科学史札记之二

美国数学家、演员达妮卡·麦凯拉（Danica McKellar）说过，“数学是唯一一个真和美具有相同意义的地方”。

勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）的简洁性与普适性可谓数千年间科学理论的美学典范之一。勾股定理不仅是几何学中最古老、最著名的定理之一，它是古代测量与计算的通用工具、现代物理学与工程学的基石，

1 千年提升和拓展

   勾股定理是世界上拥有最多证明方法的数学定理（据统计右400种以上），是数学史中文化碰撞、工具创新与美学追求的自然产物。除了众所周知的赵爽和刘徽、毕达哥拉斯和欧几里得等人曾经致力于证明勾股定理以外，证明过勾股定理的名人还有婆什迦罗（印度）、达•芬奇、康熙（清朝皇帝）、惠更斯、詹姆斯·加菲尔德（美国前总统）、华蘅芳和少年爱因斯坦等，以及高中生发现的几个证明。

图1 《几何原本》中的毕达哥拉斯定理证明（左），欧几里得（右）

   以利沙·卢米斯著的《The Pythagorean proposition（毕达哥拉斯命题）》一书（1927年第一版，1940年第二版），收录了超过370种证明方法。例如，“矢量内积（Vector Dot Product, No. 359）方法”：把斜边向量c写成a+b，利用|a+b|²=|a|²+|b|²+2a·b与a⊥b⇒a·b=0，立即得到|c|²=a²+b²。卢米斯称之为“未来派证明”。（这里特别介绍“矢量内积”方法，是因为本博文后面将提到的量子“态矢量”存在类似勾股定理的结构）。

勾股定理因其优美、普适，除了吸引历史上各方面众多人士致力于探索新证明方法外，有更多人致力于发展其理念，拓展其应用领域。

古希腊哲学家柏拉图（Plato，约公元前427年-公元前347年）虽然没有完整证明过勾股定理，但在《曼诺篇》中通过苏格拉底与一个奴隶的对话，引导对方理解等腰直角三角形的斜边平方是直角边平方的两倍这一事实。这实际上是毕达哥拉斯定理在等腰直角三角形（两直角边相等）时的特例，即：c²=a²+a²=2a²。

毕达哥拉斯尤其对17世纪的一些科学家产生了重大的影响，如开普勒、笛卡尔和牛顿。

天文学家、数学家约翰尼斯・开普勒（Johannes Kepler，1571.12.21 - 1630.11.15）说过:“几何学有两个伟大的瑰宝：一是毕达哥拉斯定理,二是黄金分割”。

数学家勒内·笛卡尔（René Descartes，1596.3.31-1650.2.11）提供的工具（坐标系和代数方法）使得像勾股定理这样的几何定理的证明和应用，变得前所未有的简单、通用和强大,让勾股定理从 “几何定理”升级为“代数运算的基础公理”，提供了一个全新的、革命性的视角来理解和运用这个古老的定理，极大地拓展了其应用场景。例如，在笛卡尔坐标系下，容易将毕达哥拉斯定理推广到三维空间矢量（也称向量），并将其应用于小距离间隔，我们得到（图2）：ds²=dx²+dy²+dz²。随便说，威尔·杜兰特的巨著《世界文明史》将笛卡尔生活的时代，称为“理性开始的时代”（中文版第七卷）。

图2 笛卡尔坐标系、三维空间的矢量和勾股定理

物理学家、数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton,1643.1.4日-1727.3.31）,虽然没有直接证明或重新定义勾股定理，但他在开普勒定律推导中，用到了欧几里得几何（包括勾股定理）来计算行星轨道，在证明万有引力平方反比定律时，用勾股定理计算距离与力的几何关系。牛顿的微积分工具（如流数法）在推导曲线长度、曲面面积时，将勾股定理推广到无穷小三角形，曲线弧长s的“流数”（即微分）写成，是在无穷小直角三角形里用的勾股定理。

20世纪以来，勾股定理更成为连接经典几何与现代物理的核心桥梁。

1905年，阿尔伯特·爱因斯坦提出狭义相对论，三年后，赫尔曼·闵可夫斯基发现毕达哥拉斯定理可推广以包含时间-空间。

1917年，阿尔伯特·爱因斯坦发现质量扭曲了时空，广义相对论采用“局部恢复勾股定理、全局由曲率修正”的技术路线处理。

1925年，量子力学被发现，揭示了物质与我们看到的截然不同。若没有勾股定理建立的“平方和”度量框架，现代物理中对空间、时间、矢量及微观粒子状态的描述将失去数学基础。

在21世纪人工智能时代，勾股定理在机器学习的多个核心环节中，是底层数学逻辑的“隐形支柱”——从数据距离计算到模型优化，再到特征处理，其本质（向量的模长计算、平方距离度量）贯穿了机器学习的关键流程。勾股定理是连接“几何直观”与“机器学习数据度量”的桥梁，让抽象的高维数据有了可计算的“相似性标准”，以“欧几里得距离”“向量模长”“平方和”等形式，成为衡量数据相似性、优化模型损失、处理特征维度的核心数学工具。

这篇博文剩余部分聚焦勾股定理与现代物理两大支柱（相对论与量子力学）之间的关联。

2 相对论与勾股定理

   在狭义相对论中，洛伦兹因子（Lorentz factor）是一个关键的无量纲量，通常用希腊字母γ表示，它描述了在不同惯性参考系之间，时间、长度和质量如何变化，出现在狭义相对论的多个核心公式中，例如：Δt=γΔt₀（时间膨胀）、L=L₀/γ（长度收缩）。m=γm₀（相对论质量）。其中，Δt₀、L₀和m₀是静止参考系中观测到的时间间隔、长度和静止质量。Δt、L和m是运动参考系中观测到的时间间隔、长度和静止质量。洛伦兹因子的定义洛伦兹因子定义为：

其中，v是物体相对于观察者的速度，c真空中的光速（约3×10⁸m/s）。

2.1 利用勾股定理推导时间膨胀方程

下面我们介绍阿尔伯特・爱因斯坦（Albert Einstein，1879.3.14-1955.4.18）的光钟思想实验——在光速不变的前提下，只利用勾股定理，就可以推导出时间膨胀方程。

想象一个由两面相距d的平行镜子组成的光钟，光在镜子之间来回反射。设静止光钟的时间间隔为t₀，运动光钟的时间间隔为t，运动速度为v，光速为c。当这个光钟静止时，光只在垂直方向上移动，从一个镜面到另一个镜面路径ct₀=d。但如果光钟以高速v运动，相对于静止的观察者来说，由于光速是恒定的，光需要走更长的路径ct才能从一个镜面到另一个镜面。根据勾股定理（图3），可以得到：

这个公式就是著名的洛伦兹时间膨胀公式。它表明，当v接近c时，t会变得非常大，意味着时间几乎停滞。

图3 光钟思想实验（来源：根据网络图片改编）

   速度对洛伦兹因子的影响：当v<<c（低速情况）时，γ≈1，相对论效应可以忽略，经典力学适用。当v→c时，γ→∞，意味着时间膨胀和长度收缩效应变得非常显著，且物体的能量趋于无穷大，因此无法加速到光速。

爱因斯坦关于时间膨胀的预言已通过三类经典实验验证：μ 子衰变实验、原子钟环球实验（Hafele-Keating 实验）和粒子加速器实验。

2.2 能量和动量的“勾股定理”

在狭义相对论中，有一个把总能量E与相对动量p联系起来的表达式:

E²=p²c²+(mc²)²

其中各物理量的含义如下：

E：物体的总能量

p：物体的相对论动量

m：物体的静质量（静止时的质量）

c：真空中的光速（约 3×10⁸m/s）

有称之为能量和动量的勾股定理，或称相对论的E-p-m三角形。

图4 相对论能量和动量的勾股定理

该公式的关键推论：（1）当物体静止时（p=0），公式退化为著名的爱因斯坦质能方程 E=mc²，此时的能量即物体的静能。（2）对于光子（静质量 m=0），公式简化为 E=pc，表明光子的能量与其动量直接相关。

2.3 闵可夫斯基时空中的“勾股定理”

1905年爱因斯坦提出的狭义相对论认为：空间和时间是相对的（也就是说，它们依赖于测量它们的观察者的运动）——而光比二者都更基本。然而，爱因斯坦并没有完全完成这项工作。他没有立即得出空间和时间可以被视为单一四维时空结构的组成部分的结论。这一见解最早来自赫尔曼·闵可夫斯基（爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦理工学院学习时的数学老师）。

俄裔德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864.6.22－1909.1.12）,在1908年9月21日于德国科隆举行的第80届德国自然科学家和医生协会年会上，发表了题为《Raum und Zeit》（空间与时间）的著名演讲，宣称：“先生们！我即将向你们阐述的时空观…… 是革命性的。从今往后，空间自身与时间自身都注定要消失在纯粹的阴影中，唯有二者的某种结合才能保持独立的实在性”。

这场演讲的背景是当时物理学界对爱因斯坦狭义相对论的深入探讨。闵可夫斯基以其深厚的几何功底重新诠释了相对论，将时间与空间统一为一个四维连续体，通过引入时空度规（描述时空距离的数学工具）将狭义相对论的所有结论（如时间膨胀、长度收缩、质能关系等）统一到一个简洁的几何框架中。他的数学框架为后来广义相对论的发展奠定了基础，并彻底改变了人类对宇宙基本结构的认知。

闵可夫斯基和后来的研究人员利用勾股定理，结合正圆锥的解析几何，建立了与爱因斯坦的狭义相对论相关的四维时空连续统（闵可夫斯基空间）。我们在直觉上有一个巨大的飞跃，把时间看作是一种距离，我们就会得到闵可夫斯基对毕达哥拉斯定理的概括：

ds²=c²dt²-（dx²+dy²+dz² ）                  （1）

这里的“距离”概念被推广为时空间隔（spacetime interval），其数学形式与勾股定理高度相似。时空间隔是洛伦兹不变量，即所有惯性参考系中测量值相同，这是相对论的核心。四维闵可夫斯基时空通常以二维形式绘制，横轴代表“空间”（x代表(x,y,z)），纵轴代表“时间”（ct）。

图5 闵可夫斯基时空中的勾股定理

其中需要常数c来将单位从秒转换为米。这仍然只是几何，但也是物理！方程(1)告诉我们，宇宙中存在一种特殊的速度，其值必须独立于任何观察者自身沿x，y，z的运动，不可能，但却是真的！此外，由于麦克斯韦发现，我们知道这个量不仅仅是抽象的，而是实际事物的速度:电场(ε₀)和磁场(μ₀)或“光”中的三维振动。

爱因斯坦最初认为闵可夫斯基对他的理论的四维解释是“多余的知识”。然而，值得称赞的是，他很快改变了主意。时空语言（技术上称为张量数学）后来成为推导他的广义相对论的关键。

闵可夫斯基的四维时空概念，本质是一场“时空观的革命”：它用数学语言统一了空间与时间，为相对论乃至现代物理搭建了基础框架，同时重塑了人类对宇宙本质的理解。正如物理学家玻恩所言：“闵可夫斯基的工作是相对论发展中决定性的一步，它让爱因斯坦的思想从天才的直觉变成了坚实的理论大厦。”其影响至今仍在粒子物理、宇宙学、数学乃至人类认知的前沿持续发酵。

2.4 广义相对论与广义勾股定理

1917年，阿尔伯特·爱因斯坦发现质量扭曲了时空。勾股定理是狭义相对论里的“闵可夫斯基度量”，广义相对论则把这个度量变成动态的场方程。换句话说，广义相对论与勾股定理的关系，不是“直接引用”，而是“脱胎换骨”：把数千年来只在平直空间里成立的“勾股定理”升级成一种“会随物质能量而弯曲的时空度量”。

爱因斯坦的核心思想：引力不是力，而是时空几何。爱因斯坦描述广义相对论弯曲时空的数学工具是黎曼几何。在黎曼几何中，空间是弯曲的，勾股定理不再全局成立，但黎曼度量（ds² = gᵢⱼdxⁱdxʲ）可视为这就是弯曲时空里的“广义勾股定理”。这在某种意义上说，勾股定理从“三角形三条边的关系”→“平直空间的距离定义”→“闵可夫斯基时空距离”→“由能量-动量决定的动态几何”，实现了从静态工具到宇宙方程的飞跃。

3 勾股定理与量子力学

今年是联合国“国际量子科学技术年”。量子力学迎来100岁生日（1925年，海森堡提出了“矩阵力学”用矩阵描述微观物理量，1926年，薛定谔提出“波动力学”用微分方程描述微观粒子的“波函数”，1926年，玻恩提出“波函数”概率诠释，同年，狄拉克证明“矩阵力学”和“波动力学”两者的数学等价性，1927年，海森堡推导出“不确定性原理”，1928年，狄拉克建立“相对论量子力学”。1932年，冯•诺伊曼的《量子力学的数学基础》，将量子态视为希尔伯特空间中的向量，统一了薛定谔和海森堡的不同表述方法）。

量子力学已经成为现代技术社会的基石。它解释了原子为什么存在，恒星为什么发光，以及如何构建微芯片和超导体。没有它，我们就没有电脑，没有全球定位系统，没有现代医学。在抽象的数学结构层面，量子力学借用并拓展了类似于勾股定理所体现的几何思想。

1927年，英国数学物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac，1902.8.8–1984.10.20）提出量子“态矢量”标记法，用右矢|α>表示态矢量，左矢<α|表示其共轭矢量，<α|β>表示内积。对于正交的态矢量（相当于垂直的矢量），有一个非常类似勾股定理的关系：设|ψ₁> 和|ψ₂> 是两个正交的态矢量（内积<ψ₁|ψ₂> = 0），它们的叠加态为|Ψ> = |ψ₁> + |ψ₂>，那么，

‖Ψ‖² =  ‖ψ₁‖² + ‖ψ₂‖²

这形式上完全类比于勾股定理：叠加态“长度”的平方（概率幅的模方，代表总概率）等于两个正交分量“长度”平方之和（‖v‖表示范数，矢量的“大小”或“长度”，定义为：‖v‖= <v|v>，即范数是 “矢量与自身内积的平方根”）。

图6 量子力学中的正交态矢量的叠加

量子态叠加是量子力学的一个基本原理。1928年，狄拉克曾经指出：“在一个量子系统中，当两个或更多的状态利用波粒二象性原理结合时，就会发生叠加”。正如物理学家费恩曼在1965年所言，“这意味着一个量子粒子，比如一个电子，可以同时以多种能量状态存在。例如，考虑一个既可以是正面也可以是反面的硬币。在经典物理学中，硬币非此即彼，但在量子力学中，它可以同时以头和尾的叠加形式存在”。

量子力学叠加原理有时用狄拉克符号更一般表示：|Ψ> =α₁ |Φ₁> + α₂|Φ₂>+α₃|Φ₃>+…。这里，|Ψ> 是叠加态，|Φ_i>是本征态（也称基态），α_i是复数系数，表示系统处于本征态|Φ_i>的概率幅。矢量的范数(=长度)为：‖Ψ>‖² =|α₁|² + |α₂|²+|α₃|²+…。这看视为勾股定理的推广形式。

“测量”是量子力学另一个基本原理。在量子测量中，测量结果对应于某个可观测量的本征值，测量后的态会“坍缩”到相应的本征态上。不同结果对应的本征态是正交的。这与勾股定理中直角边相互“垂直”（正交）的概念对应。在量子力学赖以建立的数学框架（希尔伯特空间）中，正交态矢量满足模平方可加性，这并可以被视为勾股定理在无限维函数空间中的一种推广和抽象化。

所以，量子力学继承并极大地拓展了勾股定理背后的核心几何思想——特别是关于正交性和空间结构的数学思想——用以构建描述自然界最底层运行规律的理论。它们代表了人类用数学理解世界的更高的层次和阶段。

4 结语

勾股定理的永恒魅力，不仅在于它是精准高效的计算工具，更在于它开创性地提供了一种范式——将抽象的空间关系，转化为严谨可推导的数学语言。

   这一定理的影响力，从二维平面中直角三角形的边长关系出发，不断突破维度与领域的边界：它是欧几里得几何中奠定了形式逻辑体系的完美范例， “逻辑推理” 的原初象征，它既是描述相对论时空结构的关键数学支撑，也是解析量子态空间的重要基石，更成为现代科学研究中不可或缺的“核心工具箱”。在人工智能与机器学习领域——高维空间中的欧氏距离计算，无论是K-means聚类算法对数据簇的划分，还是SVM（支持向量机）核函数对特征空间的映射，本质上都依赖于勾股定理的推广与应用。这种贯穿基础数学、理论物理与前沿技术的普适性，让勾股定理成为名副其实的“跨越时空的数学瑰宝”。

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