考虑自旋轨道耦合效应时，原先属于单群的电子态将发生转变，只能分解为双群中的附加不可约表示。这一分解过程蕴含的物理意义在于，它揭示了从忽略自旋轨道耦合的状态到计入该耦合效应后状态的演化过程.

下面，我们就利用双群来研究自旋轨道耦合导致的能级/能带劈裂现象。自旋的空间对称性特点，对称性操作R在自旋部分操作矩阵${{D}^{{1}/{2}\;}}$的迹为：

                           ${{\chi }^{(1/2)}}(R)=2\cos \frac{\alpha }{2}$                                                                       (1)       

其中α为R操作的转角，然后按照上式分别求出${{D}^{{1}/{2}\;}}$与单群不可约表示直积的特征标，并按照直积表示的特征标和不可约表示的约化公式把这些单群态向双群的附加不可约表示分解。

例如，C_3v点群的特征标表展示在表1中，根据该表(${{D}^{1/2\;}}={{\Gamma }_{4}}$)： 

                                                                 (2)

其中D^1/2是自旋的表示矩阵。从方程可以看出，当考虑自旋轨道耦合（SOC）效应时，A₁/A₂态转变为Γ₄态，而E态分裂为Γ₄、Γ₅和Γ₆态。

表 1  双群C_3v群的特征标表

另外，Γ₅和Γ₆态在时间反演算符T的作用下相互转换：

                                       (3)

因此，这两个态构成克拉默斯（Kramers）对，且在时间反演对称点处简并。

例如，具有D_3d点群对称性的PtSe₂族材料（PtSe₂、PtTe₂和PdTe₂）,在PtSe₂族材料中Γ−A（Δ）路径具有C_3v对称性。然而，这些材料同时具有反演对称性 I 和时间反演对称性 T 。因此，由于克拉默斯（Kramers）简并，这两个非简并能带Δ₅和Δ₆态是简并的。如果，反演对称性 I 被破坏（有序排列的 PtSeTe破缺体系的中心反演对称性），Γ−A路径上的克拉默斯简并会遭到破坏，在此对称性条件下三重简并点便可能存在，如图1所示。

图 1 PtSeTe中拓扑狄拉克点（TDPs）起源的示意图。（I）在三方晶场作用下，Se或Te的p原子能级分裂为一个二重简并的E能级和一个非简并的A₁能级。（II）原子间跃迁将原子能级转化为沿Γ−A路径的相应能带。（III）当考虑自旋轨道耦合（SOC）效应时，A₁能带转变为∆₄能带，E能带转变为∆₄和∆₅+₆能带。（IV）当反演对称性I被破坏时，∆₅和∆₆能带分离。

参考：Inversion symmetry breaking induced triply degenerate points in orderly arranged PtSeTe family materials，J. Phys.: Condens. Matter 30, 245502 (2018)，https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-648X/aac298. 

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