单分散为大量值为－5.12。反之，当l→1在先，而g→1在后时，对分布p_ij趋于无穷的速度快一些，沉降系数S_ij最大，是－2.65。

这个新发现对单分散沉降实验工作提出了相当苛刻的要求。因为粒子的皮克列特数大小和它的半径的4次方成正比，非常敏感。可以证明对水溶胶系统而言，若单分散粒子的半径，在制备时存在10％的误差，则半径分别为1，2，3微米时，各自的皮克列特数已是1.6，25.6和129.6。显然，这不但不是单分散的0皮克列特数，而实际上是多分散的高皮克列特数，自然对这种悬浮体，所测出的沉降系数S_ij必然会比巴切勒1972年理论值－6.55为大。因此对单分散实验系统中粒子半径制备的误差应要求更高，应该使之达到千分之一，甚至万分之一才可以算是真正的单分散系统，否则测出的数据就不再能代表单分散体系。

 

 

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