量子力学的基本研究对象之一，就是简谐振子，它广泛的存在于各种研究问题之中。 特别是在量子场论中，可以说简谐振子是最基础的那一部分。

    在前边的量子一维简谐振子的能量本征值中，我们看到了，这个结果是极其有序的。E_n=(n+1/2)hω/2π。这个结果，能看到，是彼此等间距的。

    在量子力学中，所有的能量本征值，构成了能谱。这是实验上最重要的观测量之一。如果我们了解一个量子系统，通过一次量子化得到能谱，就可以让实验证实。结果发现，理论和实验是一致的，以此来证实理论的正确性。（不信的人，可以自己做实验）如果一个量子系统不是很了解（有的时候可能研究者会觉得自己了解），那么我们就需要从实验的能谱中，来猜测系统的哈密顿量应该包括什么，这就变成了一个非常有趣的问题。核结构就是这样的一个研究领域。

    简谐振子，在能谱中，就是一个奇特的分水岭。如果我们把各种能谱放在一起，那么会有各种可能，能谱之间的大小会出现各种变化，而简谐振子的能谱，毫无疑问是最简单的那一种。分析能谱的分布特征，就是量子混沌的研究领域。

    在前边讨论本征方程的时候，物理量做了替换，变成了算符。但是我们会发现，这个替换，还可以进一步操作，我们经常叫二次量子化。在当前的量子领域的研究中，我们几乎都用的是这种二次量子化的形式。

    所以这个替换，是量子力学中的一个关键关系式，揭示了量子世界一些根本性的特征。任何一个一次量子化后的哈密顿量，都可以继续做二次量子化，得到的本征值都是一样的。这个问题，会在后边继续讨论。

    量子一维简谐振子的哈密顿量，在这种变化后，会变成一个非常简单的形式

以前是两部分，通过变换后，就成了一部分。

    这个变换本身，就是能量量子化的关键。为什么会这样，在于前边所说的，一维简谐振子的哈密顿量，是两个平方项的形式，可以写成圆方程的形式，也可以用复数来表示。也就是说，能量的大小，决定了圆的大小，和复数的大小。这个大小才是最重要的。

    这个哈密顿量和本征值如果一对比，就会很容易的看到，里边的算符部分，给出了本征值的量子数n。

    我们解释一下。a⁺被称为能量子产生算符，a被称为能量子的湮灭算符。我们立刻获得一个理解的新图景。这是一个犹如魔法的变化过程，也是量子力学中最诱人最不可思议的过程。因为这个变换非常简单，但是一次量子化给出来的物理图像，和二次量子化的图像非常不一样。

   可以说，一个小小的变化，让一个世界变成了另一个世界。（这也是为什么海森堡和薛定谔刚开始互相看不惯的原因，因为理论看起来太不一样了）从一次量子化，到二次量子化，就是从波动性，到粒子性的变化。实际上根本没有区别，是同一个东西。

    通过量子一维简谐振子的本征值我们就可以看到，如果拿掉最小的能量，那个1/2hω/2π，剩下的能量值，都是hω/2π的整数倍。

    这个hω/2π其实就是普朗克、爱因斯坦和德布罗意引入的能量量子化条件。

    也就是，一个量子简谐振子的本征态，可以看成是n个能量量子，在这里我们可以把能量量子称为声子，所以有n个声子。量子数为n的本征态ψ_n(x)，就是n声子态。

    所以很多人都很好奇，能量子是什么？其实，就是二次量子化后出现的东西。你说它究竟是什么？这是一个没有意义的问题。