图1 湍流的动能随波数变化的能谱关系

湍流的最主要的特征就是，湍流是一个随着时间变化（非定常）的旋涡运动，而且旋涡是从大到小多尺度分布的。

湍流之所以存在，是以漩涡的不断产生与耗散维持的。如果旋涡只耗散，不再继续产生，湍流就不能维持了。完全发展的湍流就是一个旋涡生成与破灭的动力学平衡状态。如果以这句话作为湍流的定义，比以前的许多湍流的定义似乎更生动、具体、形象，也更精确。

根据能量梯度理论[1-4]，在三维流动中，湍流的产生是依靠NS方程的奇点的产生来创造旋涡（湍流猝发），也即大涡，大涡改变了原来的流动速度分布，再进一步分形，形成新的更多的尺度更小的奇点（旋涡），奇点再生成新的下一级旋涡，这样循环下去，逐级形成一系列多尺度的旋涡。当最小的旋涡的尺度达到旋涡能量不能继续推动旋涡旋转，不能产生更小的奇点（旋涡），就被粘性耗散掉，这就是级串是怎么形成的过程和原理。这就是完全发展的湍流中形成的Richardson-Kolmogorov的湍流能量级串（即正级串，如图1）。 如果这个正级串的能量传递现象被破坏，或者被抑制，湍流就不能正常维持（由此我们可以想出进行湍流控制的idea，即抑制正级串维持可以延迟湍流）。

根据能量梯度理论，在三维流动中，当大涡形成时，物理机理是主流速度的间断（生成负的spike），即流向压缩，由于散度为零，那么在壁面流动中，就必然存在竖直方向的速度升起和展向的旋涡拉伸。当然，在后半个周期中速度的涨落是相反的，即旋涡必须展向压缩。总之，三维湍流流动中拉伸是必然存在的。这里作者与其他人不同的观点是，在湍流产生过程中，这个旋涡拉伸对湍流产生不是主动的，是被动的出现的，是由于速度间断引起的。拉伸是三维流动中湍流产生（或旋涡产生）的必然结果，不是湍流产生的原因。在有的许多湍流文献和书籍中，许多人认为拉伸是湍流产生的起因，这是不对的，见[1-8]。这里并不存在鸡生蛋与蛋生鸡的问题。因为这里有一个从平均流动向湍流的能量输入的过程，这个过程是单向的。漩涡的拉伸伴随着能量的输入，但并不直接引起能量的输入。平均流动向湍流脉动的能量输入是靠主流速度的间断，通过大涡生成而传递的。

再次强调，是NS方程的奇点引起速度间断（湍流猝发），产生大涡，导致湍流。因而是湍流导致旋涡的拉伸，不是拉伸产生了湍流。三维的层流流动中也存在漩涡拉伸，可是没有湍流。如果要分析某流动现象的物理机理，要看这个过程发生的能量是从哪里来的，就能找到原因。湍流的生成和演化机理，必然是那些湍流里面有，而层流里面没有的结构和现象及其背后因素在起作用。

在二维流动中，因为支配方程NS方程只允许旋涡的对流，不允许有旋涡的展向拉伸(虽然拉伸是湍流产生结果)，这样就抑制了新的漩涡的生成，或者说湍流的生成（即抑制了能量的输入）。如果没有新的漩涡的生成，但是漩涡的耗散还是存在的。等到原来的旋涡被粘性耗散掉，没有新的旋涡补充进来，湍流就不能维持了。所以二维流动中不存在湍流。

上述是作者根据能量梯度理论，从流动物理上来解释，从湍流产生的过程来解释，湍流为什么一定是三维的，为什么二维流动里不存在湍流。诺贝尔奖获得者李政道教授1951年在Journal of Applied Physics上的一页的文章有理论论证，主要就是二维流动没有漩涡的展向拉伸，就没有湍流。

对牛顿流体、正压流体、质量力有势的不可压缩流体的三维流动的涡量输运方程如下:

右边第一项就是大家熟知的旋涡拉伸项。在三维湍流的转捩过程和完全发展的湍流中，这一项有正有负，但是总的结果是正的，这样就是使得涡量随时间增长。只有涡量增长了，层流才有可能转捩为湍流。在完全发展的湍流中，涡量的增长和涡量的耗散（右边第二项）达到动态平衡。

对二维流动，旋涡拉伸项为零。这样，右边没有其它项可以使得涡量增长，湍流就不可能产生出来，所以二维流动里没有湍流（流体力学教材里讲的）。当我们翻看许多经典文献，有一些著名的湍流专家指出，旋涡拉伸是湍流产生的原因。非常多的数学家都是同意这种说法的（注：作者本人认为旋涡拉伸是湍流产生的结果）。

另外，在二维流动中，拟涡能（涡量的平方）是一个无粘流动不变量。在二维粘性流动中，虽然拟涡能（由于粘性耗散）是随时间减小的。但是对流项促使它保持不变，即促使它不下降，也不让它增长。这样，拟涡能不增长，涡量就不会增长，湍流就不会产生。拟涡能引起二维湍流中的逆级串就是这个原理。

对大气动力学里面的非正压流体，右边有一项斜压项，就可以产生旋涡。对于密度分层的流体，右边有一项浮力项，也可以产生旋涡。这2种作用都会与粘性项相互作用而导致湍流。

对于磁流体，右边多了一项洛伦兹力，洛伦兹力性质比较特殊，主要要看它的方向与速度矢量的夹角大小以及它的Hartmann number的大小。洛伦兹力可以产生旋涡，促进湍流生成；另一方面，它可以抑制旋涡生成，生成逆级联的湍流能谱，延迟湍流。

自然界里的流体流动都是三维的，没有二维的。所谓的二维流动只是理论上的二维流动，也即在三维流动中，限制流动在第三个方向有任何变化，从理论上看看流动性质会是什么样的。或者对某种特殊的流动问题（展向变化很小），对流动模型进行简化，可以近似看作二维流动。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7   (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049 

3. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ; https://arxiv.org/abs/1805.12053v10 

4. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 

5. 窦华书，我是怎样创立能量梯度理论的？https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA

6.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授，Springer。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

7.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html 或者 

https://mp.weixin.qq.com/s/1nh4SLMaLHC511d8uDeI8Q

8.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm  或者  https://mp.weixin.qq.com/s/QfC9d4Cn5ujzUMltyhvQyg