科学网-利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第一部分-理论-邹铁枫的博文

利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第一部分-理论

2025-7-1 08:47

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本次分享的是“On the exponential stability and instability analyses of switchedsecond- and higher-order linear systems via a novel application ofdifferential inequalities: part 1 (theory) (利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第一部分-理论)”。

切换线性动态系统，无论是连续的还是离散的，因其广泛应用，三十多年来一直是研究热点之一。显然，它们的稳定性和不稳定性至关重要。切换系统的基本形式包括一个线性二阶连续时间系统，该系统有两个线性时不变系统，每个系统都有一个2×2的系数矩阵，以及一个负责在它们之间切换的控制机制。对于这种设定，众所周知，在两个Hurwitz稳定系统之间切换会导致不稳定，而在两个不稳定系统之间的切换可能会使整个系统稳定。从另一个角度来看，如果单独稳定的系统切换得足够慢，复合系统可以保持稳定，这就引出了停留时间(定义为连续切换之间为保证系统稳定性而经过的最小时间长度)和平均停留时间的概念。在两个不稳定系统之间切换的对偶(或对应物)如下：保持不稳定的速度较慢，实现稳定的速度较快。本文将对切换高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析问题展开讨论。

On the exponential stability and instability analyses of switched second- and higher-order linear systems via a novel application of differential inequalities: part 1 (theory)利用微分不等式的新应用对切换二阶和高阶线性系统进行指数稳定性和不稳定性分析：第一部分-理论

Y. V. Venkatesh1,2

机构：1Indian Institute of Science(印度)；2 National University of Singapore(新加坡)

引用：Venkatesh, Y.V. On the exponential stability and instability analyses of switched second- and higher-order linear systems via a novel application of differential inequalities: part 1 (theory). Control Theory Technol. (2025).https://doi.org/10.1007/s11768-025-00245-x

全文链接：https://rdcu.be/em0pB

摘要

扩展的 Lyapunov 框架中生成的微分不等式常用于分析一类具有任意个切换矩阵的切换连续时间二阶和高阶线性系统的稳定性和不稳定性。由此得到的指数稳定性和不稳定性 (ESI) 条件涉及矩阵某些二次型比率的上确界和下确界，从而得到其运行区间的全局时间平均值。此外，受线性切换系统的 (i) 具有稳定矩阵的不稳定性以及 (ii) 具有不稳定矩阵的稳定性(在文献中主要用于二阶系统)示例的启发，所提出的框架被推广以建立包含矩阵活动间隔及其切换速率的 ESI 条件，其中切换速率由切换引起的不连续性归一化幅度的某个对数度量控制。实际上，(新的、全局平均的)停留时间显然是首次被灵活地交易，但在特定条件下(部分与矩阵的特征值相关)，用于切换基于不连续性的条件。所提出的方法的另外两个新颖的方面是：(i) 对于二阶矩阵，可以选择相空间中的切换线进行周期性切换以稳定或不稳定系统，甚至产生振荡，这取决于系统矩阵的特征值。但对于三阶(和更高阶)矩阵，这种分析上可处理(和控制)的周期性切换需要解决一个明确的非凸多参数优化问题，为此可以调用文献中的随机优化算法。(ii) 可以量化系统方程解的下限和上限，以反映系统的稳定性/不稳定性/振荡特性。第 2 部分提供了说明性示例，展示了所推导的稳定性和不稳定性条件的新颖性，建议与第 1 部分一起阅读，以实现理论与实践的一致结合。

引言

就切换系统稳定性或不稳定性性质的明确性而言，现有结论大都表明，即使在处理Hurwitz稳定子系统时，切换系统稳定性也是渐近的（而非指数的），除非在某些罕见情况下。其主要原因显然在于，所采用的技术本质上基于李雅普诺夫框架，并附加了这样一个条件：所选李雅普诺夫函数沿切换系统解的导数仅为非正值。

本文的主要贡献如下：

没有对$A_\ell$的特征值、交换性/对称性或共同的Lyapunov函数的存在做出任何假设。
由从$A_\ell$切换到$A_\kappa$，反之亦然引起的(矩阵)系数不连续性($A_\kappa-A_\ell) (\ell，\kappa=1,1, ..., s，\ell\neq\kappa$)实际上反映在李雅普诺夫矩阵$P_\ell (\ell=1,2, ..., m)$的相应不连续性中，对于每个$A_\ell$，分别对其进行合成，以生成尽可能接近特征值实部原始最大值和最小值两倍的特征参数(CP)。相应的矩阵。新的贡献是通过指数稳定性/不稳定性条件下$A_ell A_\kappa (\ell, \kappa=1, 2, ..., s, \ell\neq\kappa) $的GLM的相应差异，将切换不连续性的幅度合并，以重复$ A_\kappa-A_\ell (\ell，\kappa=1, …, s) $。目前还没有这些的结果。
由二次李雅普诺夫函数序列的导数生成某些一阶标量和线性微分不等式(先不带脉冲系数，后带脉冲系数)的解，并沿着系统(1)的解进行求值，可得到系统(1)的指数稳定性/不稳定性条件。第一组稳定性/不稳定性条件(定理1和2)用其活动间隔$K_\ell (\ell=1, 2, ..., m)$的某些全局时间平均值表示，对切换不连续性的强度或其频率没有限制；但第二组条件(定理3和4)不仅包含矩阵的活动间隔，还包含它们的切换速率，该切换速率由切换引起的不连续性归一化幅度的某个对数度量控制。这种度量似乎是切换系统稳定性/不稳定性分析文献中此类度量的首例。如上文文献综述所述，[19]中给出了任意切换条件下稳定性的充分必要条件；[20]中给出了区域可镇定性的充分必要条件。本文通过将定理3和4应用于[19,53]中的例子3，也得到了前文的结论(而非必要充分条件)。此外，本文得到的结果甚至适用于不遵循[19,20] 条件的切换矩阵的情况，同时，当二阶线性切换系统的矩阵满足[19]的(必要充分)条件时，与[19]的二阶线性切换系统的理论结果相比，本文通常至少提供了保守的稳定性/不稳定性条件。
对于一类 2 × 2 矩阵，本文证明了如何根据矩阵的特征值选择相空间中的切换线进行周期性切换，从而稳定/不稳定系统，并可能在系统中产生振荡。然而，对于三阶及以上矩阵，类似的周期性切换的切换平面和超平面的生成不仅在理论上可行，而且显然可以通过[54, 55]中的同时扰动随机近似(SPSA)来求解(当存在可行解时)。
定理1~4的另一个重要方面是，它们有助于推导系统方程解的上下界，从而量化系统的稳定性/不稳定性。这样的结果在切换线性系统稳定性/不稳定性分析的文献中似乎尚未发现。

[19] Yang, Y., Xiang, C., & Lee, T. H. (2012). Sufficient and necessary conditions for the stability of second-order switched linear systems under arbitrary switching. International Journal of Control, 85(12), 1977–1995.

[20] Yang, Y., Xiang, C., & Lee, T. H. (2014). Necessary and sufficient conditions for regional stabilizability of second-order switched linear systems with a finite number of subsystems. Automatica, 50(3), 931–939.

[53] Wulff, K. (2004). Quadratic and Non-Quadratic Stbility Criteria for Switched Linear Systems. Doctoral Thesis, National University of Ireland, Maynooth.

[54] Spall, J. C. (1992). Multivariate stochastic approximation using a simultaneous perturbation gradient approximation. IEEE Transactions on Automatic Control, 37(3), 332–341.

[55] Spall, J. C. (1998). Implementation of the simultaneous perturbation algorithm for stochastic optimization. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 34(3), 817–823.

结论

对于一类具有两个切换矩阵的线性二阶及高阶切换系统(为了简化定理证明，但可以根据需要通过附加上标和下标将其扩展到任意数量的矩阵)，无需假设它们的特征值、交换性或是否具有共同的李雅普诺夫函数，即可利用微分不等式(DI)推导出指数稳定性和不稳定性(ESI)条件，并由此得到解的上下界。DI的基础是每个切换矩阵的广义线性模型(GLM)，该模型是最优的(无需唯一性)，即对于任何给定的矩阵A，都可以找到一个矩阵P(称为GLM)，使得二次型比值\underline{x}^T(A_P + PA) \underline{x}/\underline{x}^T P\underline{x}的上确界和下确界分别尽可能接近于A最大和最小特征值实部的两倍。

广义线性模型(GLM)用于生成两种类型的二次函数(QF)，一种是时不变的(TIQF)，另一种是时变的(TVQF)。另外，每个二次型的(时间)导数，沿着所研究系统的解求值，都以由此得到的(归一化)二次型比率的上确界和下确界为界，从而得到微分不等式，其解可用于推导系统ESI的两种条件。

使用TIQF生成第一类任意切换的条件，即不考虑切换不连续性的强度或其速率(即频率)，但需要对每个矩阵在任意时间间隔T内的全局活动百分比(间隔百分比)进行限制，允许该时间间隔趋于∞，从而得到切换矩阵活动间隔的全局平均条件。每个矩阵的标准化活动的这种界限可以被解释为某种全局停留时间、平均值或其他，但其推导方式与文献中发现的不同。

由于这种矩阵活动时间的平均值与文献中其他技术(如分段和多重Lyapunov函数、最坏情况轨迹分析等)或简单(强力)轨迹计算的结果相比可能过于保守，因此提出了时间-时间-质量函数(TVQF)来克服这一限制，从而得到第二类ESI条件，该条件在任意和受控周期性切换下，同时结合了不连续性的强度和切换速率。受控周期性切换基于切换线，其存在受切换矩阵的特征值控制。所提方法的创新之处在于，可以根据切换矩阵的特征值，合成周期性受控切换，从而稳定、不稳定甚至产生系统行为中的振荡模式。稳定性/不稳定性条件通常与文献中的条件不同，可以视为对文献的补充。第2部分将详细介绍数值示例。

作者介绍

Y. V. Venkatesh，获得了印度科学研究所(IISc) 的博士学位。他曾是德国卡尔斯鲁厄大学、弗莱堡大学和埃尔朗根大学的亚历山大·冯·洪堡研究员；马里兰州格林贝尔特戈达德太空飞行中心的美国国家研究委员会研究员；以及奥地利格拉茨工业大学数学研究所、新加坡国立大学等的客座教授。除了稳定性理论外，他的研究兴趣还包括3D计算机和机器人视觉、信号处理、模式识别、生物识别、高光谱图像分析、神经网络与人工智能。作为IISc的教授，他担任了工程学院院长，早期他曾担任电气科学部主席和电气工程系主任。他是印度科学院、印度国家科学院和印度国家工程院的院士。他曾是International Journal of Information Fusion的编委。

期刊简介

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Control Theory and Technology (CTT), 中文名《控制理论与技术》, 创刊于2003年，原刊名为Journal of Control Theory and Applications，2014年刊名更改为Control Theory and Technology。由华南理工大学与中国科学院数学与系统科学研究院联合主办，主要报道系统控制科学中具有新观念、新思想的理论研究成果及其在各个领域中的应用。目前被 ESCI (JIF 1.7)、EI、Scopus (CiteScore 3.2)、CSCD、INSPEC、ACM 等众多数据库收录, 并于2013–2018年获得两期中国科技期刊国际影响力提升计划项目资助。2017–2021年连续获得“中国最具国际影响力学术期刊”和“中国国际影响力优秀学术期刊”称号，获得广东省高水平科技期刊建设项目(2021-2024年)，2022-2024年进入中国科协自动化学科领域高质量科技期刊目录。

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