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Data Assimilation 01-01: What is Kalman Filter

已有 6595 次阅读 2010-7-21 16:31 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记| filter, Kalman


从今天开始正式接触数据同化(Data Assimilation),作为数据同化基础的基础,卡尔曼滤波器(Kalman Filter)是一切的一切,下来的系列日志将会是关于这个基础的学习日志。

1,1  Kalman Filter是什么?

理论上来讲,Kalman filter 是线性二次型问题的估计器(estimator),要说清楚线性二次型问题是什么,比较麻烦一点,但是对于了解Kalman filter又是不可或缺的,这里只了解了它的基本定义:当一个系统的动态(the system dynamics)可以用线性微分方程(linear differential equation)来描述,而求解该动态的运算量又可以用二次方程(the quadratic functional)来描述,那我们就可以把这种情况定义为线性二次型问题(LQ problem),这属于最优化控制理论(optimal control)的范畴:用最小的运算量求解一个动态系统。Kalman Filter 就是一个对任何具有二次方程估计误差(quadratic function of estimation error)的过程进行最优化处理的评估器。

Kalman Filter的最直接应用就是控制复杂的动态系统:飞机,航天飞机,船等等。要控制一个复杂系统,就必须了解这个系统是怎么运作的。但是,去了解一个系统的每一个变量并控制它是没有必要,也是不可能。Kalman Filter使我们可以从间接的,具有很多噪声的观测当中推测出那部分我们没有掌握到的变量信息。

总的来说:Kalman Filter 是一个工具,它不能够解决所有的问题,但是能够帮助我们是问题解决简单化。这不是一个物理工具,而是一个数学工具。数学工具使得我们的脑力劳动更有效率,就像机械工具让我们的体力劳动更轻松一样(Mathematical tools make mental work more efficient, just as mechanical tools make physical work more efficient) ;Kalman Filter 是一个电脑程式,它用有限的变量来表达我们要解决的问题;Kalman Filter 是对所要评估问题的一个连贯的,统计学的特征描述。 它不仅仅是一个估计器,它会将动态系统的状态继承和传递下去(it propagates the current state of knowledge of the dynamic system),包括随机动态扰动(random dynamic perturbations)和所有过去时刻的观测(all past measurements).

1.2 为什么是Filter?

一开始,Filter是用来过滤水-气-固混合物当中的杂质而发明的一个词.在晶体管收音机时代,这个词被用在模拟集成电路上(analog circuits)来表示过滤干扰电波。这些干扰电波具有不同的频率,而通过对特定频率的过滤,模拟集成电路被用来减弱这些干扰电波的影响。到了19世纪30年代, 这个概念被扩展到不同领域,并被用来表示将信号和噪声进行分离,而信号和噪声又各自具有自己的谱密度(power spectral density), Kolmogorov 和Wiener利用谱密度分布的统计学特征对信号进行了最优化估计的处理。

说回Kalman Filter, Filter已经远远超越了原来的定义,它包括了对反演问题的求解 (确定一组由所需变量组成的方程来表示观测变量-----观测变量的正函数)。本质上来讲,Kalman Filter将观测变量与所求变量之间的函数关系反置,将所需变量看成可以由观测变量的反函数来表达 (In essence, it inverts this functional relationship and estimates the independent variables as inverted functions of the dependent [measurable] variables.)。


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