集合，这里使用本人喜欢的定义：一群元素的集合，这些集合含有一个共同的特征性质。如果将集合与概念相对应，则此处的特征性质对应内涵，而元素的集合对应外延。

所以，概念可以放到集合论的框架下去。

而概念是人类智慧的来源。人类从自然世界获取信息，从信息中抽取出概念。依据概念建立模型，然后根据模型的发展预测自然世界的发展。预言能力是人类最终极的竞争力。所以，本人认为：概念是人类智慧的来源。

所以，研究集合论可能能够给出人类进行思考的框架，或者说是方法论，即：思考的方法。

那么，回顾一下，普通的集合论可进行一些什么操作呢？回想起来，主要有子集、交集、并集、补集、差集以及直积。

这些操作能告诉我们什么呢？如果将其与对概念的操作进行类比我们能发现什么呢？

首先，本人想补充一下。任何操作都是需要操作者的。对于普通集合论，我们可以给它加上一个信息机（人类、图灵机）作为操作者。假设这一操作者对某一集合执行一个求子集的操作，那么这对应概念操作中的什么呢？

是分析。

总可以找到这样的特征性质，使得操作可以依据特征性质来进行。首先，存在全集U，U对应一个特征性质u。然后，给出一个特征性质a（在这里元素对于a只存在满足和不满足两种情况），则可依据U中元素是否满足特征性质a而放入哪一个集合。满足a的元素放入A，不满足a的元素放入B。这就完成了U上对a的分析。

显然这一过程可以多次的进行下去，从而完成对U的系统分析，即将U分解为性质足够清楚的子集的集合。

与分析对应的是综合。综合过程就是对通过分析获得的集合系列进行整理。寻找各个集合之间的共同点与不同点，最终形成一个有机的整体。这个整体就大大不同于原来的全集U了， 它包含了U的子集之间的各种联系。

交、并、补、差则可对应的放到分析与综合的框架中去，他们只是特征性质定义不同而表现出的不同操作而已。

然而直积并不能放到分析与综合中去。

直积又可称为笛卡尔乘积。将两个集合进行直积，可获得一个更大的集合。这个集合中的元素由原来两集合的特征性质共同决定。两个一维的坐标轴进行直积生成一个平面是其一个典型的例子。

直积能够与概念的哪一种操作方法相对应呢？

是想象。

想象是人类依据现有的概念创造出新概念的过程。但大多数情况下，人类的想象是模糊而自发性的，是缺乏步骤与目的的。而这掩盖了想象的本质，让大多数人认为想象是人类特有的功能，不能建模，不能对想象进行分析，不能揭示想象的本质，不能让计算机拥有想象的能力。

而直积提供了有序的建立新概念的操作步骤。这是一种有序的想象。精确化、步骤化、明确化的想象。

另一方面，直积事实上是所有操作或者映射的来源。直积提供了进行映射所需的空间。例如我需要将数轴上的一点映射到数轴上的另一点，一种隐含的操作即我们通过直积对这两个数轴构建了对应的平面，此处的映射正是在这平面中实现的。

数学以集合论为基础，而集合论正是人类思维方法精要（概念、分析、综合、想象）的精确化，步骤化的浓缩。难怪数学被称为人类理性智慧之花。

理解了这些，或许能更好的做数学、使用数学。