根据张老师的评语， 接着上一篇博文， 我们继续讨论比热和熵的优略问题, 不对的地方请张老师和读者批评指正。 

比热能不能解决吸热问题？只能在特定条件下解决吸热问题， 全面解决吸热问题的正是熵。我们从一个具体问题谈起。   

一. 不同加热过程中水吸收的热量

我们知道

1）  1大气压下一杯水从10°烧到20°， 水吸收的热量为

     Q₁=∫ C₁(t)dt     （1） 

 （积分限为 10°到20°， C₁(t)是1大气压温度为t时的比热）。      

2） 两个大气压下一杯水从10°烧到20°， 水吸收的热量为

       Q₂=∫C₂(t)dt     （2）

问题来了， 请问我们能不能说

3）一杯水温度从10°匀速增加到20°，同时气压从1大气压匀速增加到2大气压， 吸热为

          Q₃=∫C_p(t)dt     （3）

其中压强p是随温度变化

p=p(t)=t/10， 

例如温度为10°时， 压力为1大气压，               

                15°时,   压力为1.5大气压，                 

                20°时， 压力为2大气压，等等

公式（3）的含义是， 温度从t升高到 t+dt时， 压力同时从p升高到p+dp， 我们用压力为p时的 Cp(t) 

作为这一小区间上的比热计算吸热，这正是微积分的基本思想呀。    

当我们精确研究这个问题时， 比热完全输给了熵。 

二. 比热的优点

如果公式（3）计算的吸热是正确的，那么确实没有熵什么事情了，有比热就完事了。 

那么公式（3）计算的吸热对不对呢？ 粗略来说， 公式（3）是对的。 

人们刚定义水的比热的时候， 以为水升高1°吸热是相同的， 后来发现从20°升高1°， 和从40°升高一度

能量略有区别，后来又发现， 一个大气压下和两个大气压下比热略有区别， 如果忽略掉这种细微区别， 

水的比热在0°-100°， 在人们容易遇到的压力范围内， 比热几乎为常数，即1千克水升高1°吸热1千卡。 

这当然是一件人见人爱的大好事。 

在压力一定下，水的比热几乎不随温度变化， 这是一个不好解释的现象，只能接受这个事实，但比热随着压力的变化

很小， 这是因为一个大气压变为两个大气压， 水的压缩非常小， 几乎观察不到。 水要有可观察的压缩， 

大气压少说得100个。 一句话， 水的比热是一个人见人爱的有相当精确的常数。

不光是水， 很多物质铜铝煤油酒精的比热都有类似的常数性质。 

从实际计算的角度来书， 如果要计算过程3）的吸热，无论用上面公式（1）（2）（3）都没有问题， 这是不需要熵的。 

但是如果大气压不是从一个大气压升为两个大气压， 而是从100个升为200个，这里面就有根本性的问题， 

其问题来自于一种出冷汗现象。 

三. 出冷汗现象

如果一个人烤火， 他就觉得暖和， 再烤， 就会出汗， 这是正常出汗。如果受到惊吓， 会出冷汗。 还有吃辣椒以后， 

也会浑身发热。  

在精确计算过程3）的吸热之前， 我们来计算另外一过程

4) 在一大气压下把一杯10°的水升温到20°， 然后维持温度不变， 压力从1大气压升为2大气压， 计算水的吸热。 

答：第一步，一大气压下吸热

        Q₄₁=∫C₁(t)dt     （3）

    第二步等温压缩， 吸热

         Q₄₂ = T（S2-S1） = （20+273）（S2-S1）       （3）

吸热为负数， 实际上是放热，在压力增高时， 如果是绝热过程， 则水的温度升高， 如果维持温度不变， 

则要释放热量， 这就是出冷汗现象， 这是比热不能描写的。

四, 变压加热过程的精确计算

现在完整地计算过程3）的吸热，这时一杯水温度从10°均匀增加到20°，同时气压从1大气压均匀增加到2大气压。 

根据热力学基本方程

dU=-PdV+TdS

过程的总吸热

Q3=」TdS

熵是状态（T，P）的函数

S=S（T， P）

温度从t升高到 t+dt， 压力从p升高到p+dp的微小过程中，

dS =  （эS/эT) dT +（эS/эP)dP

    =    Cp(T)/T dT +（эS/эP)dP

dQ=TdS  =   Cp(T) dT  + T（эS/эP)dP

 温度升高导致的吸热为第一项， 压力升高导致的吸热为第二项， 整个过程3）的吸热为

Q3 = 」TdS  = 」 Cp(T) dT +  」T（эS/эP)dP

这就比公式（3）多出了一项， 就是所谓的出冷汗项。

根据麦克斯韦关系， 出冷汗项可以用定压热膨胀系数表示

」T（эS/эP) dP = -」T（эV/эT)_P dP.

 出冷汗项当然是实验测量过的， 熵随压强（或体积）的变化， 也是根据实测吸热计算出来的。

没有熵， 就不能解决出冷汗问题， 即等温下物质压力变化引起的吸热。 

熵全面的解决了物质的吸热问题，包括两部分， (1)比热回答了压力不变温度升高引起的吸热， (2)出冷汗项描写

温度一定压力变化引起的吸热。 

五, 熵的优点

熵是一个几乎守恒的量。 在不可逆过程中，熵可以产生，但不可以减少。

在可逆过程中， 熵既不可以产生， 也不可以消失， 是一个守恒量（只是大家一般不这么叫）。在理论上，

研究可逆过程较多。  

物质在绝对零度时本没有熵， 物质吸热后温度升高， 吸收的热量含有熵， 于是常温的物质就含有熵。

当物质放热时， 熵同时被排出。 

根据热力学基本方程，当物质的状态发生一个微小的变化时， 其吸热总是

dq=TdS， 

无论是定压 定容或者不定压也不定容。

定压比热转而可以由熵定义, 在压力不变时熵随温度的变化率和温度的乘积

C_p(T)=T（эS/эT)p

熵是基本量， 是客观的存在， 比热是导出量。 

比热是一个近似的常数， 熵却是几乎守恒的量， 二者在擂台单挑， 比热哪有胜算。 

俗话说， “一朝天子一朝臣”， 比热作为热素论时期的‘重臣’， 随着热素论被淘汰，热不再单独守恒，其风光不再， 

让位给几乎守恒的新概念（熵)， 是很自然的事情。  

“古调虽自爱， 今人多不谈。”