一个规则扰动问题

《创新话旧》第3章（3）

 

温景嵩

南开大学 西南村 69楼 1门 401号

（2007年11月2日于南开园）

 

 

 

 

 

3．3  强重力和弱布朗耦合碰并

 

3．3．1 一个规则扰动问题

 

不难看出，在高皮克列特数条件下，弱布朗和强重力耦合碰并问题，与前一节低皮克列特数弱重力和强布朗的耦合碰并问题不同。前者不再是奇异扰动问题，而是规则扰动问题。第二章已经表明当皮克列特数远大于1 时，弱布朗运动作为一级近似当然可以忽略。而 在内域，在边界层中布朗运动是趋于0的小量。对比边界层中另一个趋于无穷大的范德瓦尔斯分子引力项，它当然又可忽略。于是忽略了布朗运动以后得到一级近似解，不管在外域，也不管在内域边界层中均能适用，没有必要在内域边界层再建立起另外一套方程来描述布朗运动的贡献，显然这是规则扰动问题。

 

3．3．2 规则扰动的特点

 

规则扰动方法较之奇异扰动方法简单得多。从上面分析中已经知道，它只要一个展式就能够解决问题。第二个特点是微扰参数（现在是皮克列特数的倒数）的幂次很简单都是整数幂（现在则是皮克列特数的-1，-2，…次幂）而不可能出现分数幂或对数幂。于是就有第三个特点，它的各级扰动方程可以一次写出，而不再像奇异扰动方法那样要逐级逼近。我导出了这些扰动方程，并给出了相应的边界条件，交给我在南开的第二个研究生张力去计算。我告诉他，只求出两项展式即可，第一项也不必求了，它就是我们在第二章中得到的重力碰并的解析解。根据情况判断此时不再可能求出第二项的解析解，二级近似需使用求数值解方法才能得到。第二项表示了弱布朗运动对重力碰并修正的主导项，后续项是使之更为精确的高级小量，不会影响到第二项所决定的大局。加之，我们也没有发现曾有人作过这种两项展式的工作。所以我对张力说，只计算到第二项就可以。张力很顺利地计算出第二项来，完成了他的学位论文。我把他的计算再次报送到巴切勒的《JFM》上去，但这次没有成功，可能是这论文在数学上比较简单，没有涉及到高超的数学技巧。但物理上这结果却很有意义，他建议我改投美国的《JCIS》(《胶体和界面科学杂志(J.Colloid and Interface Sci.) 》的缩写)。巴切勒对我说，每一个学科都有自己的世界第一流的刊物，《JFM》是流体力学的世界一流刊物。而《JCIS》是胶体科学世界第一流刊物，在胶体世界也有很大影响。这结果对胶体科学很有意义，应该能够在《JCIS》上发表。巴切勒还说连他自己都不是每篇工作都要在《JFM》上发表。他举例说，他和中国科学院力学所的一位朋友合作完成的论文，也是在《JCIS》上发表，并没有交给《JFM》。我改投《JCIS》后，得到了那个刊物的肯定，文章终于在1991年的《JCIS》上发表。张力是1989年毕业的，文章的发表也经历了两年时间，其原因就因为有上面讲的这一段曲折。此后，只要没有在数学上表现出高超技巧，但在物理上对胶体科学有意义的论文，我们就直接投《JCIS》等胶体科学刊物。至于张力工作的重要意义何在，我们将在下一节中介绍。

 

3．3．3  弗瑞德兰德假设的又一次失败

 

张力的工作表明，弱布朗运动对重力碰并的效应为负。和弗瑞德兰德可加性假设完全相反，弱布朗运动加进来后，不但不会像可加性假设那样，增加重力碰并率，反而会降低重力碰并率。进一步分析表明，当忽略布朗运动时j粒子在上游有一浓度极大区，在下游浓度有一极小区，这样当弱布朗加进来后，它将按照布朗扩散的原理，调整这一分布，把j粒子从上游的浓度极大区沿流线输送到下游浓度极小区。另一方面重力在上游和在下游对碰并效应相反，上游为正，它是使j粒子和参考i粒子相碰而被捕获的动因。下游为负，重力会把j粒子席卷而去，远离开参考i粒子，而不会被i粒子所捕获。所以弱布朗运动把j粒子从上游浓度极大区输送到下游浓度极小区的后果应为负，从而降低了j粒子和i粒子之间的重力碰并率。 很明显，在这种情况下，弱布朗和强重力对碰并的效应也是非线性地耦合在一起，而不像可加性假设的那样，它们的效应竟会是彼此相互独立，各碰各的。在这里可加性假设仍然没有根据，弗瑞德兰德假设遭到又一次的失败。

以上结果定性地与费克和肖瓦尔特1983年研究强背景流场和弱布朗运动耦合碰并的一致，他们也使用规则扰动法求出两项展式。他们研究了两种背景流场：一种是剪切流场，一种是轴对称纯变形流场。两种情况下，弱布朗运动的效应均为负，其原因也都相同。都是在忽略布朗运动后，在上游j粒子有一浓度极大区，在下游j粒子有一浓度极小区，弱布朗加进来后也都会把j粒子沿流线从上游极大区，通过布朗扩散输送到下游极小区，在那里j粒子也是被下游流场挟卷而去，不会被i粒子所捕获。这再次证明两种运动并存时，它们对碰并的效应非线性地耦合在一起，并不彼此独立各碰各的，可加性假设没有理论根据。

 

 

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