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数学是最复杂的研究性学科之一,其研究的先修基础要求很高,所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格,不易读,无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。
这份数学书单,是根据法国巴黎高等师范学校(数学最牛校,没有之一)的指定教材及教授推荐给出,在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系,都是教得特别深入浅出的专著,特别适合自学提高。
以下是按照学习推荐进度排序的,分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。
数学本科:
如果大家对微积分已经可以定量算了(例如可以计算面积分),就请跳过第一本,否则需要补充一下普通微积分的基础。
《Calculus》 这是绝对的入门书籍,基础向。如果大家之前学过高数,就可以忽略这一本了。
下面就开始严格的数学训练了:
数学分析(一)(英文版)byApostol
数学分析(二)(英文版)byApostol
本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础,没有数分的底子,实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了,就是因为采用了苏联风格的中文教材,实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情,所以第一本至关重要。请看这本吧,看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。
《Linear.Algebra.done.right》by Axler
好书能让人顺理成章地领悟新概念,烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页,很快就能读完。
《Allthe Mathematics you missed but need to know》by Garrity
校长建议大家学完数分和线代之后,不要直接开始学复变或者实变,可以先开始感受一下高级数学的美。这本书可以使读者很容易看透其中的数学本质。仿佛度假观光一样,举重若轻地谈了很多深刻的数学领域,例如拓扑和“形式(form)”。数学系的人,先读点轻松的数学入门,日后在读深入的著作将有高屋建瓴之效。
有了一定的数学概念以后,再开始读基础向的书籍。
分析类:
对于实变和复变之争的问题,校长认为应该先学复变。虽然复数域大家比较不熟悉,可是复数域的性质比实数域要规整很多,一阶可导,阶阶可导。这么完美的属性在数学中可不多。学习应该先学简单的在学复杂的。
复变和实变皆推荐Princeton大神Stein的著作
《ComplexAnalysis by》EliasM. Stein, Rami Shakarchi
实变
《RealAnalysis》by Elias M. Stein, Rami Shakarchi
对于数学这种复杂度和抽象程度极高的学科,光看不行,必须有配套的习题作为质量保证。推荐这本《A ComplexAnalysis Problem Book》。
有了实变复变的分析学基础后,看泛函分析将是如鱼得水。
泛函推荐两本,第一本入门,第二本提高(建议在学完拓扑后再看)
第一本:
《FunctionalAnalysis》byPeter Lax
第二本:
《functioanlanalysis》by.Walter.Rudin
Rudin和物理中的Griffith一样,Rudin在数学分析领域所做的杰出工作可能并不广为人知,但他的三本教科书被翻译成多种语言版本,供世界各地的大学生使用。这是他的第三本也是最成功的一本分析学教材,获得1993年美国数学会颁发的Leroy P.Steel奖。大家看完这一本,下一个该做的事情就是把中文版泛函分析教材烧了(当然,中英互译的附录可以留下来背单词用)。
概率类:
数学系的同学先通过工科概统有一个直观的感受:(关于这一点,我想很多人都有类似的想法吧)
《Foundamentalof Probability and Statistics for engineers》by Soong
在加强数学严密性训练:
《Foundationof Modern Probability》byKallenberg
代数类:
《A.first.course.in.abstract.algebra》by Rotman
你会惊讶于,为什么对新手而言这么难的一门课能够被他讲得如此生动。你应该知道看完它应该做什么了吧?对的—— 烧中文书。另外说一句,群论的始祖伽罗华就出自巴黎高师。
下面就进入经典的点集拓扑的学习,点集拓扑推荐这本
当然,既然已经学过了分析和拓扑,下一步学习流形就顺理成章了。
这本流形上的张量分析很好地介绍了广义相对论中数学的应用。作为本科生,了解一下未来各个方向的内容至关重要。
学抽代和拓扑完直接学代数拓扑?其实没必要,高师就是把代数拓扑放在研究生一年级的。你可以先更好地理解一下群论中的Isomor phism和FreeGroup这个概念。感受一下应用的美妙(当然不是生活层面的应用,而是稍微具象一些的数学理论,虽然knot theory本身也是研究生的一个细分的专业)推荐这本书:
《Introductionto Knot Theory》CrowellFox
最后你还需要补这两本书就能够本科数学毕业了。
《DifferentialEquations, Dynamical Systems & A Introduction to Chaos》
很好的微分方程入门,对理解nonlinear有奇效。洛伦兹吸引子的魅力也被充分展示。
《An Introduction to Modern Mathematical Computing 》by Borwein, Skerritt
数学研究生:
数学的领域众多,但低年级的研究生入门课程的都必须掌握的。在这些的基础上才有可能谈及后期的研究。
Hatcher的代数拓扑可以说成功地把这门课教得赏心悦目。
《Algebraic.Topology》by A.Hatcher
学研究生基础课代数几何之前要先学交换代数,推荐这本《交换代数六讲》
《Six Lectures on Commutative Algebra》by Elias
《LecturesOn Algebraic Geometry I Sheaves, Cohomology》
《Lectureson Algebraic Geometry II Basic Concepts, Coherent Cohomology, Curves and theirJacobians》
在之前Manifold的张量分析基础上,更好地理解黎曼面,这两本套装不可或缺。
《AnIntroduction To Lie Groups And Lie Algebras 》by Kirillov
连续群在数学和物理各领域的应用极广,这本李群和李代数是不可或缺的好书。
有了以上基础,可以看李群领域的Vinberg三卷套神书(好想吐槽,理论物理中也有Weinberg三卷套神书。。。难道叫berg的都是神?)
Lie groups and algebraic groups I -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups II -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups III -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
最后研究生领域一本基础读物就是这本Operator Theory的书了
Operator Algebras, Operator Theoryand Applications
学数学本就是快乐的事情,我们应该用一套易读而不失专业性的教材来学习。
注:本文是转载的,之所以没把它放在转载类文献中,是想让更多的人看到。
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