最优化方法浅析

葛维亚

  最优化方法简称为优选法，它是一种寻找最佳解决方案的数学策略，广泛应用于各种实际问题中。具体而言，优选法在数学上就是寻找函数极值的较快较精确的计算方法。1953年美国数学家J.基弗提出单因素优选法和0.618法（又称黄金分割法），后来又提出抛物线法。至于双因素和多因数优选法，则涉及问题较复杂，方法和思路也较多，常用的有降维法、瞎子爬山法、陡度法、混合法、随机试验法和试验设计法等。优选法的应用范围相当广泛，中国数学家华罗庚在生产企业中推广应用取得了成效。企业在新产品、新工艺研究，仪表、设备调试等方面采用优选法，能以较少的实验次数迅速找到较优方案，在不增加设备、物资、人力和原材料的条件下，缩短工期、提高产量和质量，降低成本等。

它是运筹学的重要内容，其中包括线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、层次分析以及智能优化计算等。这些内容是科技管理、产品研制、经济规划的基本知识，具有极大的应用价值。

优选法包括五种方法，即降维法、爬山法、单纯形调优胜、随机试验法、试验设计法等。优选法的类别不包括逆向思维法。

   最优化方法一般采用迭代法推求它的最优解，它的基本思想是给定一个初始点，按照某一迭代规则产品一个点列{[Math Processing Error] x n }，使得当{[Math Processing Error] x n }是有穷点列时，其最后一个点是最优化模型问题的最优解。

   在最优化算法中，牛顿法可以看成相对于梯度下降法的改进，提高了收敛速度。而牛顿法用到了二阶偏导，它的收敛速度是二阶收敛，收敛速度比梯度下降法快。高斯牛顿法是相对于牛顿法改进，简化了计算。牛顿法中的H矩阵需要计算目标函数的二阶偏导，计算量巨大，高斯牛顿法采用G矩阵替代H矩阵，大大减小了计算量。高斯-牛顿法的逼近步长由矩阵G的逆矩阵决定，如果矩阵G非正定，那么其逆矩阵不一定存在，即使存在逆矩阵，也会导致逼近方向出现偏差，严重影响优化方向。LM法正是为了解决矩阵G的正定问题而提出的，其将矩阵G加上单位矩阵的倍数来解决正定问题。

      优选法具有坚实的理论基础，解决问题简单，容易，准确，有效。

       由于工艺过程日益繁复，质量要求精益求精，优选的问题也就提到日程上来了。简单的例子，例如一枝粉笔多长最好？每枝粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好。但太长了，使用起来既不方便，而且容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适。因而就出现了“ 粉笔多长最合适” 的问题，这就是一个优选问题。蒸馒头放多少碱好？放多了不好吃，放少了也不好吃，放多少最好吃呢？这也是一个优选问题。也许有人说：这是一个不确切的问题，何谓好吃？你有你的口味，我有我的口味，好吃不好吃根本没有标准。对！但也不完全对！可否针对我们食堂定出一个标准来！假定我们食堂有一百人，放碱多少，这一百人有多少人说好吃，统计一下，不就有了指标吗？我们的问题就是找出合适的用碱量，使食堂里说好吃的人最多。

       当年我国数学界泰斗华罗庚在推广优选法中，名震中外。

 华罗庚（1910.11—1985.6），江苏常州人。仅有一张初中文凭的他，靠着勤奋自学，成为中国解析数论、矩阵几何学、典型群等多方面研究的创始人和开拓者，新中国第一台大型计算机研制者，“两弹一星”工程元勋，中、美、德（原西德）及第三世界科学院院士…

      对于普通中国人来说，知晓华罗庚的，恐怕都是源于他首创并亲自大力推广的“优选法”、“统筹法”。

     “数学理论只有和应用配合，才会发挥最大效益”。从上世纪50年代开始，华罗庚就不断思考数学如何为国民经济服务的问题。经过实践，他发现数学中的“优选法”和“统筹法”是在工农业生产中能够比较普遍应用的方法，不仅可以提高工作效率，而且可以改变工作管理面貌。“优选法”主要针对生产工艺参数的选择问题，即运用黄金分割法，找到一种可以尽可能减少试验次数的最优方案；“统筹法”主要针对生产组织管理的计划安排问题，以网络图反映计划安排，据以选择最优方案，使错综复杂、工艺繁多的工农业生产获得更佳经济效益。

       据有关资料，1964年后，华罗庚写成了《优选法平话及其补充》、《统筹方法平话及补充》，并亲自带领师生到一些工厂推广和应用“双法”，历经了“夏去江汉斗酷暑，冬往松辽傲冰霜”磨砺。

       从1964年开始，20年心路、20万公里路程，他拄着拐杖，带病上岗，跑遍28个省、市、自治区，推广优选法，产生了数以十亿计的巨大经济效益。

       从1972年起，优选法在全国的推广应用进入轰轰烈烈的第二阶段。轻工业比较发达的沙市，有幸成为华罗庚亲临推广“的城市之一。这年6月26日，沙市市委成立优选法推广办公室。7月，华罗庚推广应用小分队进驻沙市指导具体工作，全市广大群众纷纷响应，开始了在沙市的群众普及运动。8月5日，华罗庚受沙市市委邀请，长途驱车到沙市视察指导优选法的推广应用情况。

        其中对使用最多的单一变量（目标）介绍了0.618优选法。也就是在数字0到n（n大于0）。首先根据具体的实际问题建立目标函数和精度要求。在0到n的线段上，找到0.618点的位置，此时已经把线段分为两段，经过计算获得两个线段的目标函数，舍弃精度差的一段，保留精度高的一段，在这一线段上重复以上的操作，直到达到精度要求为止。华罗庚的壮举，为我国经济发展起到了巨大的推动作用。