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万物皆数的哲学家——毕达哥拉斯

2025-7-15 12:17

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作者高关中（德国汉堡）2025/6/20

希腊哲学重视数学，推崇理性，哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约前580-前500）就是一个范例，他也是一位杰出的数学家，在西方首次提出勾股定理，还用数学研究音乐、天文，甚至把数的概念神秘化，提出万物皆数的观点，在哲学史上独树一帜。在古希腊早期的哲学家中，毕达哥拉斯传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说，留下最深远的影响。

哲学家曾执掌政权

大约公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（Samos）。萨摩斯岛在爱琴海东部，是距小亚细亚大陆(土耳其)最近的希腊岛屿，只隔2公里宽的萨摩斯海峡，坐船去米利都也很近。岛上主要城镇也叫萨摩斯。市区背山面海。城内有一处小巧玲珑的公园，沿着公园朝街上走，可见到排列整齐的红砖房和一座座突出的阳台，将原已狭窄的街道紧紧覆盖着，形成具有独特风格的街景。还有个小城毕达哥利翁（Pithagorio）是为纪念毕达哥拉斯而命名的，如今港口竖立着一尊高大的毕达哥拉斯雕像。该城历史悠久，有建于公元前6世纪的古代城墙遗址。此外，古希腊历史学家希罗多德所推崇的三大奇迹，皆在小城附近。现在都存有遗迹。一个是引水隧洞，长一公里有余。由奴隶们从山的两头开挖，凿通时只有30到40厘米的误差。还有一个是港口防波堤，经改造后今天仍然在使用。第三个是天后赫拉神殿（Heraion），从残存的柱石，仍可想见其宏伟。1992年毕达哥利翁与赫拉神殿被列为世界文化遗产。

在毕达哥拉斯的成长时期，萨摩斯岛是一个繁荣的贸易中心。他的父亲是一个宝石雕刻师，经商而致富，毕达哥拉斯从小跟父亲学过手艺，爱好数学和音乐。

九岁时毕达哥拉斯被父亲送到提尔（Tyre，又译推罗）学习。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。提尔在黎巴嫩南部，今名苏尔，濒临地中海，是一座历史名城，腓尼基文化的一大中心。相传希腊主神宙斯在此引诱拐走了当地国王的女儿欧罗巴，带到希腊，欧洲（欧罗巴洲）之名即来源于这个神话。《圣经》中提到，古犹太所罗门王建造耶路撒冷的神殿所需的雪松木，即从这座港城运来。该城与地中海各地普遍发展贸易关系，并于前9世纪在北非建立子城迦太基。该城曾被亚历山大大帝攻克。后来置于罗马统治之下。至今这里保存有战车竞技场（Hippodrome，又译赛马场）、列柱大道、凯旋门、浴场、剧院等古代遗迹。1984年，提尔古城被列为世界文化遗产。在这里，毕达哥拉斯直接受到东方文明的熏陶。

毕达哥拉斯曾到米利都，拜访了泰勒斯、阿那克西曼德等哲人，并成为了他们的学生。他也到过埃及，法老阿马西斯（Ahmose II，前570年—前526年在位）推荐他入神庙学习象形文字和埃及神话、历史和宗教。据说他还曾到巴比伦，受到东方古老文化和宗教的影响。

最后毕达哥拉斯返回家乡萨摩斯，建立了一所学校，他把该学校命名为“半圆”（Semicircle）。学识渊博、见多识广的毕达哥拉斯受到许多希腊人尊敬，有不少人投到他的门下求学。

因与当地执政者不和，大约公元前530年，毕达哥拉斯离开萨摩斯，移居意大利南部的克罗托内（Crotone，地处今卡拉布里亚大区）。克罗托内濒临塔兰托湾，前8世纪由希腊殖民者建立。一度成为大希腊范围内的强大城邦，并以在希腊古代奥运会上屡屡夺冠而闻名，至今古希腊时代的城墙和港口尚存部分遗迹。考古博物馆（Museo Archeologico）里可以看到很多希腊时期的文物。令人忆起那辉煌的时代。毕达哥拉斯在此创办了一座伦理-政治学园，广收门徒。他的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子。

在克罗托内，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，后人称之为毕达哥拉斯学派。他们曾在克罗托内掌握过政权，这是历史上罕见的哲学家当权。毕达哥拉斯成为半神，受到崇拜。据说，学派每个成员都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。还要遵守一些带有神秘色彩的清规戒律。在许多方面，学派与修道院相似。

这个学派重视数学，经常探讨数学、天文等学问，强调数的和谐和万物皆数。此外还宣传灵魂不死和轮回转世的思想。他们不杀生，被视为素食主义者，罗马大诗人奥维德（Ovid，前43—18）在《变形记》第十五卷中描绘毕达哥拉斯发表演讲，恳请追随者严格遵守素食主义。在19世纪40年代“素食主义”（vegetarianism）一词被创造出来之前，素食者在英语中被称为“毕达哥拉斯主义者”（Pythagoreans）。

毕达哥拉斯学派具有半宗教性，明显地倾向于贵族政治，并且在社会上的影响越来越大，终于引起反弹。约公元前508年，毕达哥拉斯学派遭到解散，在克罗托内的活动场所受到严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆（Metapontum），并于公元前500年去世，享年约80岁。梅塔蓬图姆在今意大利南部港城塔兰托以西45公里沿海，是希腊移民所建的。后来它的居民随汉尼拔远征军撤退，城市即趋衰亡。如今保留有毕达哥拉斯时代两座神庙的遗迹，并发现一些古代陶瓷，包括希腊黑红两色人物花瓶。

毕达哥拉斯学派虽然形式上解散了，但实际上还继续存在至少二百年之久。从后来的活动和影响看，这个学派的重要思想是在哲学和科学方面，它促进了数学和西方理性哲学的发展。

毕达哥拉斯与商高

作为数学家，毕达哥拉斯最令西方人熟知的成就是发现毕达哥拉斯定理。这个定理就是我们中学学过的勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，举例来说，一直角边（勾）为3，另一直角边（股）为4，那么3的平方9和4的平方16加起来等于25，正好是斜边（弦）长5的平方。这就是说，只要知道了直角三角形任意两边的长度，就可以用开方的办法求出第三边的长。希腊数学家欧几里得在编著《几何原本》时，认为勾股定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。

相传毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形地砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏地砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。

传说就这样，毕达哥拉斯发现了著名的勾股定理。反过来也成立，一个三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和，这个三角形一定是直角三角形。毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛，宴请亲朋好友。所以勾股定理也有“百牛定理”之称。这个定理只是一个纯粹的数学定理，在当时并不会给毕达哥拉斯和学派带来任何现实的利益，但他们却为此举行了百牛大宴，让人难以理解。其实在古希腊的哲人眼里，学术研究就是追求科学真理，而不会考虑什么现实的利益，他们对科学真理的探索是纯粹的。在他们眼里，人生的意义在自己的心灵里，而不在于外界的什么东西。他们孜孜以求的仅仅是解开自然的一个又一个谜，使自己一次又一次得到心灵上的快乐和精神上的满足。

扯远了，言归正传。古埃及人和巴比伦人就已开始研究数学,但没有留下数学家的名字。西方把古希腊的毕达哥拉斯和他的老师泰勒斯推崇为最早的数学家。而我国的商高比他们要早五百多年，而且在数学古籍上有明确记载，事实上商高是世界上迄今已知最早的数学家。这是中国人的骄傲啊！我们不应忽视这位数学的先驱。

陕西商洛地方志上的一条记载：“商高，黄帝二十五子之昆孙，以地得姓。周成王时，封爵商子，在《周髀算经》中，他首次提出在直角三角形中勾三股四弦五的关系，为世界最早引用勾股定理者。”

商高生活在西周时期，精于数学，是我国3000年前的著名数学家。在公元前1000年左右发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五。商高的数学成就据《周髀算经》（中国流传至今最早的数学著作，大约成书于公元前1世纪）记载，主要有三方面：勾股定理、测量术和分数运算。

勾股定理是中国数学家的独立发现，在中国早有记载。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以我们就把这个定理叫作“商高定理”。

但是，为什么商州没有一座商高塑像，或一条以商高命名的街道呢？我国古代对科学重视不够。科学家远不如政治家文学家出名，社会地位不够高，这也是我国科学到后来落后于西方的原因之一。那么今天我们是否应该重视这个问题呢？以我个人的看法，商高也是非常值得纪念的人物！特别是在让中国文化走出去、让世界了解中国的时候。而且纪念商高也可以提高我们的民族自豪感，进一步激励我们发展科学技术啊！

毕达哥拉斯发现勾股定理的事情来自传说，他本人对毕达哥拉斯定理究竟有过何种贡献，其实很难确定。可以确定的倒是，勾股定理不是毕达哥拉斯首先提出的。中国古代的商高就比他更早。不过毕达哥拉斯的“冠名”倒也不是纯属乌龙，也许可以这么说，在科学史的主线上，毕达哥拉斯是使勾股定理传播并影响后世的核心人物。

数学与音乐和天文

除了毕达哥拉斯定理之外，这位早期数学家还有不少数学发现和应用。有一位数学史专家说：“数学作为一门科学，开始于毕达哥拉斯。”

毕达哥拉斯是世界上第一个发现黄金分割理论的，从而获得关于比例的形式美的规律。黄金分割(golden ratio)是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。黄金数被冠为“最优雅的比例节奏”的美称，在现实中有很多体现。人类自身的身体从肚脐到脚底的高度与身高的比为黄金数；埃及金字塔的底面边长与高的比为黄金数；我们在拍照的时候如果站在黄金分割点，就会比较协调。黄金分割法还在优选学中得到实际运用，即在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择。1970年以后，在华罗庚的推动下，优选法在我国进行推广，广泛应用于各个领域，取得了不少成果。

毕达哥拉斯还把数学用到音乐方面，堪称西方音乐史上第一位音乐理论家。据说，有一天他走在街上，在经过铁匠铺前听到铁匠打铁的声音非常动听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。他将一条弦固定，通过不同的比例区分整体与部分间的距离，结果发现：弦长比为2：1时，则发出相隔八度的两个高音；当弦长之比为3：2、4：3时，则发出纯五度、纯四度的音程关系。这种数量关系，是对乐音组成的原初认识，即和谐的最简单的形式。毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相有明确数学关系的音律，被称作五度相生律。根据五度相生律引出了音阶各音。这套定律不仅成为了毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石，也构成了重要的古代音乐财富，流传至后世一直影响着现代的音乐理论。

他把“数”与音乐联系在一起，提出“数”是音乐的根源，即“音乐是数字”。这种观点是从“数学”的角度对音乐进行思考和研究，使音乐具有了理性的意识，从而开阔音乐领域的视野。毕达哥拉斯在音乐中渗透了“数学”逻辑的精准理念，把音乐和科学联系在一起，超出了音乐感性的审美体验。从毕达格拉斯提出“数学与音乐”的观点开始，西方音乐史上就没有停止过关于“数学与音乐”的研究。他的观察和实验，最终确定了我们今天所知的音阶。这不仅仅是一个重大的音乐发现，还是第一次用数学来表达一个物理定律（声学）。

在天文学方面，他也用上了数学。毕达哥拉斯认为，在苍穹中运行的天体，和谐而有秩序，就像一曲动听的“天体音乐”。他认为，一切平面图形中最美好的是圆形，一切立体图形中最美好的是球形；宇宙是一种和谐的代表物，所以一切天体的形状都应该是球形。毕达哥拉斯第一次提出大地是球体这一概念。这在当时的认知水平下是不可思议的，打破了当时主流“天圆地方、天盖地承”的传统认知。比泰勒斯“圆盘”学说也前进了一大步。

毕达哥拉斯认为日、月、五星都是球体。他是从球形最美的观念出发产生这一概念的；而亚里士多德根据月食时，月球上地影是一个圆，第一次科学论证了地球是个球体。惠施，这位中国战国时期的哲学家，也曾提出地球是球形的观点。他提出的“天与地卑，山与泽平……天地一体也”的说法，被认为是支持地圆说的证据之一。虽然他的观点在当时并未被广泛接受，但它与西方同时期的一些地圆学说不谋而合，显示出中国古代也存在对地球形状的独立思考。

毕达哥拉斯认为圆形轨道是完美的，因此天体必定是围绕圆形轨道运行，但开普勒证明地球绕太阳是按椭圆形轨道运行的。现在看来，毕达哥拉斯设想的宇宙模型是荒诞的，但这毕竟是人类关于宇宙模型的最早构思，对于启发后人的研究，还是有积极意义的。

后世学者曾对算术、几何、音乐、天文四大领域在毕达哥拉斯学说中的地位作过有趣的概括，即：算术是数的本身，几何是空间中的数，音乐是时间上的数，天文是时空里的数。

“万物皆数”的哲学观念

毕达哥拉斯用数学研究乐理，由此所产生的“和谐”的概念。在和谐的基础上又产生了秩序，例如，天体之间的和谐产生了宇宙秩序。推而广之，他认为数学可以解释世界上的一切事物，对数字痴迷到几近崇拜；而终极的概括则是所谓“万物皆数”(all things are number)的观念。即：一切现存的事物最后都可以归结为数的关系。他把数这种不具形体的、普遍的、抽象的东西推崇成万物的本原。

这个学派对数的进一步解释有许多神秘的、穿凿附会的地方。他们把数说得神乎其乎，荒唐地用不同的数去比喻各种事物。比如毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。

这样的说法，今人看来是荒谬的。当然重视数学是对的，但不能走向极端。应该看到，是毕达哥拉斯首先把数学当作科学的基本方法，被尊称为“数学之父”。他的学说也有一些朴素的辩证法，他认为万物是由对立面组成的，比如：有限和无限，奇数和偶数，一和多，正方和长方等。

毕达哥拉斯将数学和哲学结合在一起，创立以数学为本原的学派——毕达哥拉斯学派，亦称“南意大利学派”，与爱奥尼亚学派（米利都学派等）的物质哲学不同。毕达哥拉斯学派的哲学是形式哲学。认为世界上一切都可以从数的和谐性和简单性中寻找到答案。这种使科学数学化的哲学启迪着后人对宇宙的认识。无论是文艺复兴之后，哥白尼的“太阳中心说”，还是近现代的万有引力和量子理论等，都可以看到毕达哥拉斯学派哲学的影响。

毕达哥拉斯哲学是以这样一个假定为基础的，即整数是人和物质的各种各样的性质之起因。这就导致对于数的性质的阐述与研究，并且同算术（作为数的理论）、几何学、音乐、球面学（天文学）一起，构成毕达哥拉斯研究计划的基本课程，称为四艺；再加上文法、逻辑和修辞学三科，是中世纪受教育的人必修的七门课。

毕达哥拉斯坚信，世界上的数字均可以用整数或者整数之比（即分数）来表示。但是毕达哥拉斯的学生之一希帕索斯(Hippasus)却发现，若根据勾股定理计算边长为1的正方形的对角线，其值（根号2）不能用任何一个整数之比来表示，这是人类发现的第一个无理数（无限不循环小数）。这一发现对毕达哥拉斯的 “万物皆数” 构成了打击——因后者是建立在整数 (或整数之比) 的基础上的。据说希帕索斯后被毕达哥拉斯的信徒们投海溺毙，或被逐出了学派。

然而像根号2这样的“无理数”存在的事实，却不可能一扔了之，由此引发了数学史上第一次危机，也带来了数学思想一次大的飞跃。认识无理数的存在告诉我们，矛盾的存在说明人的认识还具有某种局限性，需要有新的思想和理论来解释。我们只有突破固有思维模式的束缚，才能开辟新的领域和方向，科学才能够继续发展。科学无止境，认识无禁区，那些事先为科学设定条条框框的，最后将变成阻碍科学进步的阻力，必然被时代的所抛弃。

不过另一方面，毕达哥拉斯对数的抽象层面也并非一无所知。对这一点的佐证，是毕达哥拉斯率先对纯数学与应用数学作了区分 (这是他对数学的重大影响之一)，其中纯数学包括算术与几何，研究心智想象出的东西；应用数学包括音乐和天文，研究感官探知到的东西。由于数是算术的研究对象，因此这一区分表明毕达哥拉斯将数视为心智想象出的东西，从而具有抽象性。综合地看，毕达哥拉斯的数跟泰勒斯的水那样的“原始质料”相比，抽象度无疑高得多，甚至可视为数学研究对象抽象化的开端。

从毕达哥拉斯开始，希腊哲学开始产生了数学的传统。在毕达哥拉斯的学说中，既有一些可宝贵的科学知识，又有一些错误的东西。出现这种矛盾现象，主要是因为当时生产力和科学发展水平的限制。所以列宁称毕达哥拉斯学派是表现古代“科学思维的萌芽同宗教、神话之类的幻想的一种联系。”

最后，以毕达哥拉斯的几句名言结束这篇小传：

数学支配着宇宙。

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道什么。

别的动物也都具有智力、热情，理性只有人类才有。

友谊是一种和谐的平等。

要这样生活；使你的朋友不致成为仇人，使你的仇人却成为朋友。

愤怒以愚蠢开始，以后悔告终.

不要忽视你的身体的健康，饮、食、动作须有节。

不善拒绝，会使你经常成为一个不情愿的精神奴隶。

不能制约自己的人，不能称之为自由的人。

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