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[？？？] 为什么在“四色问题 The four colour theorem”上长期不肯吱声？

   道德楷模希尔伯特，迄今为止，人类历史上数学家综合排行榜第四。

   一些很容易看懂的简单数学问题，却长期得不到证明。如“费马大定理 Fermat's Last Theorem”、欧几里德几何的“第五公设 Fifth postulate”、“四色定理 Four color theorem”。这些都是可能引起广泛关注，并创造/发现新的数学工具的问题。

   它们，都是能为人类生出金蛋的母鸡！

   可怜的伽罗瓦（Evariste Galois），认为“一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出”。“1829年5月写了关于代数方程可解性论文，经由柯西交给法国科学院，1830年2月再次将修改稿提交给科学院。伽罗瓦本希望能得到数学大奖，但由于审稿人J.-B.-J.傅里叶去世，手稿遭遗失。1831年应S.-D.泊松要求，他又一次提交了关于代数方程解的论文修改稿，然而没有得到泊松的公正评价，使他受到很大打击。”生出了金蛋，也可能……

   网上的炒作：“世界近代三大数学难题之一，世界三大数学猜想”，有费马大猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想。

   都是中学生甚至小学生都能看懂的问题。可惜研究起来相当的困难。

一、希尔伯特：不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡

   这只生出金蛋的母鸡，是 Fermat's last theorem 费马大定理。

   网传：

   当希尔伯特周围的至友一再敦促他发表这个证明时，希尔伯特满怀深情地说： “我应当更加注意，不要轻易杀掉这只能为人类生出金蛋的母鸡！”

二、欧几里德几何的“Fifth postulate 第五公设”：生出了“非欧几何 Non-Euclidean geometries”一堆金蛋

   罗巴切夫斯基几何（双曲几何），1826年2月23日。《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要 The rigorous analysis of the theorem on parallels》。

   黎曼几何（椭圆几何），1854年6月10日。《论作为几何学基础的假设 On the hypotheses which lie at the foundations of geometry》。

三、四色定理：还能生出金蛋吗？

   1976年6月，美国伊利诺斯大学的 Appel 和 Haken 用计算机证明了“四色定理 Four color theorem”。

   但对其人工证明的努力一直没有放弃。

   对四色定理计算机证明的批评：“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！（A good mathematical proof is like a poem - this is a telephone directory!）”这种长的数学证明，除了数学问题的难度本身引起之外，另一种可能的原因是：证明所采用的数学理论的信息量太小。

   按照 1966 年 Chaitin 定理，“长”数学证明的两个主要原因：（1）问题比较难，比较复杂；（2）证明采用的公理系统能力太弱。

   这个定理，和《论语·卫灵公》里的孔子老师的“工欲善其事，必先利其器。”似乎是一回事。又如“磨刀不误砍柴工。”以及《汉书·传·董仲舒传》古人有言曰：“临渊羡鱼，不如退而结网。”

   在对 ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice) 的学习中，意外发现策梅洛-弗兰克尔集合论里的“幂集公理 Axiom of power set”和“康托尔定理 Cantor theorem”之间的关系。

   似乎“四色定理”是康托尔定理的一个具体化的特例。

图1  这是 2011年8月宣布的，一个纸质的学术期刊

   我不敢说这是“四色定理”的一个证明，只是说这是一个相关的说明。假如“‘四色定理’是康托尔定理的一个具体化的特例”，则四色定理该怎么证明？也许不再需要证明？

   四色问题：这是康托尔定理的一个特例。Four-Colour Problem: It is an especial case of Cantor theorem.

   俺也没打算让人理俺。 俺自己“写着玩”呢！“写着玩”？

   留下“四色问题”这个会下金蛋的母鸡吧！

   在“四色定理”上，

   俺的目的：发展《集合论》的基础。

图2  2009-11-12 的截图

   “你想发展集合论吗？它很长时间没有变化了。这才是数学中最高层次的工作。”

   符号学——就是关于符号的意义——和集合论的发展有直接的关系。

   据说：集合论是整个现代数学的基础，至多范畴论除外。

参考资料：

[1] 四色定理/four color theorem/魏美芹，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=115136&Type=bkzyb&SubID=61825

[2] Four-colour problem. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Four-colour_problem

[3] four-colour map problem, 

https://www.britannica.com/science/four-color-map-problem

[4] Weisstein, Eric W. "Four-Color Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/Four-ColorTheorem.html

[5] The four colour theorem. MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_four_colour_theorem/

[6] Leo Rogers, 2011, The Four Colour Theorem

https://nrich.maths.org/6291

[7] 策梅洛-弗兰克尔集合论/Zermelo-Fraenkel set theory/杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=229361&Type=bkzyb&SubID=104156

[8] 冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔公理系统/von Neumann-Bernays-Gödel axiomatic system/杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=229203&Type=bkzyb&SubID=101959

   首先由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼于1925年提出，后经瑞士数学家P.I.贝尔纳斯（又译博内斯）和奥地利裔美国数理逻辑学家K.哥德尔改进、简化而成。与公理化集合论系统ZF的主要不同之处在于，NGB系统中既有“集合”又有“类”。在NGB系统中，所有集合都是类，而有些类不是集合，不是集合的类称为“真类”；集合可以作为类的元素，真类不能作为类的元素。NGB系统是一致的，当且仅当ZF系统是一致的，即两者具有相对一致性。就仅表达集合的命题而言，NGB系统和ZF系统是等价的。

[9] ZFC. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/ZFC

[10] Szudzik, Matthew. "von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource

https://mathworld.wolfram.com/vonNeumann-Bernays-GoedelSetTheory.html

[11] Cantor theorem. Encyclopedia of Mathematics. 

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Cantor_theorem

[12] 费马，P.de /Pierre de Fermat/梁宗巨，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=198922&Type=bkzyb&SubID=61732

[13] 朗兰兹，R. /Langlands,Robert/胡作玄，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=419008&Type=bkzyb&SubID=61734

[14] 怀尔斯，A. /Wiles,Andrew/胡作玄，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=418776&Type=bkzyb&SubID=61734

[15] Fermat's Last Theorem. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fermat%27s_last_theorem

[16] Fermat's last theorem. MacTutor History of Mathematics Archive 

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fermat's_last_theorem/

[17] 十九世纪数学/mathematics in 19th century/袁向东，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=182506&Type=bkzyb&SubID=61733

   19世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始，欧氏几何一直被认为是客观物质空间唯一正确的理想模型，是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时，都试图归之为欧氏几何问题。但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公设不成立，但由于担心受人指责而未发表。1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章《论几何基础》是最早发表的非欧几何著作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步入了创造新几何的时代。

[18] 罗巴切夫斯基，N.I. /Lobachevsky, Nikolay Ivanovich/杜瑞芝，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=198706&Type=bkzyb&SubID=61733

   自从欧几里得《几何原本》问世以来，历代数学家都为其中的平行公设（《几何原本》中的第五公设）所困惑，许多学者都尝试用欧几里得其他公设来证明平行公设，结果均归失败。

[19] Fifth postulate. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fifth_postulate

[20] Euclidean geometry. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Euclidean_geometry

[21] Non-Euclidean geometries. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Non-Euclidean_geometries

[22] Lobachevskii geometry. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lobachevskii_geometry

[23] 伽罗瓦，E./Evariste Galois/冯绪宁，中国大百科全书，第三版网络版[ED/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=198939&Type=bkzyb&SubID=61733

相关链接：

[1] 2013-10-04，数学证明的长度：与公理系统能力负相关 精选

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-729907.html

[2] 2023-01-12，[阅读笔记] “证明了一个数学大问题”之后的 8 类走向（结果）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1371682.html

[3] 2022-10-19，[想不明白] 几十页、上百页长的数学证明，真的可靠吗？（阿诺德、Chaitin

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1360078.html

[4] 2022-10-14，[小资料] 阿诺德原理、复杂的模型几乎毫无用处：出自 1998年《On teaching mathematics》

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1359459.html

[5] 2015-03-30，[求助] 哥德尔（Kurt Gödel ）一句话的英文原文

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-878552.html

[6] 2022-02-19，[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理（1931年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326086.html

[7] 2022-03-01，[科普 + 备课] Chaitin定理（1966年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327564.html

[8] 2022-07-28，往日（15）：2009-11-13 对21世纪数学发展的看法

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349097.html

[9] 2013-12-11，数学是严谨的吗？（2 逻辑是元凶）

https://wap.sciencenet.cn/blog-107667-749077.html

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