1. 多年以前，观看电影《美丽心灵》，其中有一个片段印象很深。那是年迈的约翰.纳什(J.Nash)在普林斯顿大学图书馆里工作，一位青年认出他来，并发现他正在研究一个称为黎曼猜想(Riemann Hypothesis)的数学问题。青年问：“您刚刚解决了黎曼猜想吗？”纳什回答：“证明只在特定情形下成立，所以，没有，不过我相信我在取得进展。”
纳什是一位极具才华的数学家，以至于其导师在推荐信中，只需要一句话"He is a mathematical genius"（他是个数学天才）。与电影描述的不同，真实生活中，纳什是在麻省理工学院工作期间开始患上了妄想症。期间，纳什开始研究黎曼猜想，并宣称自己有了一个全新的想法，然而在关于新想法的报告会上，人们发现其报告完全经不起推敲，已经失去了天才思维的光泽，之后，纳什开始饱受妄想症的折磨。
2. 2018年9月，著名数学家，年已89岁的迈克尔.阿蒂亚(M.Atiyah)爵士登上海德堡论坛，此前他宣布自己证明了黎曼猜想。在45分钟的报告中，阿蒂亚爵士尝试用一种“简单而全新”的反证法解决黎曼猜想。阿蒂亚爵士有着辉煌的职业生涯，他获得了菲尔兹奖和阿贝尔奖，这是数学界的至高奖项，因此，这个报告可谓举世瞩目。然而，报告结束后，是令人尴尬的沉默，没有数学家愿意公开评论。从数学界的反映，已可看出这个插曲的悲观色调。三个月后，2019年1月，阿蒂亚爵士去世。
3. 据说，有人曾问著名数学家大卫.希尔伯特(D.Hilbert):“如果您沉睡了五百年后醒来，那么您最想干什么？”希尔伯特说：“我想问是否有人证明了黎曼猜想，我太想知道了。”
另一则故事。希尔伯特的一个学生宣称自己证明了黎曼猜想，然而，希尔伯特在学生的论文里发现了一个漏洞，不过证明方法是美丽的，希尔伯特希望可以和学生一起沿着这个方法做下去。
可惜，学生在次年因病去世，希尔伯特非常悲伤，他请求在学生的葬礼上致悼词。当天，大雨滂沱，希尔伯特开始致辞：“这样一个有才华的孩子，这么年轻离我们而去真是太可惜了”，家属们悲声一片。接着，希尔伯特说：“这个孩子的证明虽然有问题，但是，若我们沿这个方法走下去，应该能证出黎曼猜想”，家属一片痛哭，哭声中，希尔伯特继续热情地说：“接下来，让我们考虑一个单变量的复函数......”
4. 哈代(Hardy)是一位著名的数论学者，在黎曼猜想上做了极重要的工作。有一次假期，哈代去丹麦和数学家波尔(H. Bohr)(物理学家尼尔斯.波尔的弟弟)讨论黎曼猜想。之后返回剑桥，需要坐船。不幸的是，此时只剩一只小船可坐了。一叶小舟渡过茫茫大海，显然很危险。其他人都开始祈祷上帝保佑，可是，哈代是不信上帝的。那么，哈代做了什么呢？他马上给波尔发了一封简单的明信片，上边只有一句话：“我证明了黎曼猜想”。
之后，哈代乘船顺利回到了剑桥。哈代为什么要这么做呢？他事后解释说：“如果小船沉没了，人们就只好从明信片相信我证明了黎曼猜想。可是我这样一个不信上帝的人，上帝是不会把这么大的荣誉给我的，因此上帝一定不会让小船沉没。”
5. 前文里提到的这个神秘的黎曼猜想究竟是什么呢？黎曼猜想是德国数学家伯恩哈德.黎曼(B. Riemann)在1859年提出的一个猜想。黎曼是历史上最伟大的数学家之一，在短短40年的人生中，黎曼著作不多，然而，黎曼的每一篇论文都极为深刻，充满了原创性的洞见。
1859年，黎曼发表了论文 "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einergegebenen Grosse"(论小于某给定值的素数的个数)。这是一篇光辉的文章。文中，黎曼提出用复变函数的方法研究数论，黎曼研究了黎曼zeta函数(ζ函数)，该函数与素数的分布之间有着深刻的联系，在此过程中，黎曼提出了黎曼猜想：
黎曼ζ函数所有的非平凡零点分布在复平面实部为1/2的直线上。
大多数数学家会同意，黎曼猜想是至今仍未解决的最重要的数学猜想，其证明或证否，将是一个数学家可能想象的最高荣耀。
6. 在黎曼之前，欧拉(Euler)发现了欧拉乘积公式：
(1)
这里，右侧的连乘对于所有的素数进行，而左侧的级数，正是黎曼ζ函数的级数表达式，只收敛于Re(s)>1。从欧拉乘积公式，已经可以看出黎曼ζ函数与素数问题之间存在着联系。
7. 在1859年的论文中，黎曼也是从(1)开始研究的。然而，不同于欧拉，黎曼将ζ函数解析延拓到了整个复平面上，黎曼ζ函数是一个只在s=1有一个简单极点的亚纯函数。
黎曼的延拓依赖于一个ζ函数满足的函数方程(Functional Equation)。下文中，我们给出该方程的两种推导。这两种方式均见于黎曼的论文中。黎曼ζ函数之函数方程：
(2)
由该方程，黎曼将ζ函数从Re(s)>1解析延拓至除了单极点s=1外的复平面。并且，由(2),我们立即知道s=-2n,n=1,2,...是ζ函数的(平凡)零点，这是因为(2)中正弦函数的性质。注意，s=0和2n,n=1,2,...也是正弦函数的零点，然而，由于其对应的ζ(1)和Γ(1-2n)的奇异性，我们不能判定它们是ζ函数之零点，实际上，这些点不是零点(由欧拉的证明ζ(2)=π2/6已可知道)。
方法一：
在《从阶乘说开去》一文里，我们已经得到：
(3)
此式即为黎曼ζ函数的积分表示。
由(3)出发，我们研究如下积分：
(4)
显然，被积函数有简单极点：zm=±i2πm,m=0,1,2,...; 支点：z=0,∞;我们在正实轴引入割线,将多值函数限制在黎曼面之一叶（上下岸位相分别为0和2π）。积分路线C起自割线上岸之正无穷，经原点附近时沿逆时针方向，以无穷小半径旋转（将极点zm=±i2πm,m=1,2,...排除在外）至割线下岸，继续沿割线下岸至正无穷。
在Re(s)>1时，容易知道无穷小圆之积分为零。则有：
(5)
其中，利用了(3)。现在，利用伽马函数的性质：Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs),得到：
(6)
另一方面，由于积分在|z|→∞趋于零，我们可从无穷远处封闭积分路线C而构成封闭路线，该环路逆向包围了被积函数除去原点外的所有极点：zm=±i2πm,m=1,2,...;利用留数定理(Residue Theorem)，有：
(7)
现将(7)代入(6)，立即得到函数方程(2)。
方法二：
对欧拉的伽马函数略作变形，我们考虑：
(8)
若在两边同时求和n，则有：
(9)
其中，利用了ζ函数的级数定义，并定义了：
(10)
从《对偶》一文，我们知道，利用泊松求和公式(Poisson Summation Formula)，我们有：
(11)
利用(11)，易得：
(12)
我们对(9)做如下演算：
(13)
最后一行看出，该式具有s和1-s的对称，因此：
(14)
现在，利用伽马函数的性质：Γ(z)Γ(z+1/2)=21-2zπ1/2Γ(2z)，有：
(15)
将(15)代入(14),并利用Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz)，立即得到函数方程(2)。
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