集合大小的定义和比较

                                                                     李鸿仪 Leehyb@139.com

对有限集合，集合大小的定义及其比较非常简单，可以通过计数的方法直接进行比较。也就是说，我们实际上是遵循着以下定义进行比较的：

定义1：若集合A的元素数目和集合B的元素数目一样多，则称集合A和集合B的大小一样，若集合A的元素数目比集合B多（或少），则称集合A比集合B大（或小）。

不难验证，对于有限集合，上述定义与用一一对应即双射所得到的结果完全一致。因此，对有限集合，也可以用能否在两个集合之间建立双射来判断两个集合的大小是否一样。

对于无限集合，由于计数不能完成，所以，我们无法直接通过计数的方法比较无限集合的大小。于是，康托将对于有限集合绝对可靠的一一对应推广到无限集合，用基于一一对应的基数概念来定义集合的大小，在学术界有一定的认可度。

其理论基础是相信对无限集合，用一一对应得到的结果与用计数得到的结果应该是一致的，但却避开了计数这一对无限集合无法完成的过程。

为了避开可能出现的矛盾，目前学术界通常不再谈论无限集合元素数目这一概念，而统一将能一一对应作为无限集合大小相等的定义：若两个无限集合能建立一一对应，则说明两个集合的基数相等，即集合的大小相等。

听上去十分完美，但是却隐藏着致命的逻辑错误：

①比较无限集合的大小并不需要知道各无限集合元素的绝对值，只要知道其相对值就可以了，而要知道无限集合元素的相对值非常容易，所以，计数方法对于无限集合，实际上仍然成立，即定义1仍然可以用于无限集合。

②相信不能代表一定正确，对与无限集合，用一一对应得到的方法与用计数方法得到的结果是否一致是一个至少需要验证的问题。

③验证的结果是否定的：用一一对应并不一定能比较无限集合的大小，并产生了原本不应该存在的悖论。

以下分别讨论这些问题。

一 无限集合元素的相对数量

有多种方法可以知道无限集合元素的相对数量。例如，由于自然数集合的元素可以无限增加，永无止境，故我们不可能确切地给出自然数集合N具体的元素数目，同理，我们也无法知道N1={0}UN究竟有多少元素，但根据N1的定义，我们知道N1永远比N多了一个元素0，这就足够了：根据定义1，N1比N大。

由于N是N1的真子集，

无限集合与其真子集相对元素数目的比较可以更一般地讨论如下：

根据真子集的定义，任何无限集合的真子集仅仅是由其原集合部分元素组成的，因此真子集的元素的相对数目一定是少于原集合的。根据定义1，无限集合真子集一定是小于原集合的。

用可靠的数学分析，也可以比较无限集合元素数目的相对大小。

例如，众所周知，对于二进制小数，由于每位小数有0和1两种可能，故有限情况下，二进制小数的数目n和小数位数m的关系为，

n=2^m，两者的比值p=n/m=2^m/m，用数学分析方法马上可以知道：

m→∞时，p→∞（1）

即小数个数是小数位数的高阶无穷大。这就很严格且可靠地给出了这两个无限集合元素数目的相对大小。

表示集合的描述法中定义了集合中每一个元素，由于集合是由其元素组成的，因此也可以将描述法看作是集合的定义。

根据无限集合的上述定义也可比较无限集合元素数目的相对多少。

例如，对偶数集合E={2x，x∈N}，（2）

由于每一个自然数都产生了一个偶数，所以N中的自然数和E中的偶数数目是精确相等的。

二 用一一对应比较无限集合大小的不可靠性

用一一对应来比较无限集合的大小，显然和上述根据定义1和无限集合元素数目的相对多少得到的结果不一定一致。

例如，康托在N1和N之间建立了一一对应，并因此认为N和N1的大小一样，与前述分析结果相悖。该例子充分说明，康托的一一对应与定义1得到的可靠结果不一致。

再例如，康托在无限集合与其真子集之间建立了一一对应，并据此认为无限集合与其真子集一样大，该结论也与根据定义1得到的结果不一致。

有时候，用一一对应与用定义1得到的结果倒是相等的。

例如，用（2）得到的结果就与用一一对应的方法恰巧一致。

由于这种一致并不是普遍存在，因此，一一对应并不一定能比较无限集合元素数目的多少，基数理论至少没有普遍意义。而直接根据定义1和元素数目的相对多少，却可以得到可靠的结果。

三 因基数理论而导致的悖论及其消除

由于基数理论并不一定正确，导致各种悖论毫不奇怪。而一旦采用正确的根据元素数目相对多少的方法来比较集合的大小，这些悖论全部都会消除。

以无限旅馆悖论为例，根据定义1，已经客满的无限旅馆意味着旅客数和房间数的相对数量是精确相等的，因此，这时再来一个人是住不进旅馆的，也就是说，客滿就是客滿，不会又是客滿又是不客滿，从而产生悖论。而根据一一对应，虽然已经客满了，却可以通过改变房间的编号，又住进新的客人。也就是说，旅馆既是客满的，又是不客满的，显然自相矛盾了！

另一个悖论是延续了近400年的伽利略悖论。

例如，根据公式（2），对于集合E，偶数的数目和N中自然数的数目完全一致。然而，数学不过是解决问题的工具。世界上原本根本就没有集合。所有的集合，都是人们为了解决实际问题而定义出来的。不同的实际问题就可以有不同的定义。例如，由于自然数集合中实际上包含了偶数，因此，我们也完全可以将偶数集合定义为：

E1={x，mod（x/2）=0，x∈N}，（2）

由于这时N中每两个自然数只能产生一个E1中的偶数，所以E1的元素数目只是自然数数目的一半。

混淆E和E1，就产生了所谓的伽利略悖论。

从伽利略悖论的消除过程可以看出，把偶数集合看成是唯一的才会产生悖论。

不同的定义会产生不同的集合，不能互相混淆。比如E和E1，虽然都是偶数集合，但是由于定义不同，所以大小也不一样。这是一件非常自然的事情。

不但偶数集合并不是唯一的，自然数集合也不是唯一的。例如，集合N2={x/2，x∈E1}={1，2，3…}，（3）

其中每个元素都是自然数，且自然数的数目也是无限的，没有理由认为它不是一个自然数集合。但由于N中每两个自然数只能产生N2中一个自然数，所以N2中自然数的相对数量只有N的一半。这就证明了，自然数集合也不是唯一的。

如前所述，人们之所以要定义一个集合，是因为要解决某些具体问题。因此，不同的具体问题，需要有不同的集合定义。例如，如果有两个可以无限招生的班级A和B，规定A班每招一个学生，B班必须招两个学生，A班和B班的学号数就分别形成了两个不同的自然数集合。其中B班的学生数是A班的两倍。用N和N2分别表示B班和A班的学号就很自然。

可见，不但在理论上可以定义多个自然数集合，在实际问题中也同样需要多个自然数集合。所以，把无穷公理解读为存在一个唯一的自然数集合是错误的。

有理数与自然数的关系也是这种情况。一方面，康托在有理数和自然数之间确实建立了一一对应，有理数和自然数的相对数目似乎应该一样。但另一方面，自然数仅仅是有理数中的极小一部分，两者的元素数目不可能相同。这似乎又产生了悖论。

 不过，既然自然数集合不是唯一的，那么就没有理由认为与有理数一一对应的那个自然数集合与有理数当中包含的自然数真子集一定是同一个自然数集合，上述矛盾也就不再存在了。

总之，不用一一对应，而用定义1并正确获取元素数目的相对大小，可以消除所有因滥用一一对应而产生的悖论。

四思想方法方面的分析

如前所述，所谓一一对应，原本只是用来比较有限集合元素数目的多少时是十分可靠的。但康托在没有任何证明甚至连验证也没有的情况下，就把它用于比较无限集合的大小，至少其理由是不充分的，也无严格性可言。

我是教《物理化学》的，这是一门被很多同学认为比数学更难学、令他们望而生畏的学科。记得约半个世记前，我读书时所在的七七级三个班和另外七八级三个班同时考试，第一次测验有1/3的同学不及格，我97分已是第一名了。

记得后来和我有书信往来的华东理工大学的胡英院士，有一次在上海科学会堂的交流会上说，《物理化学》中的热力学的绝大多数公式都有适用条件，这个思想方法可以让我们受用一辈子。热力学的适用条件是比较复杂的。比如，在特定条件下推出来的公式，这些条件是所推出的公式的充分条件，当然用于该条件下是一点问题都没有的。但有时候还可以将其推广到更普遍的情况。例如，对于不可逆的过程，可以在始终态不变的条件下将它设计成可逆途径，然后就可以用在可逆条件下推出的公式来研究不可逆过程，相当于将在可逆过程推导出来的公式用一定方式推广到不可逆过程了。研究热机效率的著名的卡诺循环就是这样一个过程。当然，这是一个比较巧妙且复杂的过程。如果对不可逆过程，直接套用可逆公式则是严重的逻辑错误。

有时候为了确定一个公式的适用条件，学术界会讨论很长时间。有的人甚至会穷其一生来研究这些适用条件。以著名的，在哲学界有重大影响的，导致著名的热寂说的熵增原理为例，是在绝热体系或孤立体系的条件下推出的，用于孤立体系或绝热体系，当然没有任何问题，但能否用于宇宙，这就牵涉到宇宙是不是一个孤立体系或绝热体系了，几百年来学术界至今没有统一的认识。

除了定义和热力学四大定律以外，热力学几乎所有的公式都有特定的适用条件，我们早就习惯了一看到公式，就先要去仔细研究它的适用条件，用这种思想方法，很容易在一些学科中找到一些不严格的东西，即使是以严谨著称的数学也不例外。

 比如说，由一一对应即双射的定义可以看出，用一一对应比较有限集合的大小时是绝对可靠的。也就是说一一对应的适用条件至少包括有限集合，但这并不意味着一一对应的适用条件一定也包括无限集合，如果要将其推广到无限集合，至少要有验证，最好是要有普遍性的证明。如果连证明甚至验证都没有， 就将其推广到无限集合，在我们看来，其学术态度就显得有些轻率且不够专业，不够严肃了。

事实上，滥用一一对应已经使得集合论走火入魔，走入了死胡同：不但使整个集合论充满了诸如无限旅馆、全体等于部分等明显的悖论和错误，而且留下了诸如连续统假设等伪命题。

其实，只要想明白用元素的相对数量就可以比较无限集合的大小这一原本并不高深的道理，就会柳暗花明又一村，什么问题都很容易解决了。

例如，（1）比较了两个无限集合的大小。

这里又出现了适用条件的问题：在著名的对角线论证中，对角线上的小数位数和小数个数都是严格相等的，因此，对角线论证用于小数个数和小数位数相等的情况下是没有问题的，如果没有证明，是不能够随便推广到其他场合的，尤其是不能推广到小数个数大于小数位数的情况。然而，（1）恰恰表明了小数个数远远大于小数位数，在这种情况下，对角线论证完全失效，因此，对角线论证并没有证明实数不可数。

这里可以再次看到，不注意适用条件，会导致多么严重的错误。

不注意适用条件，也可以看作是引入了一些未加证明的隐含假设。例如，将用于比较有限集合大小的一一对应推广到无限集合，其实就是隐含地假定可以用一一对应来比较无限集合的大小。用对角线方法来证明实数不可数，其实就是隐含地假定小数个数不大于小数位数。

严格的科学推导必须清清楚楚，明明白白，不允许存在任何隐含的假设。如果不得不引入假设，也必须是显式的。比方说，写成可供讨论、验证、被普遍认可且没有任何反例的公理形式。

可惜的是，人类的思维远远没有达到如此严格的程度，很多隐隐约约的假设都存在着。本文只给出了两个例子而已。

即使是写成公理形式的假设，有时候也不一定能经得起反复的推敲。如前所述，如果将无穷公理解读为存在着由全体自然数组成的，外延不变的，唯一的自然数集合，就会产生重大的逻辑错误，而这种错误，实际上还普遍存在。

这也是严格的机器证明，还难以普遍化的原因。

五 总结

只要能获得无限集合元素的相对多少就可以比较无限集合的大小，不需要用一一对应这种并不普遍成立的，容易产生悖论的方法。