[1996年北京师范大学复变函数试题 第4题 20分]

4.(20') $w=f(z)$ 在 $|z|<1$ 上解析且 $f(0)=1,\textrm{Re}f(z)\geqslant0.$

试证明: $\forall |z|<1$ 都有

$$|f(z)|\leqslant \frac{1+|z|}{1-|z|}.$$

证明: 令

$$g(z)=\frac{z-1}{z+1},$$

则显然 $g\circ f(z)$ 在 $|z|<1$ 上解析且$ g\circ f(0)=0,|g\circ f(z)|\leqslant1$(这是因为 $\textrm{Re}f(z)\geqslant0 $从而易证 $|f(z)-1|\leqslant|f(z)+1|$.)

故由 Schwarz 引理, $|g\circ f(z)|\leqslant |z|.$ 即

$$\left|\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right|\leqslant |z|$$

故

$$|f(z)|-1\leqslant|f(z)-1|\leqslant |z|\cdot(|f(z)|+1)$$

从而

$$|f(z)|\leqslant \frac{1+|z|}{1-|z|}.$$