摘要：本文找到了精确可靠地比较无限集合元素数目的方法，从而不但彻底消解了延续了数百年的伽利略悖论，而且证明了无限集合的外延是不可能固定的，据此再次阐述了外延可变集合的概念，并证明了无论是自然数集合还是偶(奇)数集合都不是唯一的，不存在一个包含了所有自然数或偶(奇)数的集合，无穷公理是错的，任何无限集合不可能与其真子集一一对应，自然数集合的元素数目为无上界的正整数变量等重要结论，证明了传统集合论的无限部分彻底错了，再次阐述了重建集合论的必要性。

  认为在教学中不加批判地引入大量完全错误的东西，会强制人们接受这些错误的东西及其思想方法，逼使学生认错为对，是非不分。而且，错误的东西，其逻辑必然是混乱的，接受了这种混乱的逻辑，学生的逻辑思维能力必然大打折扣甚至完全失去。

  因此，必须严令禁止这种残害下一代的做法。强烈呼吁教育部改革相关教学内容。

正文：

集合论问世后，在数学界得到了广泛的应用。在集合论中，有限集合相对成熟，甚至已经进入中学教材，无限集合则存在很多问题，甚至可以说是从头到尾都错了，如果不尽快解决， 不但对数学的进一步发展会带来很大的隐患，对于人类思维能力的培养也具有很大的负面甚至是摧残作用。

集合论无限部分的错误有很多，本文将逐一讨论

一 集合论没有清楚地讨论无限集合元素数目这一基本概念

任何事物都是有数目的，元素当然也不例外。集合的元素数目是集合论最基本的概念之一。有限集合的元素数目非常简单，无限集合的元素数目其实也非常简单，但传统集合论并没有找到直接研究无限集合元素数目的可靠方法，只好讨论了与元素数目有很大差异的所谓基数，从而产生了很多矛盾和错误。

其实，要直接研究无限集合的元素数目非常容易，例如，把A={1,2,3,……}的每一个元素都乘以2得到的集合

A₁={y|y=2x,x∈A}={2,4,6,……}，                                     (1)

这个操作只不过是改变了集合A中每一个元素的数值，并没有改变元素的数目，故集合A和A₁的元素数目是精确一致的。

再例如，由真子集的定义可知，任何无限集合的元素数目必然是比其真子集多的，由此也可判断无限集合元素数目的多少。例如，A和A₁的元素数目相同，所以A₁不可能是A的偶数真子集（很多错误认识，都是由于没有认识到这个极其简单的事实所致)。而下述只在A中提取偶数的操作

A₁^*={x|x mod 2=0,x∈A}={2,4,6,……}                        （2）

得到的集合A₁^*才是A所包含的偶数真子集。

因此，A与A₁之间的一一对应，并不是A与其真子集A₁^*之间的一一对应。

  由此可见，无限集合的元素数目非但不是不能研究，而且还可以很可靠甚至很精确地研究，所得到的结果也高度可靠。

通过对无限集合元素数目可靠甚至精确的研究，可以发现传统集合论中存在很多错误。 

二 集合论错误之二，误以为可以固定无限集合的外延

如前所述，由于A₁^*是A的真子集，故A₁^*的元素数目必然比A少，而A₁的元素数目又与A精确一致，故A₁^*的元素数目必然比A₁少。

也就是说，虽然A₁^*和 A₁都是偶数集，但是由于其元素数目不同，外延当然也不同，故两者并不是同一个集合，或者说偶数集并不是唯一的。

虽然A₁^*和A₁的外延不同，并不是同一个集合，但由于都可以表示为{2,4,6,....}，很容易被误以为是同一个集合，伽利略也不例外。伽利略时代虽然没有集合论，但他讨论的序列其实就是集合的元素。他误以为A₁和A₁^*的元素是同一个偶数序列，所以认为这里存在部分（A₁^*=A₁的元素）等于整体（A的元素）这一悖论，后人将其称为伽利略悖论。该悖论延续了数百年。

笔者严格证明了A₁≠A₁^*，即部分（A₁^*）不等于整体（A），偶数集也不是唯一的，这就彻底消解了伽利略悖论。

也就是说，伽利略混淆了A₁和A₁^*，所以才产生了悖论。

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注：其实，任何定义，例如式（1）到（4）所示的定义，都是一种主观行为。虽然这种主观行为也要受到客观的制约，比如说不能定义一个不可能存在的集合，否则就很容易导致矛盾，但定义本身还是一种主观行为。  

   既然是一种主观行为，不同的集合定义当然有不同的结果。比如说偶数集既可以用(1)来定义，也可以用(2)来定义，两种定义不同，出来的结果即A₁和A₁^*当然不同。这再自然不过了，所以根本就没有悖论。把人的主观行为当做客观事实，比如把(1)当做是普遍成立的，或者把（1）和（2）的定义相混淆，才会出现悖论。

  虽然数学十分严格，但是在集合论中的无限部分，却十分地不严格。比如，康托的基数理论，广泛地使用了一一对应这种主观方法，并把其当做是客观的，陷入各种矛盾在所必然。

   把主观和客观相混淆，本质上是一种思维混乱导致的低级错误。

   所有的悖论和错误都源于思维混乱。

   伽利略悖论应该是数学史上对无限序列项数这一概念感到迷茫不解的开端，希尔伯特对此也束手无策。康托很可能也混淆了A₁和A₁^*的区别，误把A和A₁之间的一一对应当作A与其真子集A₁^*之间的一一对应了，从而认为：既然A和A的真子集A₁可以一一对应，那么任何无限集合就应该都可以与其真子集一一对应，然后他还试图证明无限集合确实可以与其真子集一一对应。然而，A₁实际上并不是A的真子集，而且任何无限集合都不可能与其真子集一一对应（见本文后面的证明）。

笔者引入可靠甚至精确地比较元素数目的方法，再加以小心细致的推导，并严格地区分了主观和客观，从而彻底地消除了该悖论，驱散了笼罩在无限集合元素数目这一基本概念上的迷雾，还数学界一个清平世界。

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同理，将A₁的每一个元素减1得到的奇数集合A₂，

A₂={y|y=x-1,x∈A₁}={y|y=2x-1,x∈A}={1,3,5,……}，    (3)

其元素数目也与A或A₁精确一致，且A₂也不是A的奇数真子集，而操作

A₂^*={x| (x+1)mod 2 =0,x∈A}={1,3,5,……}                 （4）

得到的A₂^*，才是A所包含的奇数真子集。

设自然数集合

A₃=A₁UA₂，                                                               （5）

A₁，A₂都是A₃的真子集，故A₃的元素数目必定多于真子集A₁或A₂的元素数目。而A₁，A₂，的元素数目又都精确地与A的元素数目相同，故A₃的元素数目必定是比A多的。即A≠A3，我们实际上也已经证明了以下定理：

定理1 自然数集合的外延是不断扩大的。

证明 A₃和A都是自然数集合，但是A₃的元素数目多于A，同理，用上述方法可以从A₃得到与A₃的元素数目一样多的偶数集合A₄和奇数集合A₅，则A₆=A₅UA₄的元素数目多于A₃……这个过程可以永远进行下去，从而使自然数集合的外延不断扩大。证毕

推论1，自然数集合不是唯一的。

推论2，不存在一个包含所有自然数的自然数集合，即无穷公理不成立。

推论2的证明：假定A是包含所有自然数的自然数集合，则A₃比A包含了更多的自然数，矛盾。同理，假定A₃是包含所有自然数的自然数集合，则A₆比A₃包含了更多的自然数，矛盾。所以，不存在一个包含所有自然数的自然数集合，证毕

如前所述，这些推论显然也可以应用到偶数集合或奇数集合，从而有：

推论3，偶数（或奇数）集合不是唯一的。

推论4，不存在一个包含所有偶数（或奇数）的偶数（或奇数）集合。

传统集合论中，为了方便，把集合的外延固定了下来，这对于有限集合并没有问题，但由定理1可见，对于无限集合，其外延是不断变化的，因此，将无限集合的外延固定下来必然会导致错误。

三  错误的纠正：外延可变集合的建立

因为定理1证明了自然数集合的外延是无限扩大的，故必须建立外延可变的自然数集合。
      定理2 设n为无上界的正整数变量，则N={1,2,3……n}是一个外延可变的无限的自然数集合:
      证明 ①因为n是一个变量，所以N的外延可变。②对任意大的自然数n^*，只要令n﹥n^*，则n^*∈N成立，即N是一个无限集，证毕
    称这样定义的集合为弹性集合。
    若n为有界的正整数变量，则N为一个有限的弹性集合。

四 弹性集合的初步应用:动态变化着的集合外延的比较

设n和m分别为无上界的正整数变量，不难用外延公理证明，当且仅当m=n时，{1，2，3……n}={1，2，3……m}，若m>n，则自然数n+1~m 只属于等式右端的集合，即两个集合不同。

例如，由定理1的证明可见，虽然A和A₃都可以表示为{1，2，3……}，很多人因此误以为它们是同一个集合，但用弹性集合的概念很容易解释它们是不同的：设A={1，2，3……，n}，则A₃={ 1，2，3……，m}，且m>n,自然数n+1~m属于A₃但不属于A，根据外延公理，A≠A₃

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注：常有人会问，A和A₃元素都是自然数，为何A≠A₃？哪些元素是属于A₃但不属于A的？

同样的问题也出现在A₁和A₁^*(或A₂和A₂^*)，它们都是偶(或奇)数集，但是并不相同。

在定理1的证明中，已经严格证明了A₃的元素数目是比A多的。也就是说A₃和A的外延是不同的。外延不同，当然不可能是同一个集合。至于哪些元素是属于A₃但不属于A的，上面具体给出了属于A₃但不属于A的元素(n+1~m)，说明A3是可以不同于A的。

要注意的是，由于外延在变化，所以这部分元素也是在同步变化的。

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同理也可以证明，偶(奇)数集合也可以是互不相同的，这样就不会存在伽利略悖论了。
      任何悖论都是错误的产物，本不应该存在。

由此可见，对弹性集合来说，虽然其外延在不断变化，但仍然很容易判断集合是否相同。
误以为集合的外延一定要固定下来才能比较，是传统集合论错误的根源：既然只有外延固定的集合才能互相比较，那么当然就只能把无限集合的外延也固定下来了，但实际上无限集合的外延无法固定的(见定理1及其证明)，从而就造成了种种错误。
  

四 弹性集合的重要应用之一: 无限集合不能与其真子集一一对应的证明

对集合N₁={0}UN，若N={1，2，3……n}，则N₁={0，1，2，3……n}，无论整数变量n如何变化，也无论N是有限(n有上界)还是无限集合(n无上界)，N₁比N永远多了一个元素，且该事实与元素的排列次序完全无关， 所以N₁中永远有一个元素在N中是找不到原像的，即无论采用哪种单射法则，N与N₁都不能一一对应。

由此可见，所谓无限集合可以与其真子集一一对应，根本就是数学史上最愚蠢的一个笑话。而所谓”双射只要证明有一种单射是双射即可，其余单射不是双射也没有关系，而不能双射则要求证明所有的单射都不是双射”的想当然也是不准确的:能否一一对应只与元素数目是否相同有关，与元素如何排列无关，即与采用何种单射无关。也就是说，只要证明一种单射是(或不是)双射，就说明两个集合的元素数目是(或不是)一样的，这样等于证明了任何单射都是(或不是)双射了。

由此再次可见，没有严格证明的想当然是多么的不可靠。

五 弹性集合的重要应用之二: 无限自然数集合的元素数目，基数理论的错误

弹性集合N={1，2，3…n}的另一个简单且更有意义的应用是:无限自然数集合的元素数目是变量n，这样，所谓的基数和超穷数理论就变得完全错误且毫无意义了。例如，根据超穷数理论，自然数集合的基数阿列夫0是固定的，显然错误。

既然是变量，集合的交集为空时，当然可以进行加和等四则运算，这就为进一步研究无限集合元素数目敞开了大门。例如，很容易证明，A₃的元素数目是A的两倍，A₁^*元素数目是A的1/2等。再例如，{1，2，3……n}和{1，2，3……n+1}虽然都可以表示为{1，2，3……}，但并不是同一个集合，两个集合的元素之差为1。

小结

本文找到了精确可靠地比较无限集合元素数目的方法，从而不但彻底消解了延续了数百年的伽利略悖论，而且证明了无限集合的外延是不可能固定的，据此再次阐述了外延可变集合的概念，并证明了无论是自然数集合还是偶(奇)数集合都不是唯一的，不存在一个包含了所有自然数或偶(奇)数的集合，无穷公理是错的，任何无限集合不可能与其真子集一一对应，自然数集合的元素数目为无上界的正整数变量等重要结论，证明了传统集合论的无限部分彻底错了，再次阐述了重建集合论的必要性。

  在教学中不加批判地引入大量完全错误的东西，会强制人们接受这些错误的东西及其思想方法，逼使学生认错为对，是非不分。而且，错误的东西，其逻辑必然是混乱的，接受了这种混乱的逻辑，学生的逻辑思维能力必然大打折扣甚至完全失去。

  因此，必须严令禁止这种残害下一代的做法。强烈呼吁教育部改革相关教学内容。

     既然集合论的无限部分存在如此多的错误，如果不尽快消灭这些错误， 不但对数学的进一步发展会带来很大的隐患，对于人类思维能力的培养也具有很大的负面甚至是摧残作用。

用热力学的语言来说，要想使”脑熵”变小，即使得人变聪明，需要大量的学习和用功，而脑熵的变大，却是一个不可逆的自发过程。教育本来是使人脑熵变小的有效方法，如果教学中混入了错误的东西，又要强制人们去接受它，就会反而使人的脑熵变大，这个后果太可怕了！

所以，清除错误，势在必行！