Zmn-1050 薛问天 : 关键还是对微分定义的正确理解。评师教民先生的《1047》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1047》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键还是对微分定义的正确理解。

评师教民先生的《1047》

薛问天 

uewentian2006@sina.cn

一，基本错误。

同师教民先生的讨论已不少来回了，我发現他的问题主要还是在对微分定义的理解上出了偏差。要知道微分的定义是针对一个函数而讲的，讲得非常清楚，大家都比较容易理解，但是在遇到多个函数时，很多人就产生了含混，把不同的微分错误地当成是相同的对象了，从而产生了错误，师先生的问题就出在这里。我试图再做些说明，看能否使认识错误的人得以纠正。

还是先从微分的定义开始。首先给出一个函数y=f(x)。如果有Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx称为函数y=f(x)的因变量微分，记作dy，把Δx称为函数y=f(x)的自变量微分，记作dx。

这讲得非常清楚，为函数y=f(x)定义了两个微分，一个叫作函数y=f(x)的因变量微分，dy=AΔx。一个叫作函数y=f(x)的自变量微分，dx=Δx。后又证明A是函数y=f(x)的导数，即dy/dx=f′(x)=A，

如果仅仅讨论这一个函数，你把dx看作是变量x的微分，把dy看作是变量y的微分，不会出什么问题。因为这些变量为函数所独有。但当我们研究两个以上函数时，在讨论它们的微分时，就可能有要特别注意的情况，因为不同函数可能共用相同的变量。例如在把y=f(x)同它的反函数x=g(y)一起讨论时，它们有共同的变量x和y。讨论它们的微分。

(1)对函数y=f(x)，如果有Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx称为函数y=f(x)的因变量微分，记作dy，把Δx称为函数y=f(x)的自变量微分，记作dx。dy/dx=f′(x)=A，

(2)对函数x=g(y)，如果有Δx=BΔy+o(Δy)，则把BΔy称为函数x=g(y)的因变量微分，记作dx，把Δy称为函数x=g(y)的自变量微分，记作dy。dx/dy=g′(y)=B，

显然从微分的定义可知(1)中的dx，是函数y=f(x)的自变量微分，而(2)中的dx，是x=g(y)的因变量微分，这两个dx不是同一个微分。同理可知(1)的dy同(2)中的dy，这两个dy也不是同一个微分。

也就是说变量相同，都是x，它既是函数y=f(x)的自变量，又是x=g(y)的因变量，但根据微分的定义，关于dx，在(1)中的dx它表示的是函数y=f(x)的自变量微分，而(2)中的dx，它表示的是x=g(y)的因变量微分，这两个微分是不同函数的微分，因而是不同的微分。

这就说清楚了，为什么我们要说微分是函数的微分，因为函数不同，它们的微分就不同。一个函数有两个微分，这正反函数是两个函数，就有四个微分，这四个微分，按定义都是不相同的。说微分不是变量的微分，是因为这两个函数有共用的变量x.y。变量都是x，但两个函数的微分dx却不相同。变量都是y，但两个函数的微分dy却不相同。

为什么变量相同，微分却不相同。它的理由就是前面讲的，是根据微分的定义所决定的。变量x既是函数y=f(x)自变量，又是函数x=g(y)的因变量，变量完全相同，但两个微分dx，一个dx是函数y=f(x)的自变量微分，一个dx是函数x=g(y)的因变量微分。两个不同函数的微分完全不同。

师先生，现在清楚了吧！

这就是师先生在他文中2,1)③所说的【正反函数y=f (x)(编号为1)和x=g (y) (编号为2)中的变量x：x1=x2=x；该二函数的微分dx1≠dx2．】的理由。变量完全相同，但根据微分的定义，两个微分却完全不同。因而【变量x1，x2，x是同一个变量】，x1=x2不能作为微分相同dx1=dx2的根据和理由。x1和x2变量完全相同，但根据微分的定义，两个微分dx1和dx2却完全不同。

另外，师先生竟然把我说的恒等函数的微分dx1,dx2同这里dx1,dx2混为一谈。说【你薛问天先生信誓旦旦地说的【要知道恒等函数的导数等于1．所以就得出dx1/dx2 =1，自然得出dx1=dx2．】】

这简直是在开玩笑。我这里说的dx1=dx2中的dx1和dx2是恒等函数的因变量微分和恒等函数的自变量微分。哪里是师先生所说的函数y=f(x)的自变量微分dx1，和函数x=g(y)的因变量微分dx2。要知道虽然变量x1相同，它既是恒等函数的因变量，又是函数y=f(x)的自变量，但前面已说清楚，不同函数的微分却不同。恒等函数的因变量微分dx1，同函数y=f(x)的自变量微分dx1，是不同的微分。认为它们是相等的同一个微分是严重的错误。

二，关于师教民先生用的第一种方法来证明dx1=dx2的错误。

师先生在2,2)②中犯同样错误，把我说的恒等函数的因变量微分dx1和恒等函数的自变量微分dx1相等，错当成是不同的函数y=f(x)的自变量微分dx1，和函数x=g(y)的因变量微分dx2了。出了大错。

另外师先生所问的【但是薛问天先生却恰恰忘记了x1，x2，x都是同一个变量，都既是y=f(x)的自变量又是x=g(y)的因变量，x1既然已经是x=g (y)的因变量，那么为什么dx1就不能是x=g (y)的因变量的微分呢？】

原因很简单，就是前面讲的道理。变量完全相同，但两个微分dx，一个dx是函数y=f(x)的自变量微分，一个dx是函数x=g(y)的因变量微分。两个微分却完全不同。虽然【x1，x2，x都是同一个变量】，既是y=f(x)的自变量，又是x=g (y)的因变量，但函数y=f(x)的自变量微分dx1，却同函数x=g(y)的因变量的微分dx2不同，根据微分的定义是两个不同的微分。因而dx1就不能是x=g(y)的因变量的微分。所以说【你就不能再认为dx1是x=g(y) 的因变量的微分了】这并不是一句空喊的口号。它的理由就是前面说的道理，变量相同，但两个微分却是完全不同的微分。

师先生在2,2)③中犯同样错误，为了辩解他的对变量进行微分运算的错误，他说【既然x1既是函数y=f(x)的自变量，又是函数x=g(y)的因变量，那么dx1就既是y=f (x) 的自变量的微分，又是x=g (y) 的因变量的微分了．】

师先生的这个错误己犯过多次，变量相同，绝不能错误地认为微分也相同。

所以，说【这是毫无根据的乱弹琴．微积分中沒有这样的【微分法则】．这完全是师先生的主观臆想。】并不是空喊的口号，而是有根有据，说明了充足的理由。

三，关于师教民先生用的第二种方法来证明dx1=dx2的错误。

师先生在2,3)②中犯的也是同样错误。

师先生说【x1既是函数x1=I(x2) 的因变量又是函数y=f (x) 的自变量，所以，dx1就既是函数x1=I(x2)的因变量微分，又是函数y=f(x) 的自变量微分；x2既是函数x1=I(x2)的自变量又是函数x=g(y)的因变量，所以，dx2就既是函数x1=I(x2)的自变量微分，又是函数x=g (y)的因变量微分．】

这些说法都犯了我前面所说的错误。

四，师先生的又一错误。

师先生在这里犯的的错误就是我们在开始指的基本错误。

在把y=f(x)同它的反函数x=g(y)一起讨论时，它们有共同的变量x和y。关于它们的微分。

(1)对函数y=f(x)，有dy/dx=f′(x)，dy是函数y=f(x)的因变量微分，dx是函数y=f(x)的自变量微分。

(2)对函数x=g(y)，有dx/dy=g′(y)，dx是函数x=g(y)的因变量微分，dy是函数x=g(y)的自变量微分。

从微分的定义可知(1)中的dx，同(2)中的dx，这两个dx不是同一个微分。同理可知(1)的dy同(2)中的dy，这两个dy也不是同一个微分。把(1)中的dx，同(2)中的dx，看作是同一个微分，把(1)中的dy，同(2)中的dy，看作是同一个微分，就犯了严重的错误。

师先生对正反函数y=f(x)和x=g(y)具体用的是y=x^2(x>0)，和x=√y(y>0)。他对函数y=x^2求导，得出dy/dx=2x，这里的dy是函数y=f(x)的因变量的微分，dx是函数y=f(x)的自变量的微分，这当然是对的。但是师先生将此式求倒，写成dx/dy=1/2x，马上就说【dy/dx中的微分dx是自变量x的微分，dx1/dy中的微分dx是因变量x的微分.在由dy/dx推出dx1/dy时，dx的值始终未变．所以函数自变量x的微分dx和因变量x的微分dx始终相等而是同一个．】

大家看清楚这其中的错误了吧，(1)中dy/dx的dx同(2)中dx/dy的dx是不同的微分，错误地特它看成是相同的同一个微分了。平常为了区分，常把(1)中函数y=f(x)的导数写成dy1/dx1，(2)中函数x=g(y)的导数写成dx2/dy2。那么正反函数的导数互倒的规律就可写成dy1/dx1=1/(dx2/dy2)。或dy1/dx1=dy2/dx2。

但绝不能写成dx1=dx2和dy1=dy2。

看清了师先生的错误后就得知他所得出的结论【极限理论的微分定义和〖对函数等式两边求导或微分〗的法则之间存在着微分dx既是是同一个又不是不是同一个的矛盾，】是完全错误的。

根本就不是一个，哪里来的矛盾。把不同的微分认作为同一个微分，这是你师先生的认识错误，所以说【该矛盾折射出极限理论的科学错误．】是不对的，只能说该矛盾折射出你师教民先生认识的错误．

既然微积分极限理论中并没有什么【矛盾】，所以也不需要什么【解决办法】。实陆上师教民先生后面谈的不少意見都是错误的。现在分别指出如下。

(1)，对函数概念认识的错误。

我们大家都知道，任何函数如y=f(x)，都有两个变量，一个是自变量x，一个是因变量。因变量y随着自变量的变化来变。而且满足单值性，即对任何x的值都有唯一的确定的y值同其对应，称为映射。但是师先生却认为【变量x，y地位相同，权力均等，谁也不比谁更突出、更特殊、更优越．所以它们的取值完全同时，根本不分先后，只是一一对应！】另外又说【极限理论或第二代微积分却人为地、主观地把其中的任意一个变量例如x假设为自变量而首先取值，另一个变量y就被假设为因变量并随自变量x的取值而取值了．】

函数的自变量和因变量地位不同作用也不同，这完全是反咉了函数存在的客观属性，不是人为和主观的作为，另外函数关系是映射，不是一一对应。只有特殊的满足单射和满射的条件下，映射才是双射。师先生的理解是错误的。而且既使y=f(x)是双射，是一一对应的情况下，y=f(x)同它的反函数x=g(y)也是正、反两个函数。x和y分别在这两个函数中扮演的角色也分别不同。例如y=x^2(x>0)同x=√y(y>0)就是形成一一对应的正反两个不同的函数。不存在什么是一一对应的一个函数，x和y不分自变量和因变量的地位相同。

我们知道微分是函数的微分，每个函数有两个微分。正反两个函数共有四个不同的微分。师先生想对其改变，把微分改成是变量的微分。【对于函数y=f (x)，不再人为地、主观地去假设自变量和因变量，恢复变量x，y在函数y=f (x)中的本来的面貌、客观的本质，相同的地位、均等的权力，那么x的微分只有一个dx，y的微分只有一个dy】，变量有x.y两个，因而只有两个微分dx.dy。这纯粹是师先生的一种幻想，根本实現不了。要知道这实际上就是师先生的错误认识，师先生的这种错误认识，就会导致师先生所推出的他认为是极限理论的矛盾。

师先生给出了一个例子，说【求函数y^2+y=x^2+1中变量x对y的导数以及变量x，y的微分；变量y对x的导数以及变量y，x的微分】。实陆上就是在求满足方程y^2+y=x^2+1的一组两个正反函数y=f(x)和x=g(y)的导数，dy1/dx1=f′(x)，dx2/dy2=g′(y)。师先生的错误就在于认为dx1=dx2，dy1=dy2。

师先生以为他很成功，说【恢复了变量x，y在函数y=f(x)中的本来的面貌、客观的本质，相同的地位、均等的权力以后求出来的，所以，变量x的唯一的微分dx，变量y的唯一的微分dy就是客观存在的真理了，就不再是人为地、主观地假设出来的假理了．】

但是师先生竟然忘了他认为是真理，所得出的dx1=dx2的结论，正是他所批评的第二代微积分中导出的矛盾。真是可笑之极，竟然说这是什么【解决3中的极限理论的矛盾或纠正极限理论的科学错误的【我的解决办法】。

师教授最后问【薛问天先生想怎样解决？】

我的回答很简单，极限理论根本就没有矛盾，没有要纠正的科学错误。所说的矛盾完全是由师先生的错误，把不同的微分认为是同一个微分，的这些错误认识引起的。怎样解决？只要帮助师先生认识了错误，改正了错误，一切问题都全部解决了！

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