122. 数学家们会释放出纳维-斯托克斯方程所蕴含的力量吗?

Will mathematicians unleash the power of the Navier-Stokes equations?

题记：纳维-斯托克斯方程最早出现于19世纪40年代，它是理解平流和湍流行为的关键。然而，为了更好地利用这些方程式，理论学家们必须能准确地找出它们的解在什么条件下具有实际意义以及在什么条件下会失效。

1. 引言

美国Clay数学研究所对纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)的简单介绍为：“这是主导水和空气等流体运动的方程。然而对于这个方程最基础的问题：解是否存在？是否唯一？至今仍无证明。为何需要这个证明？因为该证明不仅能带来解的确定性，还能深化人类对解的理解”。进一步的解释是：“当我们在湖面蜿蜒前行时，船尾漾起道道波浪；当我们乘坐现代喷气机翱翔时，机身掠过湍急气流。数学家和物理学家深信，无论是习习微风还是汹涌湍流，都能通过纳维-斯托克斯方程的解得到解释与预测。尽管这些方程早在十九世纪就已建立，但人类对其认知依然有限。当前的挑战在于取得重大突破，构建能够揭开纳维-斯托克斯方程奥秘的数学理论”。

图1 建立流体动力学方程的几位重要科学家

纳维-斯托克斯方程是一组描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。粘性流体的运动方程首先由纳维在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。纳维和斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，就称为Navier-Stokes 方程，简称N-S方程。三维空间中N-S方程“光滑解的存在性问题”被美国克雷数学研究所设定为千禧年七大难题之一。解的存在性与光滑性问题是方程的基本数学性质，N-S方程作为流体力学理论基石(如湍流研究)的核心方程，描述了流体(液体或气体)在空间中的运动规律。N-S方程近 200 年来一直主导着人类对水、空气等流体运动规律的理解。如今N-S方程方程在科学与社会领域无处不在，从模拟天气、洋流与血流，到设计飞机、车辆与发电站以及石油勘探和运输，应用范围极其广泛。

图2 显示空气流动的风洞

这组由法国工程师兼物理学家克洛德-路易·纳维与爱尔兰物理学家兼数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯(肖像见图1)在1822至1850年间逐渐创立的偏微分方程，能够极其精确地描述粘性流体的运动规律，其解也在众多实际工程领域得到应用，然而关于这些解的理论认知目前仍存在重大空白。尤其值得注意的是，N-S方程的解常呈现湍流现象，尽管其在科学与工程领域具有重大意义，而湍流问题至今也是物理学界最悬而未解的难题之一。尽管基于黎曼映射定理，二维空间的N-S方程解存在性与光滑性问题已被攻克，但三维问题始终悬而未决，针对三维N-S方程组在给定初始条件下的情形，数学家们既未能证明光滑解必然存在，也无法证实若解存在则其单位质量能量必定有界。这正是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题”的实质所在。鉴于理解纳维-斯托克斯方程被视为揭开湍流这一难解现象的第一步，克雷数学研究所于 2000 年5月将此问题列为七大千禧年数学难题之一：证明或证否三维不可压缩N-S方程在给定初始光滑速度场条件下，存在全局定义的光滑解且其动能保持有限。也就是在三维空间与时间维度中，给定初始速度场，证明存在一个满足N-S方程组的矢量速度场与标量压力场，二者均为光滑且全局定义的函数。

图3 洋流和大气中经常出现的卡门涡旋街(Karman Vortex Street)

2. 纳维-斯托克斯方程及其物理工程意义

在数学领域，纳维-斯托克斯方程组是以任意维度抽象矢量场为变量的非线性偏微分方程组。在物理与工程应用中，该方程组通过连续介质(其分子平均自由程足够短，可视为连续介质而非离散粒子集合)的力学方法，建立了描述液体或非稀薄气体运动的动力学数学模型。其本质是牛顿第二定律在粘性牛顿流体中的具体表达，即将压力、粘性应力及体积外力共同作用纳入牛顿力学的框架而给出的粘性不可压缩流体的动力学方程。一般地，N-S方程是描写充满Rⁿ维空间的流体的动力学方程，通过求解N-S方程，给出流体运动的速度场 u(x,t) ≡ (u₁, u₂, ··· , u_n) ∈ Rⁿ和流体的压力密度标量场p(x,t) ∈ R，该方程的具体形式如下：

其中流体的压力密度p(x,t)= P(x,t)/ρ，P(x,t)为流体内部局部的压强，ρ为流体的密度。如果把上面的方程组写成分量形式为：

其中自变量 x ∈ Rⁿ,t ≥ 0，方程组满足如下的初始条件：u(x,0)=u₀(x)。在以上的N-S方程组中，方程(1)中的f (x,t) ≡ ( f₁, ···, f_n )是流体所受到的外力(如重力场)，ν > 0是和流体动力学黏性(viscosity)有关的正系数，∆ = ∇² =∑_j ∂² /∂x_j²是空间变量的拉普拉斯算子，初始速度场u₀(x)是空间Rⁿ中的连续光滑函数。显然如果 ν = 0，以上的方程组即为流体的欧拉方程(Euler equations)。方程 (1)或(3) 是牛顿方程 ma = f 在流体微元上的具体应用，左边是流体微元的加速度，右边第一项是流体微元的粘滞摩擦力，第二项是流体微元受到的压力，第三项 f _i (x,t) 即为外力，该方程可以通过单位内流体的动量平衡或动量守恒来推导(见参考文献:流体力学N-S方程.pdf)；方程 (2)或(4) 来自于不可压缩性流体的质量流密度平衡性(密度是不随空间和时间改变的常数)，等同于对空间中任何一个闭合曲面而言流入和流出的质量达到平衡，方程的实质来自流体流动中空间体积的守恒性。

图4 飞机后部形成的涡旋气流

对于N-S方程，物理上可以接受的解当然是速度场u(x,t)在 |x| → ∞ 时不发散，而且当外场 f(x,t)和初始速度场u₀(x)是平滑非歧异的场，那么物理上能接受的 N-S 方程的解应该满足以下条件：(1)在整个时空 Rⁿ ×[0, ∞)上流体速度场u(x,t)和压力场p(x,t)都是无限光滑函数：u(x,t), p(x,t)∈ C^∞ 函数；(2)流体任一时刻在全空间的能量有限，即∫_Rⁿ|u(x,t)|² dx < c，其中 c 为常数。对于 N-S 方程满足以上两个条件的解的存在性，是第一个问题；虽然一个方程解的存在性从数学上讲似乎是一个重要问题，但从物理上讲如果这个方程是描写流体运动规律的准确方程，那么其解一定存在，因为流体的流速场是客观现实的场，然而如果没有数学上解的存在性定理，那么对方程数值计算的结果其近似表达的是什么？虽然可以在假设光滑解存在的前提下证明数值方法的收敛性，但数学上的存在性定理能够提供坚实的理论或模型基础，解的存在性其实就是通过数学去理解物理的过程；另外，解的唯一性也是重要的方面，它对模型的预测能力至关重要，因为缺乏解的唯一性意味着模型无法给出确定的未来状态。

图5 研究空气流动的风洞实验

目前关于N-S方程的研究工作可分为两个领域，一个就是数值方法直接求解N-S方程，通过数值计算进行工程应用或数值验证，部分工作和AI 神经网络进行结合对N-S方程进行工程模拟和物理问题的分析，目前对高雷诺数湍流的直接数值模拟仍具有一定的难度，需要算法上的突破；另一个领域就是纯理论研究，首先是在弱解和强解的框架下证明解的全局存在性或局域存在性、解的唯一性等的传统研究；其次最显著的数学问题就是非线性相互作用在流体中产生时空奇点的问题，主要关注速度场在相对论约束下局域产生空间奇点的涡旋问题、湍流问题以及时空奇点爆发的爆破解问题等；最后就是利用前一个数学问题中的拓扑理论研究速度场时空结构中微分算子的一般理论性质，如同调理论对 4 维时空上的解结构，如涡旋解的拓扑性质，散度解奇点的分类以及调和解的不稳定性(如拓扑撕裂，边界破坏等等)，总之，通过拓扑上同调理论的层结构、纤维丛模型和微分形式将N-S方程的解转化为拓扑对象进行研究，理解N-S方程的奇点稳定性和产生问题，从而在全局掌握N-S方程解的性质。

图6 发动机喷嘴处高温气流形成的马赫环或钻石冲击波

目前一个与N-S方程有关的热点进展就是Yu Deng等人从牛顿力学和玻尔兹曼方程出发通过164 页长文严格推导出N-S方程的工作(Hilbert’s sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann’s kinetic theory)，他们解决了希尔伯特1900 年提出的“物理公理化”难题，从微观粒子系统的牛顿定律出发，通过玻尔兹曼动力学理论，严格推导出了宏观流体力学偏微分方程，这篇还未被为同行最后确切评议的论文对认识流体力学方程的数学基础提供了一个严格统一的物理支撑，能够为理解N-S方程的解提供更为确切的物理依据；另外一个就是我国数学家关于飞机发动机尾部气流出现爆破解的爆破条件(Blow-up Criteria)相关的研究工作，该研究虽然没有能够解决N-S方程解的难题，但不仅深化了N-S方程解的正则性理论，而且推进了N-S方程的工程应用，对理解流体动力学的奇异行为提供了新的视角和设计思路。

图7 火箭导弹飞行中前部的冲击波前照片