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对偶

2020-2-2 17:54

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标签：统计物理, 数学物理

对偶 (Duality) 是统计物理，场论，乃至弦论里极为重要和深刻的观念。通过对偶操作，将模型之强弱相互作用相联系是一种重要的理论手段。本文通过一个求和问题对这一观念进行简单演示，期望可以透露出一点对偶观念的奇妙味道。

考虑如下模型：

$Z(K)={K}^{1/4}\sum ^{\infty }_{n=-\infty } {{e}^{-\pi K{n}^{2}}}$ (1)

其中，K代表耦合强度。为求解之，我们将利用泊松求和公式 (Poisson Sum)。下边我们先证明泊松求和。

我们写出：

$\sum ^{\infty }_{n=-\infty } {\delta (x-n)}=\sum ^{\infty }_{m=-\infty } {{e}^{i2\pi mx}}$ (2)

此式是一个傅里叶级数 (Fourier Series)。左侧狄拉克 delta 函数和定义了一个周期为1的函数，写出其复形式的傅里叶级数即得右侧。

将(2)式两侧同对函数 f(x) 在 [-∞,∞] 积分，得：

$\sum ^{\infty }_{n=-\infty } {f(n)=\sum ^{\infty }_{m=-\infty } {\int ^{\infty }_{-\infty } {{e}^{i2\pi mx}f(x)}}}\, dx=\sum ^{\infty }_{m=-\infty } {F(2\pi m)}$ (3)

其中，F(k) 是 f(x) 的傅里叶变换 (Fourier Transform)。此即泊松求和公式。

现在回到我们的模型(1)。我们有:

$f(x)={e}^{-\pi K{x}^{2}};\, \, \, \, \, \, F(k)={K}^{-1/2}{e}^{-\frac {{k}^{2}} {4\pi K}}$ (4)

利用(3)，得：

$Z(K)={K}^{1/4}\sum ^{\infty }_{n=-\infty } {{e}^{-\pi K{n}^{2}}}={K}^{-1/4}\sum ^{\infty }_{m=-\infty } {{e}^{-\pi {K}^{-1}{m}^{2}}}=Z({K}^{-1})$ (5)

这里，D(K)=1/K，D代表对偶操作，显然满足：D(D(K))=K. 对偶操作将耦合强度 K 变为 1/K，实现强弱对偶。而(5)：Z(K)=Z(D(K)) 显示了我们研究之模型的对偶对称 (Duality Symmetry)。

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