用48个魔方体会“魔方和Oh点群”

         如果你手头有48个处于复位状态的(新)魔方，按照我给出的48个操作序列，你就真的可以把Oh点群玩弄于股掌之上了。学，用，玩，玩的境界最高。今天先用48个魔方来玩Oh点群。

        Oh点群有48个元素，8个C3轴，6个(平行于面对角线)C2轴，6个C4轴，3个C2轴，6个S4轴，8个S6轴，3个h镜面，6个d镜面，1个中心反演，1个单位元素，总共48个点群元素。立方体的最高对称性就是Oh点群。

        用48个魔方，表示Oh点群，一个魔方表示一个点群元素。看得见，摸得着。

 1-e(B2URL’B2LR’UB2)=B2URL’B2LR’UB2

魔方展开和方位图

         左图的边块置换三角形由操作序列B2URL’B2LR’UB2=T₀产生，我把它标注为e魔方，对应单位元素。这个三角形用T₀产生，操作1次；如果要消除它，也可以用T₀来操作，但需要2次。下面用Oh的47个点群元素操作T₀后，得到了47个新的操作序列，产生的图案和Oh的47个点群元素一一对应。

 2-C4[100](B2URL’B2LR’UB2)=B2RDU’B2UD’RB2

点群元素C4[100]可以把左边的三角形转动到R面，即绕X轴转90°，到R面。我用点群元素C4[100]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2RDU’B2UD’RB2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4[100]魔方。

 3-C4[010](B2URL’B2LR’UB2)=D2BRL’D2LR’BD2

点群元素C4[010]可以把左边的三角形转动到B面，即绕Y轴转90°，到B面。我用点群元素C4[010]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2BRL’D2LR’BD2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4[010]魔方。

  4-C4[001](B2URL’B2LR’UB2)=R2UFB’R2BF’UR2

点群元素C4[001]可以把左边的三角形绕Z轴转90°，三角形仍然保留在U面。我用点群元素C4[001]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2UFB’R2BF’UR2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4[001]魔方。

 5-C4^3[100](B2URL’B2LR’UB2)=B2LUD’B2DU’LB2

点群元素C4^3[100]可以把左边的三角形转动到L面，即绕X轴转270°，到L面。我用点群元素C4^3[100]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2LUD’B2DU’LB2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4^3[100]魔方。

 6-C4^3[010](B2URL’B2LR’UB2)=U2FRL’U2LR’FU2

点群元素C4^3[010]可以把左边的三角形转动到F面，即绕Y轴转270°，到F面。我用点群元素C4^3[010]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2FRL’U2LR’FU2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4^3[010]魔方。

7-C4^3[001](B2URL’B2LR’UB2)=L2UBF’L2FB’UL2

点群元素C4^3[001]把左边的三角形绕Z轴转270°，三角形仍然保留在U面。我用点群元素C4^3[001]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2UBF’L2FB’UL2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4^3[001]魔方。

 8-C4^2[100](B2URL’B2LR’UB2)=B2DLR’B2RL’DB2

点群元素C4^2[100]可以把左边的三角形转动到D面，即绕X轴转180°，到D面。我用点群元素C4^2[100]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2DLR’B2RL’DB2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4^2[100]魔方。需要提醒的是，C4^2[100]= C2[100]，是Oh点群的2次轴。

 9-C4^2[010](B2URL’B2LR’UB2)=F2DRL’F2LR’DF2

点群元素C4^2[010]可以把左边的三角形转动到D面，即绕Y轴转180°，到D面。我用点群元素C4^2[010]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2DRL’F2LR’DF2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，标注为C4^2[010]魔方。需要提醒的是，C4^2[010]= C2[010]，是Oh点群的2次轴。

 10-C4^2[001](B2URL’B2LR’UB2)=F2ULR’F2RL’UF2

点群元素C4^2[001]把左边的三角形绕Z轴转180°，三角形仍然保留在U面。我用点群元素C4^2[001]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2ULR’F2RL’UF2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C4^2[001]魔方。需要提醒的是，C4^2[001]= C2[001]，是Oh点群的2次轴。

 11-C3[111](B2URL’B2LR’UB2)=D2RFB’D2BF’RD2

点群元素C3[111]可以把左边的三角形转动到R面，即绕[111]轴转120°，到R面。我用点群元素C3[111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2RFB’D2BF’RD2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3[111]魔方。

 12-C3[11-1](B2URL’B2LR’UB2)=L2BDU’L2UD’BL2

点群元素C3[11-1]可以把左边的三角形转动到B面，即绕[11-1]轴转120°，到B面。我用点群元素C3[11-1]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2BDU’L2UD’BL2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3[11-1]魔方。

 13-C3[-111](B2URL’B2LR’UB2)=R2BUD’R2DU’BR2

点群元素C3[-111]可以把左边的三角形转动到B面，即绕[-111]轴转120°，到B面。我用点群元素C3[-111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2BUD’R2DU’BR2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3[-111]魔方。

 14-C3[1-11](B2URL’B2LR’UB2)=R2FDU’R2UD’FR2

点群元素C3[1-11]可以把左边的三角形转动到F面，即绕[1-11]轴转120°，到F面。我用点群元素C3[1-11]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2FDU’R2UD’FR2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3[1-11]魔方。

 15-C3^2[111](B2URL’B2LR’UB2)=L2FUD’L2DU’FL2

点群元素C3^2[111]可以把左边的三角形转动到F面，即绕[111]轴转240°，到F面。我用点群元素C3^2[111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2FUD’L2DU’FL2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3^2[111]魔方。

 16-C3^2[11-1](B2URL’B2LR’UB2)=U2LFB’U2BF’LU2

点群元素C3^2[11-1]可以把左边的三角形转动到L面，即绕[11-1]轴转240°，到L面。我用点群元素C3^2[11-1]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2LFB’U2BF’LU2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3^2[11-1]魔方。

 17-C3^2[-111](B2URL’B2LR’UB2)=U2RBF’U2FB’RU2

点群元素C3^2[-111]可以把左边的三角形转动到R面，即绕[11-1]轴转240°，到R面。我用点群元素C3^2[-111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2RBF’U2FB’RU2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3^2[-111]魔方。

 18-C3^2[1-11](B2URL’B2LR’UB2)=D2LBF’D2FB’LD2

点群元素C3^2[1-11]可以把左边的三角形转动到L面，即绕[1-11]轴转240°，到L面。我用点群元素C3^2[1-11]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2LBF’D2FB’LD2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C3^2[1-11]魔方。

 19-C2[110](B2URL’B2LR’UB2)=L2DFB’L2BF’DL2

点群元素C2[110]可以把左边的三角形转动到D面，即绕[110]轴转180°，到D面。我用点群元素C2[110]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2DFB’L2BF’DL2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C2[110]魔方。

 20-C2[011](B2URL’B2LR’UB2)=F2RUD’F2DU’RF2

点群元素C2[011]可以把左边的三角形转动到R面，即绕[011]轴转180°，到R面。我用点群元素C2[011]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2RUD’F2DU’RF2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C2[011]魔方。

 21-C2[101](B2URL’B2LR’UB2)=D2FLR’D2RL’FD2

点群元素C2[101]可以把左边的三角形转动到F面，即绕[101]轴转180°，到F面。我用点群元素C2[101]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2FLR’D2RL’FD2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C2[101]魔方。

  22-C2[01-1](B2URL’B2LR’UB2)=F2LDU’F2UD’LF2

点群元素C2[01-1]可以把左边的三角形转动到L面，即绕[01-1]轴转180°，到L面。我用点群元素C2[01-1]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2LDU’F2UD’LF2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C2[01-1]魔方。

 23-C2[10-1](B2URL’B2LR’UB2)=U2BLR’U2RL’BU2

点群元素C2[10-1]可以把左边的三角形转动到B面，即绕[10-1]轴转180°，到B面。我用点群元素C2[10-1]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2BLR’U2RL’BU2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C2[10-1]魔方。

 24-C2[1-10](B2URL’B2LR’UB2)=R2DBF’R2FB’DR2

点群元素C2[1-10]可以把左边的三角形转动到D面，即绕[1-10]轴转180°，到D面。我用点群元素C2[1-10]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2DBF’R2FB’DR2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为C2[1-10]魔方。

       需要强调的是，以上都是纯转动操作，无论是操作前，还是操作后，三个边块的三角形置换都是顺时针方向置换。下面的操作都是非纯转动操作，经过这些非纯转动的Oh点群元素操作后，边块三角形都变成了逆时针方向的置换。

  25-i(B2URL’B2LR’UB2)=F2D’L’RF2R’LD’F2

点群元素i可以把左边的三角形反演到D面。我用点群元素i操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2D’L’RF2R’LD’F2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为i魔方。

 26-S4[100](B2URL’B2LR’UB2)=F2R’D’UF2U’DR’F2

点群元素S4[100]可以把左边的三角形操作到R面，先绕[100]轴转90°，然后镜面m(100)反射，就把三角形操作到R面。我用点群元素S4[100]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2R’D’UF2U’DR’F2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S4[100]魔方。

 27-S4[010](B2URL’B2LR’UB2)=D2B’L’RD2R’LB’D2

点群元素S4[010]可以把左边的三角形操作到B面，先绕[010]轴转90°，然后镜面m(010)反射，就把三角形操作到B面。我用点群元素S4[010]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2B’L’RD2R’LB’D2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S4[010]魔方。

 28-S4[001](B2URL’B2LR’UB2)=R2D’F’BR2B’FD’R2

点群元素S4[001]可以把左边的三角形操作到D面，先绕[001]轴转90°，然后镜面m(001)反射，就把三角形操作到D面。我用点群元素S4[001]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2D’F’BR2B’FD’R2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S4[001]魔方。

 29-S4^3[100](B2URL’B2LR’UB2)=F2L’U’DF2D’UL’F2

点群元素S4^3[100]可以把左边的三角形操作到L面，先绕[100]轴转270°，然后镜面m(100)反射，就把三角形操作到L面。我用点群元素S4^3[100]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2L’U’DF2D’UL’F2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S4^3[100]魔方。

 30-S4^3[010](B2URL’B2LR’UB2)=U2F’L’RU2R’LF’U2

点群元素S4^3[010]可以把左边的三角形操作到F面，先绕[010]轴转270°，然后镜面m(010)反射，就把三角形操作到F面。我用点群元素S4^3[010]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2F’L’RU2R’LF’U2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S4^3[010]魔方。

 31-S4^3[001](B2URL’B2LR’UB2)=L2D’B’FL2F’BD’L2

点群元素S4^3[001]可以把左边的三角形操作到D面，先绕[001]轴转270°，然后镜面m(001)反射，就把三角形操作到D面。我用点群元素S4^3[001]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2D’B’FL2F’BD’L2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S4^3[001]魔方。

 32-S6[111](B2URL’B2LR’UB2)=R2B’D’UR2U’DB’R2

点群元素S6[111]可以把左边的三角形操作到B面，先绕[111]轴转60°，然后镜面m(111)反射，就把三角形操作到B面。我用点群元素S6[111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2B’D’UR2U’DB’R2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6[111]魔方。

 33-S6[11-1](B2URL’B2LR’UB2)=D2R’B’FD2F’BR’D2

点群元素S6[11-1]可以把左边的三角形操作到R面，先绕[11-1]轴转60°，然后镜面m(11-1)反射，就把三角形操作到R面。我用点群元素S6[11-1]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2R’B’FD2F’BR’D2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6[11-1]魔方。

 34-S6[-111](B2URL’B2LR’UB2)=D2L’F’BD2B’FL’D2

点群元素S6[-111]可以把左边的三角形操作到L面，先绕[-111]轴转60°，然后镜面m(-111)反射，就把三角形操作到L面。我用点群元素S6[-111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2L’F’BD2B’FL’D2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6[-111]魔方。

 35-S6[1-11](B2URL’B2LR’UB2)=U2R’F’BU2B’FR’U2

点群元素S6[1-11]可以把左边的三角形操作到R面，先绕[1-11]轴转60°，然后镜面m(1-11)反射，就把三角形操作到R面。我用点群元素S6[1-11]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2R’F’BU2B’FR’U2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6[1-11]魔方。

 36-S6^5[111](B2URL’B2LR’UB2)=U2L’B’FU2F’BL’U2

点群元素S6^5[111]可以把左边的三角形操作到L面，先绕[111]轴转300°，然后镜面m(111)反射，就把三角形操作到L面。我用点群元素S6^5[111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2L’B’FU2F’BL’U2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6^5[111]魔方。

 37-S6^5[11-1](B2URL’B2LR’UB2)=R2F’U’DR2D’UF’R2

点群元素S6^5[11-1]可以把左边的三角形操作到F面，先绕[11-1]轴转300°，然后镜面m(11-1)反射，就把三角形操作到F面。我用点群元素S6^5[11-1]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2F’U’DR2D’UF’R2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6^5[11-1]魔方。

 38-S6^5[-111](B2URL’B2LR’UB2)=L2F’D’UL2U’DF’L2

点群元素S6^5[-111]可以把左边的三角形操作到F面，先绕[-111]轴转300°，然后镜面m(-111)反射，就把三角形操作到F面。我用点群元素S6^5[-111]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2F’D’UL2U’DF’L2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6^5[-111]魔方。

 39-S6^5[1-11](B2URL’B2LR’UB2)=L2B’U’DL2D’UB’L2

点群元素S6^5[1-11]可以把左边的三角形操作到B面，先绕[1-11]轴转300°，然后镜面m(1-11)反射，就把三角形操作到B面。我用点群元素S6^5[1-11]操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2B’U’DL2D’UB’L2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为S6^5[1-11]魔方。

 40-Qh(100)(B2URL’B2LR’UB2)=F2U’R’LF2L’RU’F2

点群元素Qh(100)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形仍然保留在U面，三角形的方位发生了变化，同时由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qh(100)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列F2U’R’LF2L’RU’F2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(100)魔方，注意，Qh(100)=m(100)。

 41-Qh(010)(B2URL’B2LR’UB2)=B2U’L’RB2R’LU’B2

点群元素Qh(010)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形仍然保留在U面，三角形的方位没变化，但是由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qh(010)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2U’L’RB2R’LU’B2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(010)魔方，注意，Qh(010)=m(010)。

 42-Qh(001)(B2URL’B2LR’UB2)=B2D’R’LB2L’RD’B2

点群元素Qh(001)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形被反射到D面，三角形由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qh(001)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2D’R’LB2L’RD’B2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(001)魔方，注意，Qh(001)=m(001)。

 43-Qd(110)(B2URL’B2LR’UB2)=R2U’B’FR2F’BU’R2

点群元素Qd(110)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形仍然保留在U面，三角形方位发生变化，由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qd(110)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列R2U’B’FR2F’BU’R2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(110)魔方，注意，Qd(110)=m(110)。

 44-Qd(011)(B2URL’B2LR’UB2)=B2L’D’UB2U’DL’B2

点群元素Qd(011)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形被反射到L面，三角形由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qd(011)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2L’D’UB2U’DL’B2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(011)魔方，注意，Qd(011)=m(011)。

 45-Qd(101)(B2URL’B2LR’UB2)=U2B’R’LU2L’RB’U2

点群元素Qd(101)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形被反射到B面，三角形由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qd(101)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列U2B’R’LU2L’RB’U2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(101)魔方，注意，Qd(101)=m(101)。

 46-Qd(01-1)(B2URL’B2LR’UB2)=B2R’U’DB2D’UR’B2

点群元素Qd(01-1)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形被反射到R面，三角形由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qd(01-1)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列B2R’U’DB2D’UR’B2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(01-1)魔方，注意，Qd(01-1)=m(01-1)。

 47-Qd(10-1)(B2URL’B2LR’UB2)=D2F’R’LD2L’RF’D2

点群元素Qd(10-1)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形被反射到F面，三角形由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qd(10-1)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列D2F’R’LD2L’RF’D2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(10-1)魔方，注意，Qd(10-1)=m(10-1)。

 48-Qd(1-10)(B2URL’B2LR’UB2)=L2U’F’BL2B’FU’L2

点群元素Qd(1-10)对左图U面的三角形镜面反射后，三角形被反射后仍然保留在U面，三角形方的复位发生变化，同时由原来的顺时针置换变成逆时针置换，如右图所示。我用点群元素Qd(1-10)操作(B2URL’B2LR’UB2)后，得到新的操作序列L2U’F’BL2B’FU’L2，你用这个新的操作序列，操作新的魔方，就可以得到右边的图案，我把它标注为m(10-1)魔方，注意，Qd(1-10)=m(10-1)。