科学爱好者的数学探寻与认知
鲍海飞 2023-02-01
没有想象的世界,世界无法想象,两者都是难以想象的。如何理解这个世界?通过何种方式认知这个世界呢?
现代教育使得我们快速地掌握了现代科学知识和体系。数理化更是我们认知世界和创造的重要学科和工具。数学无疑是所有学科中至关重要和必不可少的学科,是一个基础性的工具和学科。数学研究的源头在哪里?数学研究的目的是什么?数学的根本是什么?如果我们能够回答这三个问题,我们就会对数学有更深入的了解和认知。
数学始于计数与交易。历史记载,大约公元前3000年,古印度就有数字的记载和使用,并且有十进制的计算方法。公元3世纪,古印度的一位学者发明了阿拉伯数字。或许,这涉及到最原始的统计与管理方式。一个团体、家族的成员构成,打猎收获了几只动物等。我们需要用石子或者搬着手指头来计算,心中的一一对应和映射概念就逐渐产生了,难以言说的‘抽象’开始了,自然数随之出现。拉丁词汇‘计算’就是关于‘石子的处理’(The latin word ‘calculation’ means ‘ a handling of pebbles.)。从这个角度来说,数学属于自然。而当交易出现时,美丽的贝壳与一颗樱桃成了美丽的交换,则发生了入与出,借与贷的问题,正、负数应运而生。猎物的分配,食物的分配,化整为零,分数显现了。交易的过程中,一个重要的事实是,字母的出现,为现代科学的形成奠定了基础,它简洁明了,指代清晰。希腊人在公元前12世纪左右,从腓尼基商人那里学到了闪米特字母体系,经过不断简化,使之方便使用。这构成了现代英语、俄语、阿拉伯语等字母体系的基础。
数学始于丈量与观测。领地的概念,是一个有趣的事实。大型动物都有领地的概念。土地的占有、土地的分封与土地的丈量与分配有直接关系。土地的大小对应财富的多少。古时,人类一旦发现动植物生长的奥秘,一旦发现了季节循环往复的现象,那么他就有可能去观察,寻找如何去培育繁育,而不是坐享其成。夜晚繁星的降临无疑是人类仰望星空最大的好奇和最大的困惑。困惑和兴趣相伴而生,观察和掌握自然运行的规律就开始了。古埃及人根据天狼星的出现便开始了春耕活动,古希腊人痴迷于巴比伦人的占星术,中国5000年前就有‘立竿见影’(圭表)用以计时。‘周期’、‘太阳历’应运而生,祭祀活动以及‘神秘’学开始了,规律也就掌握在某些人的手中,智慧与文明渐渐而来。公元前古希腊人、天文学家帕恰斯为了测量天球上的角度和距离,开创了三角学。正弦(sine)一词始于15世纪的阿拉伯人雷基奥蒙坦(1464年,著作《论各种三角形》)。余弦和余切(cosine,cotangent)为英国人根日尔在1620年他的《炮兵测量学》中出现。后来又产生了正割、正切、余割等函数标识。最后经过逐步简化,欧拉在1748年引用,才得到推广使用。勾股定理也就自然而然出现了。三角函数踏上了科学的征程。
数学始于音乐与图形。当伽利略从路过的铁匠铺听到了悦耳的铁锤击打声音之后,亦或从琴弦的美妙音色中,悟出了万物皆数的道理之后,科学探索之路便开始了。后来,许多著名的科学家都对‘弦’论产生了兴趣并进行研究。以数生数造就了绚烂的数字世界。数学是人抽象和构造的模拟工具,因而在数学内部发现存在的规律是不足为怪的。比如所谓的斐波那契数列 1 1 2 3 5 8 之类的存在,这个数列又与自然中存在的许多结构和数相关。如,这一数列跟什么花瓣数对应等等,以及黄金分割数的构成都可以由此构造出。从自然数构造出无理数(姑且如是说)是数学史上的奇迹,是毕达哥拉斯学派发现的,他们发现:‘平方数不能由两个相等的平方数构成(注:这里的平方数是指自然数)(no ‘square’ number can be broken up into two equal square numbers. √(12+12)=√2)’。无理数的出现,一开始,让人不知所措。但后来,这无疑扩大了人的眼界和认知。无理数是无限不循环的数,其内在深意有许多东西值得品味。数学的产生与图形有更加密切的联系,因为它更加直观,可作为信息的载体与传递。据说,一个腓尼基木匠,一次外出干活,忘记携带一个工具,遂拿起刀具在一个木板上刻下某个图案,让助手携带回家交给妻子去取。助手回家将刻有图案的木板交给木匠的妻子,那木匠的妻子立刻拿了工具交给助手。助手大为惊讶。后来,许多人像木匠学习,木匠将他的各种图案记号传授给大家,后该方法广为流传。非整数维度,也就是分形的发现,是一个重要的自然认知过程。1890年,意大利数学家皮亚诺,对一条直线进行某种规则下的拆分和迭代,发现了一个奇妙的图形世界,利用一条曲线就能够填满一个正方形。这似乎意味着,这条曲线就是一个正方形。由此,人类逐渐发现了上帝的指纹,自然万物自我重复构造的密码。如雪花、树木、山峦的构造。以及曾经名噪一时的英国海岸线有多长的问题等。分形的方法为动画设计等提供了新的视角。
数学始于想象与逻辑。所谓客观法,就是从看到的、听见的、感知到的,然后经过人类加工,构成了我们的认知,就是‘形而上’之途径。从这一点说,数学的起源是个形而上的学科。但若从另外一种角度出发,就是完全从假设、公设、人为假定的公理开始的研究,那么就属于从逻辑学的研究为起点。古希腊时芝诺(Zeno)就曾经这样假想,若一个空间一定置于另一个空间之内而存在,那么,就可以‘递归’推测出空间是无限的。芝诺的另一个著名悖论是阿吉里斯与乌龟赛跑的故事。无论阿吉里斯跑得怎样快,都永远无法追赶上乌龟。《庄子》里记载了‘一尺之棰,日取其半,万世不竭’。无限分割、极限之类的问题应运而生。或云,诡辩之数已成,辩证辩论开始。这无疑更需要高度的抽象思维来完成,自然也是某种‘形而上’之路。
数学始于工程与创造。付利叶级数在科学史上占有重要的地位,是数据时域频谱分析等方面的重要方法和工具。当初,就是因为付利叶跟随拿破仑出征,拿破仑要了解大炮发射炮弹的可靠性,于是让他来研究。后来,付利叶从热学温度的传导研究开始,得到了当时颇有争议而著名的付利叶级数。同样,牛顿三大定律也是根据实际需要进行的研究而获得的发现。如为了了解炮弹能够弹射多远,物体下落的速度、作用力与反作用力等。为了了解速度的变化,微积分的概念自然而然就出现了。微积分成为现代科学分析的重要工具。
人类认知自然的过程就是不断的发现、想象、抽象和创造的过程,一旦发现了某个现象,人们就会去找数学、用数学来嵌套,构建模型解析。即便如简单的胡克定律和欧姆定律。从这方面来说,数学是最佳的唯一的工具选择。此外,没有其它路。
对数学的认知过程,也就是,人类如何用他自己的尺度和方式来理解自然的过程。“宇宙中最不可理解的事情就是,这一切居然是可以理解的!”爱因斯坦如是说。这个理解,就是用数学来理解。
数学是人类的记帐本,数学是宇宙的推演机。古希腊先贤毕达哥拉斯道出了万物皆数的道理。人类的智慧就是不断的用数学来构造。当数字太大或者太小,难以一一细列,于是科学计数法诞生了。再大的数都不再可怕。人们也很无奈,构造了√-1这样的东西,虚数产生了。从此,实数不再孤单,包含虚数的坐标诞生了。无意中,这契合了中国古老的阴阳虚实哲学思想。人们发现,虚数的使用带来了很多方便,比如,欧拉巧妙的定义了虚数(复数)与三角函数的关系,还有快速付利叶变换,乃至解析函数,无线电、物理学等领域中都用到了它。但,虚数的产生让人感觉到了无奈,它的物理意义到底是什么?至今,这还是人们探索的问题。
数学的演变,从不知不觉,到渐知渐觉;始于简单,至于复杂;始于具体,至于抽象。试错,重复,再错,再试。这就是研究的过程。一旦有了模型,数学便是一种重要的统计、计算、设计和模拟的工具,更重要的是,它能指导预言一定的趋势和发展方向。
一个热爱科学的人,一个仔细深研科学的人,他越研究,就越感觉数学的奥秘与神奇。数学为我们缔造出了一个生动、完美、自由的世界,它又为我们呈现出一个质朴、纯真、虚灵的魔幻世界。没有天马行空的思想,又哪里会有脚踏实地的探索。在探索的路上,哲学是启蒙的智者,科学是率真的圣徒。哲学是思想的先行者,科学是自然的探索者。
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