摘要：用反证法指出了集合论中一些不可能存在的集合。认为讨论不存在的集合，不但毫无意义，而且会导致大量的悖论和错误。

         任何定义不过是在描述并界定某一个存在于客观世界或主观世界的研究对象，因此，当我们在定义任何一个对象的时候，首先必须对对象的存在性做一个考察。这是因为，如果定义了一个并不存在的对象，不但毫无意义，而且还可能引起很多矛盾和混乱。例如，如果我们在欧氐空间上定义了一个正十面体，然后建立了一大套理论，这个理论有意义吗？

      如果我们不清楚某个对象究竟是不是存在，不妨可以先假定其存在，然后看其是不会导致矛盾。

      传统集合论中定义了一些并不存在的集合，导致了众多错误和矛盾，必须予以坚决清除。

      反证法通过某命题会导出矛盾来证明命题的反面成立。用这个方法可以排除一些不存在的集合:假定某集合存在→导出矛盾→该集合不存在。

     例1

    命题 1  不存在包含自身的集合。

     证明: 定义A={x:x∉x}，假定存在包含自身的集合，即存在A∈A，则集合A不符合上述定义，即A∉A，矛盾。 所以，不存在包含自身的集合。证毕

      注：反证法只要存在一个矛盾就成立。

       日常生活中，只要概念清晰，也不存在包含自身的集合。例如，

       书={书1，书2，……}，

       作为集合的书，可能是一个图书馆内的书，也可能是一个书吧里的书，而作为元素的书，不过是一本本具体的书，两者并不相等。

      排除了包含自身的集合后，不但消除了罗素悖论，很多悖论也被消除了，例如

     1. Cantor悖论：设S是所有集合的集合，若S是自己的元素，则S不是所有集合的子集；若S不是自己的元素，则S是所有集合的子集。产生矛盾。

     2. Berry悖论：设S是所有可描述的集合的集合，若S是自己的元素，则存在一个可描述的集合，它不是S的元素；若S不是自己的元素，则存在一个可描述的集合，它是S的元素。产生矛盾。

      3. Curry悖论：设S={x | x是所有满足条件的x的集合的元素}，则S既是自己的元素，又不是自己的元素，产生矛盾。

      文兰在 《悖论的消解》一书中认为，悖论是削头减尾的反证法，命题1其实就是将罗素悖论的一部分加上头尾组成。

       在相容集合论中，规定集合元素是必须已经存在的研究对象，这样，我们在定义某一个集合的时候，这个集合还没有存在，所以不能够成为这个集合的元素，这样就排除了不存在的，会导致多种悖论的所谓包含自身的集合、

      例2 

      命题2不存在外延确定不变的无限自然数集合。

      证明:假定存在一个外延确定不变的无限自然数集合，由于该集合的外延确定不变了，集合的元素就不能再增加了，这时，不论集合的元素如何排列，只要先比较其中第1，2个数，留下大的，然后将留下的数与第3个比较，再留下大的……由于自然数集合的元素都是自然数，且元素不再增加，所以，不管原来的元素是有限多还是无限多，也不管比较所需要的时间是有限长还是无限长，在比较过程留下的自然数总是一个一个逐渐越来越少，由于比较过程是留大弃小， 因此最后必然结束于最大的那个自然数。由于只有在有限的自然数集合里才有最大自然数，所以，这是有限集合，与假设矛盾，证毕。

      有的人可能会对证明的结果产生疑惑：如果假定是一个无限的自然数集合，怎么可能有最大自然数呢？

      其实，无限的自然数序列之所以没有最大自然数，在于且仅在于自然数是可以通过加1不断增加，从而不断有更大的自然数出现，这时当然不可能有最大的自然数，而一旦这个不断增加的过程停止了，就必然会有最大自然数，因此不可能是无限的。

       凡事不但要知其然，而且还要知其所以然。

      虽然该命题及其证明非常简单，但却彻底颠覆了传统 集合论: 传统集合中，集合的外延都是确定的，该命题证明这时甚至连最基本的无限自然数集合都不存在，从而导致了相容集合论可变集合(弹性集合)的产生。

       例3

      讨论例3前最好先定义无限集合的元素数目。

      定义1:对元素进行计数即数数得到的结果称为元素数目。

      命题3:任何存在的集合，其元素都是有数目的。

      证明:除了元素数目为0的空集，任何集合都是由元素组成的，既然集合存在，元素也必然存在，即元素已经是一个一个放在那里了，必然可以数数，数数的结果也必然存在，所以任何存在的集合都是有元素数目的。证毕

      例如，对于空集，数数的结果为0；对无限集合，数数的结果是”无限多”。后者说明:①无限集合有元素数目，②其元素数目为无限多。

      康托把基数定义为抽取元素的性质和序关系后留下的东西，这个留下的东西其实就是元素数目，如果元素数目都不存在，也不会有基数概念， 说明他心目中其实也是有元素数目的，只是没有说出来而已。

      但在传统集合论中，并没能严格、精确地考察无限集合的元素数目：由于种种原因，基数并不等于元素数目。例如，无限集合的元素数目显然是比其真子集多的，但它们的基数却相等。

       命题4 不存在包含全体自然数的集合

      证明，假定存在包含全体自然数的集合A={123……}，则可用A定义集合

       A1={y|y=2x，x∈A)

和

       A2={y|y=2x-1，x∈A)，

由于每一个A元素定义且只定义一个A1(或A2)的元素，所以A1(或A2)的元素数目与A精确相等，但由于自然数集合A3=A1UA2的元素数目比其真子集A1(或A2)多，所以A3比A包括了更多的自然数，与A包括了所有自然数矛盾，证毕。

       注:所谓全体自然数，本身就是一个一厢情愿、想当然、未经仔细考察过的概念:自然数可以通过加1不断增长，这个过程永远不会结束，怎么可能形成只有这个过程结束后才能形成的所谓全体自然数？

      推论1  自然数集合不是唯一的。

  例如，A，A3都是自然数集合。同理

  推论2 不存在唯一的偶、奇数集合。

      例如，A1，A1* ={x|x mod 2=0 ,x∈A}={2,4,6,…}都是偶数集合，由于A中每相邻的两个自然数中只有一个偶数，所以A1*中偶数的数目只有A的一半，而A1的偶数数目却与A一样。这曾经不被人们所理解，而被称之为伽利略悖论，但现在既然偶数集合本来就不是唯一的，所以，所谓延续了四百年的伽利略悖论不再存在。

   由于不存在全体自然数这个概念，所以在相客集合论中，集合的定义不再使用整体这个概念，而仅把集合定义为已经存在的研究对象，这是因为，对于无限集合，未必能够形成整体。

        传统集合论中很多命题都是建立在存在唯一的、包含全体自然数的自然数集合是这一基础上的。一旦自然数集合不是唯一的，很多命题都不再成立。例如，康托定理证明了自然数集合N的幂集P(N)无法与N一一对应。然而，由于自然数集合不是唯一的，故总能找到能与P(N)一一对应的其他自然数集合(以N*表示)，因此，N(N)可数。

        如所周知，如果将N与二进制小数的位数一一对应，则P(N)可与二进制小数一一对应，而N和N*是两个不同的自然数集合。在对角线证明中，隐含了N=N*这一不成立的错误假定，所以对角线证明不能成立。

        因此，任何集合的元素都是可以用不同的自然数集合编号的，所以

       命题5  不存在不可数集合。

       这样，命题2可以改写为

        命题6不存在外延确定不变的无限集合。

        另外，有了精确的元素数目概念，可以很容易证明:

       命题 7 当且仅当两个集合的元素数目精确相等时，两个集合可以建立一一对应关系。

       证明: 假定集合A比集合B的元素数目少，则无论如何排列两个集合的元素，即无论如何确定集合A到B的单射，A中必有一些元素在B中找不到原像，即A到B的单射不是满身，证毕。

      由于命题3也可用于无限集合，所以命题7也可用于无限集合。

       由于任何无限集合与其真子集的元素数目不同，所以

       命题8 任何无限集合与其真子集之间不可能建立一一对应关系。

       在相容集合论中，不再讨论一一对应及其基数的概念，而直接讨论元素数目的概念。

       由于传统集合论没有排除这些不存在的集合， 而讨论任何不存在的事物不但毫无意义，而且如证明所示，很容易导致各种矛盾，这就注定了传统集合论必然产生很多悖论。

       以消灭任何悖论为目标的相容集合论中没有这些不存在的集合。

    参考文献

    文兰.《悖论的消解》，科学出版社，，2018.

    李鸿仪。相容集合论初探：https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

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   在写作过程中，田茂，徐明良等参与了本文的讨论，在此表示感谢。例如，田茂与我的讨论

田

  命题1反例：概念的集合就包括“概念”这个概念。

  命题2：纠错：外延是相对概念来说的，所以“集合的外延”应更正为“集合中的元素”。“集合中的元素确定不变”并不等于“集合必定有最大元素”。

 我

    谢谢反馈！

    概念的集合与概念并不是一回事，不能混淆。概念的集合可以包含概念，但不能包含概念的集合。打一个比方，书的集合可以是一个图书馆的书，与单独的书并不是一回事，概念的区分要十分细致，不能有任何混淆。

    外延确定→元素数目确定

    命题2的证明就证明了:对自然数集合来说，元素确定不变时有最大元素。为了有充分的说服力，证明写得十分详细。如果认为不一定，应该能具体指出证明中哪一步错了。

    尽管如此，还是非常感谢您能仔细看我的文章。

Jlf与我的对话

Jlf：

   我对集合论能否作为数学基础，一直持怀疑态度。并认为：数学基础很可能是范畴论和Topos。

我:

    谢谢反馈

   范畴论和TOP0S我倒是不太懂， 还需加强学习，对于什么是数学基础，我也没有考虑很多，目前我只是看到一些错误，觉得必须清除，否则会误人子弟。

 Jlf：

   国际主流数学界已经从范畴论角度开始重构微积分，（见哈佛大学《高等微积分》）。如果中国大学仍停留在集合论的层次打转，可能永远跳不出康托挖的这个坑。

 Jlf：

    集合论中，集合中的元素是一个不变的点，而范畴论将元素定义为一个“态射”，这一差异，不仅使范畴的元素不再是一个“死”的点，而变成一个可以有结构的对象。而且使School of Bourbaki提出的三种“母结构”，即：序结构、拓扑结构和代数结构，通过适当转化，得到了综合处理。反之，基于集合论的School of Bourbaki却由于未能提出一套能将三种母结构融合于一体的“公理化定义”，其缺陷逐渐显现。特别是Grothendieck提出Topos创立代数几何K-理论，并从School of Bourbaki独立出来后，集合论与范畴论的区别越来越明显。正所谓“差之毫厘，谬之千里。”目前，范畴论在计算机编程中已经被公认，但在工程应用上还存在不少问题需要突破。

 Jlf：

       Shcool of Bourbaki由盛而衰的过程，已表明：集合论开始走下坡路。

 我:

  集合论的一大缺点，就是过于强调确定性。不但外延确定导致错误，每一个元素也是很确定的、不变的常数，这就大大限制了集合论的应用范围。如果把变量或函数也作为元素，可能会大大拓展其应用范围？