这是系列科普文章的第一篇, 着重回答量子引力和人工智能为什么是统一的, 以及它们面临的最大的难题是什么. 答案就是它们的根本数学问题为无穷维积分问题, 其最大研究障碍是忽视了对因子化结构的研究. 这一思路完全是受因果凝聚框架的发现而启发的.

在本文中, 我要讨论的是一个涉及数学,物理和哲学的研究纲领, 它的目标是要解决当今科学中最大的两个难题: 量子引力和人工智能. 众所周知, 量子引力是物理学的圣杯, 它的目标是统一广义相对论和量子力学. 而人工智能则是计算机科学的圣杯, 它的目标是制造出一个可以像人类一样思考和行动的机器.  量子引力问题, 在1916年被阿尔伯特.爱因斯坦提出, 意图是要理解引力的量子行为. 人工智能问题, 在1950年被阿兰.图灵提出, 探求机器具有思维和意识的可能性. 这两个问题涉及到是人类对自然和人类自身的终极理解以及改造自身和世界能力的极限, 事关人类的前途命运及未来走向.

1. 因果凝聚和属性主义的关系

因果凝聚是这个研究纲领的基本数学框架, 它是一个基于对称张量范畴及其图形演算的一般范畴学构造. 它同时集成了米田引理(可表性), 粗粒化, Kan扩张, 元素范畴(格罗腾迪克构造), 伴随函子这五大基础范畴学构造, 为其丰富的语义解释提供了有利支撑.  属性主义则是对其意义和内涵的高度概括, 是一种以"属性"概念为核心的诠释理论, 给出量子基础和智能本质的全新理解. 它是范畴论和量子引力中的关系主义, 自然哲学中的过程主义和信息主义, 人工智能中的知识主义和语言主义, 思维科学中的相似主义, 经典物理学中的量纲理论, 逻辑学中的商集逻辑的进一步发展和解释, 以适应量子引力和人工智能研究的需要. 因果凝聚和属性主义可以说是语法和语义的关系, 也可以说是数学形式和科学含义的关系.

2. 量子引力和人工智能的统一性

为了确定这个纲领的科学性, 首先要说明量子引力和人工智能的统一性, 解释清楚它们其实是同一个硬币的两面. 众所周知, 在数学上, 量子引力问题的根本困难是一个无穷维空间上的积分问题, 而人工智能的根本困难则是高维概率统计问题, 所以这两个领域的数学本质是一样的(很可惜的是,这一简单事实, 很少被理论家提及). 前者的困难被称为无穷维积分难题, 通常使用格点离散技术和重整化群理论去分析; 后者的困难则被称为"维度灾难"或者"组合爆炸", 在机器学习的实践中通常使用各种降维表示技术或者数据压缩技术来针对性处理.

除此之外, 两个领域还有更多方面的相似和统一性. 比如, 观测者和智能体, 二十问游戏和图灵测试, 自旋网络和斯科伦函数, 费曼历史求和原理和鲁宾逊归结原理, 真空结构和知识库架构, 量子逻辑和商集逻辑, 基本粒子和简单词组, 相互作用和语法规则, 耦合强度和copula熵, 量子关联和语义信息, 重整化群和属性提取, 物理量纲和属性量纲, 等等. 我们把这些相似和统一性统一概括为物理-智能对偶. 限于文章篇幅, 不在本文展开, 留待以后专门讨论.

3.  破解无穷维积分的新思路

现在我们要讨论的是, 在数学上应该如何研究无穷维空间上的测度理论, 积分理论, 概率统计理论甚至(偏)微分方程理论? 这是一个著名的难题, 在物理学和概率统计理论中都没有严格系统的理论, 直到最近因果凝聚的发现, 才给这个难题带来了新的思路. 需要强调的是, 这个难题的本质不是无穷维线性代数或者无穷维的矩阵分析, 这方面已经有系统的数学理论, 比如泛函分析, 算子代数理论, 非交换几何等. 无穷维函数空间上的微分学就是变分学, 无穷维微分就是变分, 这一研究领域叫做非线性泛函分析, 也是一个很困难的领域. 这些理论和这个无穷维积分难题有一些关系, 但不是本质的关系. 解决无穷维积分难题, 需要全新的思路.

众所周知, 概率论的严格化工作是由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年做出的. 他把概率论看作是测度论的一个特殊分支, 用公理化方法奠定了现代概率论的数学基础. 他引进了样本空间的概念, 把概率空间定义为样本空间上的非负归一化测度, 把随机变量定义为样本空间上的可测函数, 把数学期望定义为随机变量在概率空间上的积分. 柯尔莫哥洛夫的公理化工作使得概率论, 数理统计, 随机过程, 随机微分方程, 信息论等成为了严格的数学学科, 促进了随机数学的大发展. 但是, 量子引力和人工智能面临的无穷维积分难题根本无法在柯尔莫哥洛夫建立的公理化框架下解决, 因为它忽略了一个关键的要素: 样本空间上的因子化结构. 这是由因果凝聚框架所启发的新思想: 样本空间上除了 σ 代数结构(事件结构)和概率结构之外, 还一个更本质的未被注意的数学结构, 我称之为因子化结构. 这一思想也和汪培庄先生的因素空间理论不谋而合.

这个故事还有一个平行的版本. 与1933年柯尔莫哥洛夫公理化概率论相平行的事件是,  1932年冯诺伊曼公理化量子力学. 冯诺依曼是美籍匈牙利数学家, 犹太人. 众所周知, 在概率论和量子力学之间有一个精确的辞典, 如下. 因为这个精确的对应, 因此人们也把冯诺依曼代数理论称为非交换测度论, 并且通过著名的GNS构造, 人们可以从冯诺依曼代数框架导出量子力学框架.

在此我想要说的是, 如同启发了样本空间上的因子化结构研究, 因果凝聚框架同样也启发了希尔伯特空间上的因子化结构研究. 这两个思想由来已久, 概率论的因子化结构思想来源于我对贝兹构造和量子场论数学基础的思考, 而希尔伯特空间空间的因子化结构思想则来源于我对弦网凝聚和凝聚态物理的数学基础的思考, 它们其实是同一个问题的两个表现形式. 

在概率论或者分析这边, 也就是统计场论或者量子场论这边, 我们要考虑的是随机变量或者非微扰观测量的局域化问题. 在量子力学或者代数这边, 也就是凝聚态物理或者格点规范理论这边, 我们要考虑的是刻画量子多体系统的内禀结构或者量子序的问题.还可以从量子逻辑或者商集逻辑的角度来理解因子化结构的研究动机. 事实上, 在冯诺依曼完成量子力学的公理化之后, 他并没有感到满意, 因为量子力学的诠释问题在他给出的公理化框架下并没有解决. 为此, 冯诺依曼和伯克霍夫合作发展出了量子逻辑理论. 他们试图从逻辑的角度理解量子力学的本质. 他们的量子逻辑是一种不满足分配律的逻辑. 

对于相对论革命和量子力学革命,一个很合理的评判就是狭义相对论和广义相对论引起的是一场几何革命, 量子力学引起的则是一场逻辑革命.

但在此角度, 我要强调的是, 量子力学只是一个单体问题, 他们发展的量子逻辑本质上只应该是量子命题逻辑. 他们还没有发展量子谓词逻辑的想法, 也没有想到对量子引力和量子多体系统进行公理化研究. 从逻辑的角度思考, 可以认为从量子力学到量子引力的发展就非常类似于从命题逻辑到谓词逻辑,甚至高阶逻辑的发展. 那么, 什么才应该是正确的量子谓词逻辑或者量子高阶逻辑? 我认为希尔伯特空间上因子化结构的研究就是量子谓词逻辑的研究, 并且量子谓词逻辑其实就是张量逻辑. 因此, 我也认为希尔伯特空间上的因子化结构也就是张量逻辑的研究. 从逻辑的角度, 量子引力和量子多体系统的研究就是要研究希尔伯特空间的因子化结构, 继续完成量子力学还没有彻底完成的逻辑革命.

总而言之, 对因子化结构的忽视, 是量子引力和人工智能的共同难题的根源, 现在我们必须要补上这一课.

在下一篇文章, 我们将对因果凝聚框架进行细致的介绍, 并讨论什么是因子化结构.

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 因果凝聚和属性主义纲领 I