1990年代，一个革命性的理论框架出现了，将热力学扩展到小系统——其中涨落不可忽略，传统宏观定律失效。这就是随机热力学（Stochastic Thermodynamics）。

    传统热力学描述系综平均（Ensemble Averages），适用于大量粒子。随机热力学追踪单个轨迹（Individual Trajectories），定义轨迹层面的热力学量：

• 随机熵产生（Stochastic Entropy Production）：，其中 q 是轨迹的热交换；

• 随机功（Stochastic Work）：，其中 e 是轨迹的能量；

• 随机自由能变化：。

    这些量 fluctuate  around  their  ensemble  averages，但满足精确的等式关系——涨落定理（Fluctuation Theorems）。

    积分涨落定理（Integral Fluctuation Theorem, Seifert 2005）：

其中 ⟨⋅⟩ 表示对所有轨迹的平均。由Jensen不等式，这 implies：

这就是第二定律——但现在是轨迹层面的统计陈述，而非宏观定律。

     详细涨落定理（Detailed Fluctuation Theorem）：

这给出了负熵产生（违背第二定律）的概率：虽然罕见，但可能。对于小系统，"违背"第二定律的轨迹并非不可能，只是指数 unlikely。

    1997年，Christopher Jarzynski发现了一个惊人的等式：

其中 w 是非平衡过程的功，ΔF 是平衡自由能变化。这意味着：即使过程远离平衡，通过测量功的分布，也能提取平衡热力学量。

    Jarzynski等式已被实验验证，用于测量生物分子的自由能景观（如RNA折叠、蛋白质展开）。

    2008年，佐川敏郎（Takahiro Sagawa）和上田正仁（Masahito Ueda）将随机热力学扩展到反馈控制系统，建立了信息热力学（Information Thermodynamics）。

    对于包含反馈的系统，第二定律被推广为：

其中 I 是反馈信息（互信息）。负号表示：信息获取可以补偿熵增，但不超过信息本身的热力学价值​I 。

    更精确的界限是信息-熵不等式：

这统一了：

• 无反馈（I=0）：恢复标准第二定律；

• 完美反馈（I→∞）：原则上可以逆转任何过程；

• 麦克斯韦妖（第十五章）：信息补偿熵减。

    信息热力学也推广了涨落定理。Sagawa-Ueda涨落定理：

其中 i 是随机互信息（Stochastic Mutual Information），轨迹层面的信息获取。这 implies：

恢复广义第二定律。

    活性物质（Active Matter）是远离平衡系统的典范，其中个体消耗能量自我推进。例子包括：

• 生物系统：细菌、细胞、鱼群、鸟群；

• 合成系统：自驱动胶体、微机器人。

    活性物质挑战传统热力学，因为它持续违反细致平衡（Detailed Balance）——即使在没有宏观梯度的情况下，也存在定向流。

    2025年的研究建立了活性物质的热力学框架：

• 游泳压力（Swim Pressure）：自驱动粒子对容器的压力，源于与环境的动量交换；

• 非平衡化学势：可以定义，但与平衡化学势不同，依赖于活动性；

• 熵产生分解：总熵产生分为"家务"部分（维持稳态）和"超额"部分（驱动有序）。

    活性物质不仅是能量驱动的，也是信息驱动的：

• 信号传导：细菌通过化学信号协调行为；

• 群体感应（Quorum Sensing）：细胞密度影响基因表达；

• 集体计算：蚁群、鱼群通过局部互动解决复杂问题。

    这提示活性物质是信息热力学的自然实现——能量、信息、物质的统一。

    第九章讨论了自适应临界性（Adaptive Criticality）。从热力学视角，临界性是非平衡稳态的特殊类型，其中：

• 熵产生率不是最小，而是最优；

• 信息产生率最大化；

• 耗散结构最复杂。

    临界系统的热力学特征：

• 1/f噪声：功率谱，暗示所有时间尺度都有活动；

• 长程关联：关联长度发散，导致非广延熵；

• 涨落-耗散关系破坏：平衡关系失效，需用非平衡涨落-耗散定理。

    自适应系统调节自身参数，维持在临界点附近：

• 反馈增益：根据环境调整响应强度；

• 探索-利用权衡：高熵产生（探索）与低熵产生（利用）之间的平衡；

• 学习作为熵产生：更新内部模型产生不可逆熵。

     这与自由能原理（第十八章）一致：系统最小化变分自由能，等价于最大化证据，同时最小化复杂性。

     从"活性算法"的框架看，信息热力学提供了自由能原理的微观基础。

     定义随机自由能：

其中 e 是能量，s 是随机熵。Jarzynski等式可以重写为：

这暗示：自由能是轨迹层面的势函数，系统趋向最小化它。

     互信息 I 可以视为相关性的自由能成本。在信息热力学中：

信息获取降低总自由能，但信息擦除增加自由能（兰道尔原理）。

     主动推断（Active Inference）是自由能原理的动力学实现。从随机热力学视角：

• 感知：测量环境，获取信息，降低不确定性（熵减）；

• 行动：改变环境，使预测成真，降低自由能；

• 学习：更新模型参数，优化长期自由能。

     这对应于信息热力学循环：

1. 测量：信息获取，

2. 反馈：利用信息做功，；

3. 耗散：向环境输出熵，；

4. 擦除：复位记忆，。

    活性物质是活性算法的物理实现：

• 粒子 = 推断者：每个自驱动粒子根据局部信息行动；

• 相互作用 = 信息交换：碰撞、化学信号、视觉线索；

• 集体行为 = 涌现推断：群体作为整体解决优化问题。

    例如，细菌群落的趋化性（Chemotaxis）可以建模为梯度下降：每个细菌估计营养浓度梯度，调整运动方向，集体找到最优路径。

     信息热力学提供了一个统一框架，涵盖从平衡到自适应的所有系统：

表格 复制

系统类型         特征              热力学描述

     量子系统的信息热力学正在快速发展：

• 量子测量的熵成本；

• 量子纠缠作为热力学资源；

• 量子热机的效率极限。

      2024-2025年的研究表明，量子涨落定理与量子信息论结合，为量子计算和量子生物学的热力学提供了新工具。

      细胞是信息热力学的杰作：

• 基因调控网络：信息处理与能量耗散的权衡；

• 信号转导：噪声、增益、适应性的热力学极限；

• 进化：种群作为信息处理系统，自然选择作为学习算法。

      大语言模型等AI系统的能耗日益增长。信息热力学提供了设计原则：

• 最优编码：最小化信息传输的能量成本；

• 高效学习：平衡探索（高熵）与利用（低熵）；

• 可持续计算：考虑热力学限制的算法设计。

      信息热力学教会我们，信息不是抽象的，而是物理的；能量不是盲目的，而是信息的载体；生命不是偶然的，而是热力学必然的。

      从麦克斯韦妖到随机热力学，从活性物质到自适应临界性，我们看到统一的主题：系统通过信息获取降低不确定性，通过能量耗散维持秩序，通过学习适应环境。

      从活性算法的视角，信息热力学是自由能原理的微观实现。它表明，最优的认知系统不是追求完美的预测，而是在不确定性中舞蹈，在信息与熵的权衡中寻找最优，在有限中触摸无限。

      请记住信息热力学的教训：最伟大的智慧在于知道知识的代价，最伟大的力量在于与不确定性共舞，最伟大的美丽在于从混沌中创造秩序。