1.2.1线性稳定性理论

Kelvin（1871）和Helmholtz（1868）利用无粘稳定性理论(无粘线性方程的特征值)分析了平面混合层的稳定性。研究发现，当不同速度或密度的流体沿同一方向流动时，界面会产生剪切失稳，并在界面上形成一系列波的传播。对粘性流动，不稳定的临界Re数为零（Drazin and Reid 2004）。这种现象被称为混合层不稳定性或开尔文-亥姆霍兹不稳定性。

Rayleigh（1880）利用欧拉方程对两个平行平板之间二维平行流的线性稳定性分析，分析了无粘性流的稳定性。研究发现，无粘性平行流不稳定的必要条件是速度剖面上存在拐点。

Orr（1907）和Sommerfeld（1908）通过将Navier-Stokes方程的小扰动线性化，分别独立地得到了小扰动的四阶常微分方程，即现在的Orr-Sommerfeld（O-S）方程。该方程用于基本流的稳定性分析已有一个多世纪的历史。

Taylor（1923）研究了两个同轴旋转圆柱体之间的流动。通过数学线性稳定性分析和计算，得出了流动失稳的临界条件。理论计算结果与实验结果吻合良好。在泰勒-库伊特流动的第一次不稳定性中，粘度只起到稳定作用。

Prandtl（1921，1922）在平行流的线性稳定性分析中发现，粘性可能通过扰动的相位差导致流动不稳定，因此粘性可能起到双重作用。Heisenberg（1924）、Tollmien（1929）和 Schlichting（1933）分别用各种方法求解了O-S方程。Tollmien和Schlichting的研究发现了小扰动产生的平面波的失稳现象，后来被称为Tollmien-Schlichting (T-S)波。

林家翘（1944，1945a，1945b，1946）用渐近分析方法研究了两个平行板之间的平面Poiseuille流的稳定性，证实了该流动是线性不稳定的，得到了临界Re数为5314。Thomas（1952，1953）是第一个利用计算机数值计算方法来求解Orr-Sommerfeld（O-S）方程的人，对于平面Poiseuille流动，获得了5780的临界雷诺数。

Orszag（1971）计算了平面Poiseuille流动因线性扰动引起的不稳定性的临界雷诺数，精确值为5772，远高于湍流转捩的实验临界雷诺数1000。

尽管线性稳定性分析无法准确预测湍流转捩的开始，也无法解释湍流转捩中流动失稳的物理机制，更无法预测层流流动线性失稳后的流动情况，但它已被成功地用于分析各种类型流动的稳定性，也被用于线性控制方法和技术（Boiko等人，2012）。特别是，它使我们能够观察到层流边界层流动如何在自然转捩的早期阶段失去稳定性并导致三维流动。即使在旁路转捩中，通过对湍流转捩早期T-S波演化的广泛研究，我们也可以更好地理解波/涡（波/速度）相互作用在湍流转捩后期的作用。

1.2.2能量方法（Reynolds-Orr）

Orr（1907）计算了有限扰动振幅下所研究区域内总扰动能量的变化率，他认为随着时间的增加，如果研究的空间内的总扰动能量是增加的，则流动是不稳定的；否则，它是稳定的。它被称为Reynolds-Orr方法，因为最初的方程是由Reynolds（1895）获得的。Serrin（1959）和Joseph（1976）后来进行了更多的研究。

1.2.3非线性稳定性理论

Landau（1944）概述了线性不稳定性向湍流开始的发展，并认识到主模的非线性自相互作用会产生谐波并扭曲平均流量，从而改变扰动的增长。然后，他提出了一种流动稳定性的非线性理论，其中Landau方程用于描述流动扰动幅度随时间的演变。由于非线性问题的复杂性，该理论尚未在流体力学领域中广泛使用（见Landau 1944；Landau and Lifshitz 1987；Drazin and Reid 2004）。

1.2.4弱非线性稳定性理论

Stuart（1958,1960）在Landau方程的基础上提出了弱非线性理论来研究流动稳定性（Stuart 1960，1971；Watson 1960）。该方法还用于研究平行流中的流动稳定性和湍流转捩，以及泰勒-库埃特流等。

1.2.5二次失稳理论

Herbert（1983,1984,1988）和Orszag and Patera（1983）提出了二次不稳定性理论来分析平板上有界平行流或边界层流的稳定性。该理论能够更好地解释这些流动中的湍流转捩现象。然而，从光滑层流转捩到湍流的物理机制以及流动失稳的临界条件仍有待进一步阐明。特别是，与线性稳定性理论相比，预计有期望能够求解湍流转捩的临界雷诺数。

1.2.6非模态稳定性理论

在使用Orr-Sommerfeld方程分析壁面剪切流的线性稳定性时，即使所有特征值都被限制在亚临界条件下的稳定半平面内（特征值为负的），由于线性化的Navier-Stokes方程中特征向量基的非正交性，线性扰动可能受到瞬态增长（Trefethen等人1993；Reddy等人1993；Reddy and Henningson 1993；Schmid and Henningson 2001）。因此，可以计算线性扰动的瞬态增长的时间谱。这种方法被命名为非模态稳定性理论（Schmid 2007）。

1.2.7能量梯度理论

Dou和合作者提出了一种相对简单的分析方法：能量梯度理论（Dou 2004，2006，2011，2014，2021，2022；Dou等人2008；Dou and Khoo 2010，2011），该理论基于牛顿力学，根据流场中总机械能的时间-空间变化。根据这一理论，所有的流动不稳定性和湍流转捩都可以用流场中总机械能梯度的变化来解释。该理论与已获得的流动失稳和湍流转捩的所有实验数据取得了良好的一致性。能量梯度理论处理的是有限扰动引起的不稳定性。在能量梯度理论中，湍流被认为是由流场中总机械能梯度的不均匀分布及其与扰动的相互作用引起的。流动的稳定性可以通过总机械能在两个方向上的梯度来表征。与流线方向垂直的总机械能的梯度能够放大扰动，而沿流线方向的总机械能量的梯度（等于沿流线的能量损失率）可以通过粘性摩擦起到稳定作用。局部流动的不稳定性取决于这两个方向上作用的相对大小。基于这一概念，定义了能量梯度函数（无量纲）来表征流动稳定性，它是流场的一个变量，实际上表达了一个局部雷诺数，或者叫当地雷诺数。利用能量梯度理论的原理，证明了湍流转捩（湍流产生）的充要条件是能量梯度函数为无穷大（即Navier-Stokes方程的奇异性）。此外，还证明了在转捩流动和湍流中，Navier-Stokes方程不存在全局域上的光滑的解（Dou 2021）。这一结论也从作为泊松方程形式的Navier-Stokes方程的分析中得到了证明（Dou 2022）。

备注：所有的上面1.2.1至1.2.6这些流动稳定性理论，都是国际著名科学家做出的杰出工作，这些理论，或者通过计算微分方程的特征值，或者计算扰动幅值的增长，目标都是去试图预测湍流转捩的临界Re数，但是，没有一个理论能够正确预测出湍流转捩的临界Re数，而是与实验值相差甚远。更不能解释转捩过程中的诸多流动现象，如湍流猝发，间歇性，拟序结构，压力波的产生，湍流旋涡产生，旋涡拉伸，涡量增长，扰动对转捩的临界条件的影响机理，等等。1.2.7能量梯度理论是唯一的一个解释了这些物理现象的理论，并且理论与实验获得了一致[1-8]。并给出了湍流转捩的必要和充分条件：湍流转捩（湍流产生）的必要充分条件是能量梯度函数K为无穷大，或者，湍流转捩（湍流产生）的必要充分条件是Navier-Stokes方程出现奇点，二者等价。

另外，对于层流到湍流的转捩问题，即使预测出了临界雷诺数，也不是万事大吉，关键是要理解在临界雷诺数条件下，流体内部发生了什么变化。在临界雷诺数，是什么流动现象导致了一个光滑的层流流动转捩成了混沌的湍流。窦华书的能量梯度理论显示，在临界雷诺数，流场内部产生了Navier-Stokes方程的奇点，是奇点导致了流动转捩，实验结果和直接数值模拟结果正是如此，理论与实验和模拟结果完全一致。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7   (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049 

3. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ; https://arxiv.org/abs/1805.12053v10 

4. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 

5. 窦华书，我是怎样创立能量梯度理论的？https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA

6.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授，Springer。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

7.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html 或者 

https://mp.weixin.qq.com/s/1nh4SLMaLHC511d8uDeI8Q

8.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm  或者  https://mp.weixin.qq.com/s/QfC9d4Cn5ujzUMltyhvQyg