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泛函分析第二教程урысон引理证明的笔记
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泛函分析第二教程урысон引理证明，在书的110页， 线形拓扑空间那一章
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引理如下，设
是正常空间 ,A和B是两个不相交的子集，则有上的实值连续函数
使得（i）在A上取值为0；(ii)在B上取值为1；(iii)对于任何
.
是正常空间 ,A和B是两个不相交的子集，则有上的实值连续函数使得（i）在A上取值为0；(ii)在B上取值为1；(iii)对于任何.书中的证明最开始使用了一个结论，当是正常空间时，对于的闭集
以及开集
，如果
，必有开集
使得
是正常空间时，对于的闭集以及开集，如果，必有开集使得 书上这一步没说明，这里可以证明一下正常空间存在以上结论。
因为是开集，所以其补集
是闭集，那么因为，所以
，又因为是闭集，且是正常空间，满足第四分离公理，所以有开集
和开集
使得
，
且
.
是开集，所以其补集是闭集，那么因为，所以，又因为是闭集，且是正常空间，满足第四分离公理，所以有开集和开集使得，且. 又，
是闭集，且由以上可知
，而根据闭包的定义，
是包含了最小的闭集，所以
，所以
是闭集，且由以上可知，而根据闭包的定义，是包含了最小的闭集，所以，所以上述证明是否有错误呢，正常空间是符合第一和第四分离公理的拓扑空间，但是上述的证明没有用到第一分离公理。。。
这条引理证明过程并不复杂，后面就是不断的重复使用以上的结论，“划分”空间：
最后，
很容易的可以证明是连续函数。这里值得注意的是，该引理的证明似乎是不断的“划分”这个拓扑空间，使其“间隔”不断地小，似乎只有定义了“有理数”值域，但是实际上，有理数在实数中稠密，因此“无穷”的划分，使其不断地逼近任意的实数，上式的inf正是表达了这一点，其实使用sup也是一样的。
是连续函数。这里值得注意的是，该引理的证明似乎是不断的“划分”这个拓扑空间，使其“间隔”不断地小，似乎只有定义了“有理数”值域，但是实际上，有理数在实数中稠密，因此“无穷”的划分，使其不断地逼近任意的实数，上式的inf正是表达了这一点，其实使用sup也是一样的。这个引理在其他书上有证明，记得离曼几何书上有这个引理在
上的情形，证明就简单多了，只需要构造函数而已，但是这个引理具有更广泛的意义，体现了泛函分析高度抽象的特性。
上的情形，证明就简单多了，只需要构造函数而已，但是这个引理具有更广泛的意义，体现了泛函分析高度抽象的特性。https://wap.sciencenet.cn/blog-593593-459765.html
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