正态分布（Normal distribution）大家都很熟悉，应该是概率论中，知名度最高的名词之一。

每一位接触过概率论的朋友都能说出一点关于正态分布的东西，翻看任何一本概率或者统计的书籍，都少不了对它的介绍。有关它的基本知识，可以参阅WIki百科或者百度百科，搜索一下就可以了。

正态分布的故事很多，从数学里最专门的调和分析到时下最时髦的和谐社会，吹吹正态分布的牛很容易。

这里我想讲这么几个问题，希望能有点新意。

1、正态分布的密度函数exp(-x^2)是唯一的一个傅立叶变换不变函数。用概率论的语言讲，就是正态分布的密度函数跟它的特征函数（characteristic function）形式一致，而且只有正态分布具有这样的性质。傅立叶变换的数学及其应用价值不言而喻，而exp(-x^2)这个量因其优美的不变性，在其中扮演了核心角色。

2、正态分布是轻尾的。明显，exp(-x^2)随着x的增加，会下降很快。用直观的语言讲，符合正态分布的群体，绝大部分个体是集中在“中庸”附近，太极端的个体非常少。这很好的符合了很多自然和社会现实。不过，有越来越多的研究者去关注“厚尾”现象，特别是复杂性的一些工作。比如scale-free网络就是厚尾的，即网络中度很大的节点数目其实还不少。

3、正态分布是无穷可分（infinitely devisible）的。无穷可分是概率极限理论的一个专门概念。粗略地讲，我们关心那些可能成为某一串随机变量极限的分布，都具备什么样的特点？比如，大家知道中心极限定理是一串随机变量收敛到正态分布；还有一种叫poisson收敛，就是二项分布在某种条件下会收敛到poisson分布。教科书里都有介绍。那么正态分布和poisson分布有何种共性？无穷可分性非常好的回答了这个问题。相关内容可参看Durrett的教材第二章。

 

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