科学网-利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第二部分-例证-邹铁枫的博文

利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第二部分-例证

2025-7-2 08:55

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On the exponential stability and instability analyses of switchedsecond- and higher-order linear systems via a novel application ofdifferential inequalities: part 2 (Illustrations)

(利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第二部分-例证)

切换线性动态系统，无论是连续的还是离散的，因其广泛应用，三十多年来一直是研究热点之一。显然，研究它们的稳定性和不稳定性条件至关重要。本文是往期文章“利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第一部分-理论”的后续内容，将利用一系列例子说明第一部分所提出理论的有效性。

On the exponential stability and instability analyses of switched second- and higher-order linear systems via a novel application of differential inequalities: part 2 (illustrations)利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第二部分-例证

Y. V. Venkatesh1,2

机构：1Indian Institute of Science(印度)；2 National University of Singapore(新加坡)

引用：Venkatesh, Y.V. On the exponential stability and instability analyses of switched second- and higher-order linear systems via a novel application of differential inequalities: part 2 (illustrations). Control Theory Technol. (2025).https://doi.org/10.1007/s11768-025-00246-w

全文链接：https://rdcu.be/ethRm

摘要

本文将第一部分的指数稳定性和不稳定性(ESI)定理1-4应用于具有不同特征值结构的二阶和三阶线性切换系统中，以证明新理论结果的通用性、新颖性和优越性(优于文献中的许多结果，特别是对于二阶切换线性系统)。参考三阶系统采用的计算过程是通用的，因为它适用于更高阶(即大于三阶)的线性切换系统。还提供了用于计算机实现稳定性/不稳定性条件的伪代码。为了便于独立阅读本文第二部分，重复了第一部分的一些关键数学符号、定义和结果，从而使内容尽可能独立。

引言

简要回顾一下，第一部分提出了一种新的微分不等式应用，该不等式是在扩展的李雅普诺夫框架中生成的，用于推导一类具有任意数量切换矩阵的切换连续时间二阶及高阶线性系统的指数稳定性和不稳定性条件。这样获得的ESI条件涉及矩阵某些二次型比率的上确界和下确界，从而得到其活动间隔的全局时间平均值。所提出的框架被推广用于建立ESI条件，该条件既包括矩阵的运行间隔，也包括它们的切换速率，后者由切换引起的不连续性归一化幅度的某个对数度量控制。实际上，(新的、全局平均的)驻留时间可在部分与特征值相关的特定条件下灵活地与基于切换不连续性的条件进行切换。研究还表明，对于二阶矩阵，可选择相空间中的切换线进行周期性切换，以镇定或非镇定系统，甚至产生振荡，具体取决于系统矩阵的特征值。但对于三阶(及更高阶)矩阵，这种易于解析处理(且可控)的周期性切换需要一个显式非凸多参数优化问题的(非唯一)解，可调用文献中的随机优化算法来解决。本文的例子中，还给出了系统方程解的下限和上限，以定量反映系统的稳定性/不稳定性/振荡性。本文的例子中，还给出了系统方程解的下限和上限，以定量反映系统的稳定性/不稳定性/振荡性。

结论

通过举例说明，将本文第一部分的指数稳定性和不稳定性(ESI)定理（定理1-4）应用于具有切换矩阵的二阶和三阶线性系统的数值示例，无需假设(i)它们的特征值结构；或(ii)交换性；或(iii)在非周期和周期切换下的共同Lyapunov函数的存在性。对于二阶系统，已经与文献的数值结果进行了严格的比较。结果表明，所提出的新定理虽然只提供了线性二阶、三阶和更高阶系统的ESI充分条件，但提供的ESI条件不仅在很大程度上与文献中关于二阶系统的结果相匹配，而且还阐明了(i) ESI的可能替代条件，(ii)取决于矩阵特征值的振荡新条件（对于二阶线性切换系统）。ESI条件通常与文献中的条件不同，可以视为对现有结论的补充。文中给出的三阶线性切换系统示例是新颖的。此外，本文还包含用于实现本文理论结果的伪代码。

作者介绍

Y. V. Venkatesh，获得了印度科学研究所(IISc) 的博士学位。他曾是德国卡尔斯鲁厄大学、弗莱堡大学和埃尔朗根大学的亚历山大·冯·洪堡研究员；马里兰州格林贝尔特戈达德太空飞行中心的美国国家研究委员会研究员；以及奥地利格拉茨工业大学数学研究所、新加坡国立大学等的客座教授。除了稳定性理论外，他的研究兴趣还包括3D计算机和机器人视觉、信号处理、模式识别、生物识别、高光谱图像分析、神经网络与人工智能。作为IISc的教授，他担任了工程学院院长，早期他曾担任电气科学部主席和电气工程系主任。他是印度科学院、印度国家科学院和印度国家工程院的院士。他曾是International Journal of Information Fusion的编委。

期刊简介

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Control Theory and Technology (CTT), 中文名《控制理论与技术》, 创刊于2003年，原刊名为Journal of Control Theory and Applications，2014年刊名更改为Control Theory and Technology。由华南理工大学与中国科学院数学与系统科学研究院联合主办，主要报道系统控制科学中具有新观念、新思想的理论研究成果及其在各个领域中的应用。目前被 ESCI (JIF 1.7)、EI、Scopus (CiteScore 3.2)、CSCD、INSPEC、ACM 等众多数据库收录, 并于2013–2018年获得两期中国科技期刊国际影响力提升计划项目资助。2017–2021年连续获得“中国最具国际影响力学术期刊”和“中国国际影响力优秀学术期刊”称号，获得广东省高水平科技期刊建设项目(2021-2024年)，2022-2024年进入中国科协自动化学科领域高质量科技期刊目录。

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