一，两位网友不约而同发现了玻尔兹曼系统熵的一个新结果

几乎同时，两个刊物接受了内容几乎相同的两篇文章，作者都是科学网的网友，且二者之间几乎没有任何关联。他们发现了玻尔兹曼系统熵的一个新结果如下(以下简称为X-熵公式)：

𝑆 = 𝑘(𝑁 + 𝛼𝑁 + 𝛽𝑈).

一位是西南大学的陶勇教授，英文撰写，著名刊物 《Physics Letters A》，接受时间是4月7日，参见如下图片，注意文章中的方程(12)。

另外一篇来自我的课题组，中文撰写，国内刊物 《大学物理》，接受时间是4月1日，参见如下图片，注意文章中的方程(14)。

关键的结果如下

二，我们发现X-熵公式的最初出发点：学生的问题

2023年，我一位学生提出如下问题(全文见本博文末尾附件)，参看如下图片。

这位同学拿这个问题申请了一个“大学生创新创业训练计划”获得批准。差不多一年的时间他也没有多少动静，直到快要结题，才开始着急。看看他一头“鸡窝”，决定出手。大概率，这是一个全新的发现：统计会自动带来一个粒子间的不可分辨性，这不同于量子不可分辨性。我们立即写了一篇很短的文章，投到《大学物理》很快很快被接受。他这个课题获得了“大学生创新创业训练计划”二等奖。

三，我一个长期的疑惑：存在统计不可分辨性？

对于宏观可分辨的粒子，例如胶体粒子，例如大分子。每个粒子宏观上不同，可以相互分辨。微观状态的计数，必须按可分辨粒子计数。然后按玻尔兹曼关系S=klnΩ 计算熵。但是这是不对的。必须按S=kln(Ω/N!) 计算，其中N!为不可分辨因子。按对吉布斯佯谬的标准理解，不可分辨只能来自量子力学中的全同粒子的概念。但是对于胶体粒子和大分子，不具有全同粒子的概念，为什么还有不可分辨因子呢？

如果胶体粒子和大分子满足玻尔兹曼分布，

这个结果同时说明两点：第一，如果总共有N个粒子，则有Nρ_i个粒子处在能级ε_i之上；第二，如果粒子之间没有相互作用，则任何一个粒子都有ρ_i概率处在能级ε_i之上。换言之，从概率的角度上看，无法区分粒子，而概率直接联系系统的熵。因此，统计能带来不可分辨性。我把这种不可分辨性称之为统计不可分辨性。

我同时认为，统计不可分辨性就在玻尔兹曼统计中。我之所以对学生的问题比较热心，就是因为，学生的问题的解决，同时就确认了我长期怀疑存在的统计不可分辨性。

发表论文，当然要把最显著的结果呈现出来。而最显著的结果就是用来解决理想气体的吉布斯佯谬。这就有了我们投往《大学物理》的问题。

四，陶勇教授发现X-熵公式的过程

我一位已经成名的学生原来读过我的文章，他发现了陶教授的文章之后，觉得太像，发给我征询我的看法。我的第一感觉是，不会是抢发了吧？还真不是！陶教授在2018年就写下了X-熵公式。我立即和陶教授进行了联系，他告知了我他发现X-熵公式的过程 (我标红了一句话并隐去两位教授的名字，有个缩写由系统自动变成了全称)。

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刘老师，您好！

很高兴收到您的邮件。其实我很早就注意到您附件中的博文了，我记得当时还留了言，不过您附上的版本已经不显现我的留言了。在这封回复邮件的末尾，我已经附上了《自指玻尔兹曼机：生命的礼赞》博文以及我的论文[27-31]的打包电子版。

我PLA论文最主要的发现是方程（21），当然它是由方程（12）推导而来的。而方程（12）的发现要追溯到我2010年发表在PRE上的论文27，这篇论文将量子和经典的配分函数用统一的函数形式表示，其中I=0表示经典，I=1表示量子。可以计算，当I=0的时候就得到PLA论文中的方程（12）。我正式写出方程（12）是在2018年发表于Physica A的论文28 [可见该文的方程(C.11)和方程(D.4)]，这篇论文的结果2018年4月XXX教授还请我到中国科学院理论物理研究所做过报告，当时是XXX教授主持的。

此后的论文29-31，都是围绕方程（12）在做研究，不过主要基于人类社会系统。博文《自指玻尔兹曼机：生命的礼赞》主要介绍论文29，不过这篇论文的 Appendix B我现在不认为是正确的，其中有当时视野局限于人类社会系统导致的不正确看法。

最后我介绍一下PLA中引入方程（12）的动机。方程（12）本质上就是S=lnW-lnN!，这种情形是矫正后的熵表达，可以消除吉布斯佯谬。但是我们也有玻尔兹曼表达的形式S=lnW。两种熵表达都是从统计物理微观方法得到的。那么，我的动机就是要检查哪一个表达在写成宏观热力学变量的时候会导致矛盾。结果我发现第一个表达写成热力学熵后【方程（21）】，在广延性下得到理想气体法则；而第二个表达在写成热力学熵后【方程（30）】，在广延性下不导致理想气体法则。所以我认为第二种熵表达存在矛盾——使得理想气体法则与广延性不兼容。

当然，引入方程（12）的另一个动机是我发现软物质文献中，描述胶体用的正是S=lnW-linN!，这让我猛然意识到以前将这个表达用于研究人类社会系统是不恰当的，它最适合描述的系统是胶体这种软物质系统。

希望我的回复能够澄清一些问题，如有错误和陈述不清楚的地方，请您多指正。

顺祝春安！

陶勇

2025年4月12日(星期六) 

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陶教授的本行原来称之为金融物理，现在称之为复杂系统。工作的单位是经管学院。

五，注记

1，文献中有数十种解决吉布斯佯谬的方案，求助于量子力学中的全同粒子假设，看似深刻，其实便捷。X-熵公式的引入就比较深刻。这是由于，我们认为，统计能带来的不可分辨性，更加深刻。

2，陶教授和我们都得到X-熵公式，但是我们发现的思路完全不同。他认为玻尔兹曼熵必须具有形式S=kln(Ω/N!) ，然后利用玻尔兹曼分布，然后得到等价的形式即 X-熵公式。我们完全不同，我们发现，如果有玻尔兹曼分布，熵只能是X-熵公式。很可能，X-熵公式文献中已经出现过，不过我们还不知道。

科学网—2023年度最佳问题：一种不直接使用配分函数的玻尔兹曼统计理论 - 刘全慧的博文.pdf