得知我的访问学者导师、北师大著名数学家汪培庄先生去世，我心情沉痛，往事历历在目。先生思想深刻，探索不止、谦虚谨慎，乐于助人——特别是扶持后人…，处处可作为晚辈榜样。我和汪先生的最后一次微信对话如下：

 我是1985年8月在贵阳召开的中国模糊数学大会上认识汪先生的。我那时候只是学术新人，因为发现的色觉译码模型使用了模糊逻辑而参加了这次会议。 我还带了一个色觉机制物理模型。我对模糊数学基本理论很感兴趣，汪先生对我的模型很感兴趣，于是在游玩景点的时候，我们一路走一路聊，聊得非常投机，好像忘了路边风景。 有人提醒他：可别错过这么好的风景。

1987年，汪先生的博士生刘增良来信说，汪先生希望我参加模糊推理机研究。我那时要被长沙大学派去加拿大进修，所以错过了推理机的机会。1991年，刘增良又来信说，汪先生欢迎我到北师大做访问学者。我那时候研究语义信息论，缺数学基础，也缺时间，访问学者的机会对于我来说再好不过。 我去了。指导老师是汪先生和罗承忠教授，同时去当博士生的有李洪兴、闫建平。他们都对我帮助很大。

那时候汪先生就把人工智能数学基础看作主攻方向。他的学生中就有不少人研究神经网络和人工智能，刘增良的博士论文就把因素空间理论和神经网络相结合；李洪兴研究知识表示和模糊推理，成功实现三级、四级倒摆。可见汪先生在学术上的超前意识。我在北师大一年的时间里完成了《广义信息论》（现在看应该叫语义信息论）一书的写作，其中用隶属函数（或称真值函数）构造语义信息测度，把香农信息率失真函数R(D)推广为信息率逼真函数R(G), G 是语义信息量限制，用以代替失真量限制D)。遗憾的是，我没有在机器学习和神经网络方面下功夫，这限制了理论的应用。

后来我忙于实践我的投资组合复利理论，很长时间放弃了学术研究。直至2015年，汪老师又鼓励我结合人工智能研究语义信息论，后来我还在汪先生和郭嗣宗教授的支持下，被聘为辽宁工程技术大学智能工程和数学学院的客座教授。

了解到机器学习基本方法后， 我觉得语义信息论在机器学习领域大有可为。于是在10年时间里，我先后研究了语义信息论在多标签学习和分类（简洁高效），最大互信息分类， 混合模型，求解隐含变量，贝叶斯确证等领域的应用。 我提出P-T概率框架和逻辑贝叶斯推断，这正是汪先生思想的延续。

汪先生的两个重要思想是随机集落影理论（用以解决隶属函数来源问题）和因素空间理论。随机集落影理论把模糊集看作是随机集的统计结果，一个元素x落在一个随机集中的概率就是x在相应模糊集中的隶属度。隶属函数就是真值函数。这等于在统计和逻辑之间架起桥梁。

成熟的机器学习方法中，一个样本中的每个样例只包含一个标签和一个实例，比如一个样本是S={(xi,yi),i=1,2,…N}，一个样例是(xi,yi)，比如(20岁， "年轻人")。然而，随机集统计需要样本中每个样例（一个集合值，简称集值）包含一个标签yi和多个连续实例xi1,xi2,…. 因为这样的样本不易得到，所以随机集落影理论的应用受到限制。

我们是否能从通常的样本按随机集落影思想得到隶属函数？逻辑贝叶斯推断就解决这一问题。最终结论非常简单，x在Aj中的隶属函数或x 使yj=“x在Aj中”为真的真值函数是：

T(yj|x)=P(yj|x)/ max P(yj|x)=[P(x|yj)/P(x)]/max[P(x|yj)/P(x)]

这种算法等于是：我们可以在想象中用多个单标签单实例样例拼凑一个单标签多实例样例（一个集合值），然后用统计方法得到隶属函数。所以说逻辑贝叶斯推断继承了随机集落影思想。

       2023年年底，我和汪先生合写了一篇文章《从随机集落影到随机点落影——隶属函数用于机器学习》，它于2015年3月在《智能系统学报》上发表。应用包括：多标签学习和分类（简单高效），最大互信息分类，作为约束函数求解隐含变量和主动推断，贝叶斯确证等。

       这篇文章似乎就是我做汪先生学生的使命所在。汪先生的隶属函数统计思想指导了我的语义信息论研究，我的研究反过来又发展了他的统计思想。

       汪先生不只是直接鼓励我继续研究，他的百折不挠的探索精神也激励了我。他常拿因素空间理论和欧洲学者的粗糙集理论作对比，说明中国人搞学问要自强、自信。粗糙集理论研究者写过不少关于贝叶斯确证的文章，我也写过一篇关于贝叶斯确证的挑战文章《Channels’ Confirmation and Predictions’ Confirmation: From the Medical Test to the Raven Paradox》（发表于Entropy）。

       我曾和汪先生谈过父辈情况。汪先生说过这样一段话：“我不知道为什么现在有些年轻人总是贬低中国，虽然我的父辈被当作阶级敌人受到打击，如果他们活到现在，他们一定会为中国变得强大而感到欣慰。” 希望中国强大，这是汪先生的愿望，也是他的动力。

鲁晨光 写于2025年6月22日

又：汪先生学生众多，优秀者众。想起毛主席诗句：“带到山花烂漫时，她在丛中笑。”特请豆包作画：