1.$f(z)$ 在 $U=\{z:|z|<1\}$ 解析，$|f(z)|<1,f(0)=a(a\neq0,a\in U).$

证明：$$|f'(0)|\leqslant 1-|a|^2.$$

证明: 令 $$g(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}$$

显然 $g\circ f(0)=0,$且十分易证(最大模原理或直接证明都可)： $|z-a|\leqslant|1-\overline{a}z|,(|z|<1)$，故有： $|g\circ f(z)|\leqslant 1.$ 由 Schwarz 引理

$$|(g\circ f )'(0)|=|g'[f(0)]f'(0)|\leqslant1 .$$

于是

$$|f'(0)|\leqslant\frac{1}{|g'(a)|}=1-|a|^2 .$$